โดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์คืออะไร...ฟังชื่อแล้ว...อาจจะอยู่ยากๆ แต่จริงๆแล้วไม่ยากน่ะ...เรามาดูความหมายของโดเมน(Domain)และเรนจ์(Range) กันคับ...
ให้ r เป็นความสัมพันธ์ใดๆ
\(r=\{(x,y)\}\)
โดเมนของความสัมพันธ์ r เขียนแทนด้วย \(D_{r}\) และมีความหมายดังนี้
\(D_{r}=\{x|(x,y) \in r\}\) ความหมายของเซตนี้ถ้าพูดเป็นภาษาชาวบ้านง่ายๆ...ก็คือ โดเมนของความสัมพันธ์ r คือ เซตของสมาชิกตัวหน้าของทุกคู่อันดับที่อยู่ใน r
เรนจ์ของความสัมพันธ์ r เขียนแทนด้วย \(R_{r}\) และมีความหมายดังนี้
\(R_{r}=\{y|(x,y) \in r\}\) ความหมายของเซตนี้ถ้าพูดเป็นภาษาชาวบ้านง่ายๆ...ก็คือ เรนจ์ของความสัมพันธ์ r คือ เซตของสมาชิกตัวหลังของทุกคู่อันดับที่อยู่ใน r
มาดูตัวอย่างการหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์กัน...คับ
ตัวอย่างที่ 1 ให้ \( r=\{(1,2),(3,4),(5,6),(7,8)\}\) จงหา \(D_{r}\) และ \(R_{r}\)
วิธีทำ จากความหมายของ \(D_{r}\) คือ \(D_{r}=\{x|(x,y) \in r\}\) จึงได้ว่า
\(D_{r}=\{1,3,5,7\}\)
จากความหมายของ \(R_{r}\) คือ \(R_{r}=\{y|(x,y)\in r\}\) จึงได้ว่า
\(R_{r}=\{2,4,6,8\}\)
ตัวอย่างที่ 2 ให้ \( A=\{(a,b),(c,d),(e,f),(m,n)\}\) จงหา \(D_{A}\) และ \(R_{A}\)
วิธีทำ
\(D_{A}\) คือสมาชิกตัวของคู่อันดับในเซต A จึงได้ว่า
\(D_{A}=\{a,c,e,m\}\)
\(R_{A}\) คือ สมาชิกตัวหลังของคู่อันดับในเซต A จึงได้ว่า
\(R_{A}=\{b,d,f,n\}\)
ตัวอย่างที่ 3 ให้ \(M=\{(x,y)\in \mathbb{I^{+}} \times \mathbb{I^{+}} | x=y \}\) จงหา \(D_{M}\) และ \(R_{M}\)
วิธีทำ จากโจทย์น่ะคับเซต M เป็นการเขียนเซตในรูปแบบการบอกเงื่อนไขน่ะคับ เพื่อความชัดเจนน่ะคับเราต้องเปลี่ยนรูปแบบของเซตใหม่โดยเปลี่ยนจากแบบเงื่อนไข ให้อยู่ในรูปแบบแจกแจงสมาชิกคับ จึงได้ว่า
\(M=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),...\}\) ดังนั้นจึงได้ว่า
\(D_{M}=\{1,2,3,4,5,6,7,8,....\}\)
\(R_{M}=\{1,2,3,4,5,6,7,8,...\}\)
ตัวอย่างที่ 4 ให้ \(N=\{(x,y) \in \mathbb{I^{+}}\times \mathbb{I^{+}} | y=x^{2}\}\) จงหา\(D_{N}\) และ \(R_{N}\)
วิธีทำ จากโจทย์น่ะคับเซต N เป็นเซตที่เขียนในรูปแบบบอกเงื่อนไขน่ะคับ เพื่อความชัดเจนน่ะคับ เราต้องเขียนเซตนี้ใหม่น่ะคับ โดยเขียนให้อยู่ในรูปแบบแจกแจงสมาชิกคับ ดูจากเงื่อนไขในเซตน่ะ(เอ็กซ์เท่ากับวายยกกำลังสอง)แล้วจะเข้าใจ
จึงได้ว่า
\(N=\{(1,1),(2,4),(3,9),(4,16),(5,25),(6,36),(7,49),(8,64),...\}\) ดังนั้น
\(D_{N}=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,...\}\)
\(R_{N}=\{1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,...\}\)
ตัวอย่างที่ 5 ให้ \(L=\{(x,y)\in \{0,1,2,3,\} \times \{1,2,3,4\} | y=x-1\}\) จงหา \(D_{L}\) และ \(R_{L}\)
วิธีทำ ข้อนี้เดี๋ยวจะแสดงให้ดูอย่างละเอียดเลยน่ะ ค่อยๆอ่านน่ะ..และทำความเข้าใจตามด้วย
หาตัวนี้ก่อนน่ะ
\(\{0,1,2,3\}\times \{1,2,3,4\}=\{(0,1),(0,2),(