ในหัวข้อนี้เป็นการแก้โจทย์ปัญหาอสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว ซึ่งเป็นเรื่องที่ค่อนข้างยากพอสมควร สำหรับ
เด็กไทย เท่าที่ผมสอนหนังสือมา เด็กไทยอ่อนตรงเรื่องวิเคราะห์ วิเคราะห์ไม่เป็น แก้ปัญหาไม่ได้ เรื่องนี้เป็นเรื่องของโจทย์ปัญหา นักเรียนต้องวิเคราะห์โจทย์แล้วสร้างอสมการจากเงื่อนไขที่โจทย์กำหนดให้ มาดูขั้นตอนในการแก้โจทย์ปัญหากันดีกว่าครับ ขั้นตอนในการแก้โจทย์ปัญหาอสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว มี 5 ขั้นตอนดังนี่
ขั้นที่ 1 วิเคราะห์โจทย์ว่าโจทย์ให้อะไรมาบ้าง ถามหาอะไรบ้าง
ขั้นที่ 2 (สำคัญ) กำหนดตัวแปรขึ้นมา โดยการกำหนดตัวแปรนั้น มีหลักการง่ายๆคือ โจทย์ถามหาอะไร ก็ให้สิ่งที่โจทย์ถามหานั้นเป็นตัวแปร เช่น โจทย์ถามว่า สมศรีจะเหลือเงินอย่างมากเท่าไร เวลากำหนดตัวแปรเราก็ควรกำหนดว่า ให้สมศรีเหลือเงิน x บาท
ขั้นที่ 3 (สำคัญมาก) เป็นการสร้างอสมการขึ้นมาจากเงื่อนไขที่โจทย์กำหนดมาให้ เช่น โจทย์บอกว่า สมพรมีเงินอยู่จำนวนหนึ่ง พ่อให้เงินสมพรเพิ่มอีก 100 บาท วันรุ่งขึ้นสมพรนำเงินที่มีอยู่ ไปซึ้ออาหารให้สัตว์เลี้ยงเป็นเงิน 50 บาท ปรากฎว่า สมพรเหลือเงินอยู่มากกว่า 200 บาท จากเงื่อนไขของโจทย์ที่กำหนดมาให้เราสามารถสร้างอสมการได้ดังนี้
หลังจากที่เราวิเคราะห์โจทย์แล้ว เราก็กำหนดตัวแปรครับ โจทย์บอกว่าสมพรมีเงินอยู่จำนวนหนึ่ง เราก็สามารถกำหนดตัวแปรได้ดังนี้ ให้ สมพรมีเงินอยู่ x บาท
จากโจทย์เราสามารถสร้างอสมการได้ดังนี้ x + 100-50 > 200 (บวก 100 เพราะพ่อให้เงินสมพรเพิ่ม , ลบ 50 เพราะเอาเงินไปซื้อของ)
ขั้นที่ 4 เป็นการแก้อสมการที่เราสร้างขึ้นมาจากขั้นที่ 3
ขั้นที่ 5 เป็นการตรวจคำตอบ หลังจากที่เราแก้อสมการได้คำตอบจากขั้นที่ 4 เราก็ต้องมาตรวจตำตอบเพื่อดูว่าคำตอบที่เราได้นั้นเป็นไปตามเงื่อนใขในโจทย์หรือไม่
หลังจากที่เรารู้ขั้นตอนของการแก้โจทย์ปัญหาอสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวแล้ว ผมว่าเราลองมาทำโจทย์กันน่ะครับ คณิตศาสตร์ต้องหัดทำโจทย์เยอะๆครับ
ตัวอย่างที่ 1 แก้วอ่านหนังสือเล่มหนึ่ง วันแรกอ่านได้ \(\frac{2}{5}\) ของเล่ม วันต่อมาอ่านได้อีก 25 หน้า รวมสองวันอ่านได้มากกว่าครึ่งเล่ม จงหาว่าหนังสือเล่มนี้มีจำนวนอย่างมากกี่หน้า
วิธีทำ มาดูวิธีการทำครับ หลังจากอ่านโจทย์ วิเคราะห์โจทย์แล้ว โจทย์ถามว่าหนังสือเล่มนี้มีจำนวนอย่างมากกี่หน้า ก็คือถามหาจำนวนหน้าของหนังสือ
โจทย์ถามหาอะไรแทนตัวนั้นเป็นตัวแปรครับ เราก็ให้ว่า ให้หนังสือเล่มนี้มีจำนวน x หน้า
วันแรก อ่านได้ \(\frac{2}{5}\) ของเล่ม หมายความว่า อ่านได้ \(\frac{2}{5}x\) (เพราะว่าหนังสือเล่มนี้มีจำนวน x หน้า)
วันที่สอง อ่านได้ 25 หน้า
ดังนั้นรวมสองวันจะอ่านได้ \(\frac{2}{5}x + 25 \)
โจทย์บอกว่ารวมสองวันอ่านได้มากว่า ครึ่งเล่ม หมายความว่า \(\frac{2}{5}x +25 > \frac{x}{2}\) ได้มาแล้วครับอสมการจากเงื่อนไขที่ีโจทย์กำหนดให้
ต่อไปก็เป็นการแก้อสมการ หาค่า x (จำนวนหน้าของหนังสือ)
จะได้
\begin{array}{lcl}\frac{2x}{5}-\frac{x}{2}&>&-25\\\frac{4x-5x}{10}&>&-25\\-x&>&-250\\x&<&250\end{array}
ผมไม่ขอตรวจสอบคำตอบน่ะครับ ลองไปตรวจสอบคำตอบเองน่ะครับว่าคำตอบที่ได้เป็นไปตามเงื่อนไขหรือเปล่า สรุปข้อนี้ก็คื่อ หนังสือเล่มนี้มีจำนวนหน้าน้อยกว่า 250 หน้าฟันธงครับ
ตอบ \(x<250\)
ตัวอย่างที่ 2 ปัญญามีเหรียญบาทและเหรียญห้าบาทอยู่ในกระป๋องออมสินจำนวนหนึ่ง เมื่อเหรียญเต็มกระป๋อง เขาเทออกมานับพบว่า มีเหรียญบาทมากกว่าเหรียญห้าบาทอยู่ 12 เหรียญ นับเป็นจำนวนเงินไม่น้อยกว่า 300 บาท จงหาว่ามีเหรียญห้าบาทอยู่อย่างน้อยกี่เหรียญ
วิธีทำ ข้อนี้ไม่ยากอย่างที่คิดโจทย์อาจจะยาวยืด แต่ง่ายนิดเดียวครับ ลองมาวิเคราะห์โจทย์กันก่อนครับ ว่าโจทย์ถามหาอะไรคับ โจทย์ถามวามีเหรียญห้าบาทอยู่อย่างน้อยกี่เหรียญใช่ไหม โจทย์ถามหาอะไรเราก็ให้สิงที่โจทย์ถามหาเป็นตัวแปร ในที่เราให้ มีเหรียญห้าบาทอยู่ x เหรียญ
ที่นี้มาดูเงื่อนไขที่โจทย์บอกมา โจทย์บอกว่ามีเหรียญบาทมากกว่าเหรียญห้าบาทอยู่ 12 เหรียญ ตอนนี้เรามีเหรีญห้าบาทอยู่ x เหรียญ มีเหรียญบาทมากกว่าเหรียญห้าบาทจำนวน 12 เหรียญ แสดงว่ามีเหรียญบาทอยู่จำนวน x + 12 เหรียญ(งงไหมตรงนี้)
ตอนนี้สรุปได้ก็คือ
1. มีเหรียญห้าบาทอยู่ x เหรียญคิดเป็นเงิน 5x บาท งงไหมถ้างงอ่านในวงเล็บ(สมมุติเรามีเหรียญห้าบาทอยู่สี่เหรียญคิดเป็นเงินได้คือ 5 คูณ 4 ซึ่งเท่ากับ 20 บาท)
2. มีเหรียญบาทอยู่ x + 12 เหรียญ คิดเป็นเงิน x + 12 บาท งงไหมถ้างงอ่านในวงเล็บ (สมมุติเรามีเหรียญบาท 100 เหรียญ คิดเป็นเงิน ก็คือ 100 บาท)
ที่นี้มาดูเงื่อนไขของโจทย์อีกน่ะครับ โจทย์บอกว่านับเป็นจำนวนเงินไม่น้อยกว่า 300 บาท
นั่นแสดงว่า เอาเงินมารวมกันจะได้อสมการคือ \( 5x+x+12 \geq 300 \)
เมื่อได้อสมการก็แก้อสมการเพื่อหาค่า x ครับ
\begin{array}{lcl}6x&\geq& 300-12\\6x&\geq& 288\\x&\geq& \frac{288}{6}\\x&\geq& 48\end{array}
ตอบ \(x\geq 48 \) นั่นก็คือมีเหรียญห้าบาทอย่างน้อย 48 เหรียญครับ ง่ายๆ ไม่อยาก อ่านแล้วงงไหม ผมเขียนเขียนบรรเยอะไปหรือเปล่า ถ้าอ่านแล้วไม่เข้าใจ ยังไงก็คอมเม้นด้วยแล้วกันครับ
ต่อไปผมจะเอาโจทย์ปัญหาที่เป็นโจยย์ o-net มาให้ลองทำดูนะครับ ค่อยๆอ่านดูคับไม่ยากครับ ไปดูกันเลยครับ
1. เด็กชายกันต์ ต้องการซื้อของชิ้นหนึ่ง จึงนำเงินทั้งหมดที่มีอยู่ในกระปุกออมสินออกมานับ พบว่า เงินที่มีอยู่เป็นเหรียญบาทั้งหมด และจำนวนเงินที่มีอยู่นี้ยังไม่พอที่จะซื้อของชิ้นนี้ เขาจึงถอนเงินจากธนาคารอีก 300 บาท ถ้าเดิมกันต์มีเงินในธนาคารเป็น \(7\) เท่าของจำนวนเงินในกระปุกออกสิน และหลังจากถอนเงินแล้ว เงินที่กันต์จะนำไปซื้อของมากกว่าเงินที่เหลือในธนาคาร จำนวนเงินในกระปุกออมสินที่มากที่สุดที่เป็นไปได้เท่ากับข้อใด \(o-net 60\)
- 74 บาท
- 76 บาท
- 99 บาท
- 101 บาท
วิธีทำ
กำหนดให้เด็กชายกันต์มีเงินในกระปุกออมสินจำนวน \(x\) บาท
โจทย์บอกว่าเดิมกันต์มีเงินในธนาคารเป็น \(7\) เท่าของจำวนเงินในกระปุกออมสินดังนั้นจากตรงนี้จะได้ว่าเดิมกันต์มีเงินอยู่ \(7x\)
เนื่องจากเงินในกระปุกออมสินไม่พอซื้อของจึงถอนเงินจากธนาคาร 300 บาทเพื่อไปซื้อของทำให้เงินที่นำไปซื้อของตอนนี้คือ \(x+300\) บาท
เมื่อถอนออก 300 บาททำให้เหลือเงินในธนาคาร \(7x-300\) บาท
โจทย์บอกอีกว่าเงินที่กันต์จะนำไปซื้อของมากกว่าเงินที่เหลือในธนาคาร จึงได้อสมการคือ
\(x+300>7x-300\)
โจทย์ให้หาจำนวนเงินในกระปุกออมสินมากที่สุดที่เป็นไปได้ก็คือหา \(x\) ที่เป็นไปได้นั่นเองครับ เริ่มเลย
\begin{array}{lcl}x+300&>&7x-300\\600&>&6x\\100&>&x\\x&<&100\end{array}
นั่นคือ จำนวนเงินในกระปุกออมสินน้อยกว่า 100 บาท ดังนั้นจำนวนเงินที่มากที่สุดที่เป็นไปได้คือ ตัวเลือกที่ 3 คือ 99 บาท
2. ครูมาลีซื้อปากกามาจำนวนหนึ่งเพื่อแจกให้นักเรียนในห้อง หลังจากแจกไปแล้ว 10 ด้าม ปรากฎว่าเหลือปากกาไม่ถึง 24 ด้าม คุณครูมาลีซื้อปากกามากที่สุดกี่ด้าน (o-net 59)
- 14 ด้าม
- 33 ด้าม
- 34 ด้าม
- 35 ด้าม
วิธีทำ
กำหนดให้ ครูมาลีซื้อปากกามาจำนวน \(x\) ด้าน
แจกให้เด็กไปแล้ว 10 ด้ามแล้วเหลือปากกาไม่ถึง 24 ด้ามจากประโยคนี้จะได้อสมการ
\(x-10<24\)
ลองแก้อมการจะได้
\(x<34\)
นั่นก็คือครูมาลีซื้อปากกามากสุดจำนวนไม่ถึง 34 ด้าน ดังนั้นจากตัวเลือกมากสุดต้องตอบ 33 ด้าม
3. ให้ \(n\) เป็นจำนวนเต็ม ถ้า \(\frac{15}{24}<\frac{n}{36}<\frac{47}{72}\) แล้ว \(n\) มีค่าเท่าใด (o-net 60)
วิธีทำ ข้อนี้เนื่องจากเราต้องการหาค่า \(n\) ดังนั้นให้เราเอา \(36\)คูณเข้าทุกก่อนครับเพื่อให้เหลือค่า \(n\) ที่เราต้องการ เริ่มทำกันเลย
\begin{array}{lcl}\frac{15}{24}&<&\frac{n}{36}&<&\frac{47}{72}\\36\times \frac{15}{24}&<&36\times\frac{n}{36}&<&36\times \frac{47}{72}\\\frac{45}{2}&<&n&<&\frac{47}{2}\\22.5&<&n&<23.5\end{array}
ดังนั้น เนื่องจาก \(n\) เป็นจำนวนเต็ม จากอสมการ \(22.5<n<23.5\) นั่นคือ\(n\) ที่เป็นไปได้คือ \(n=23\) นั่นเองครับ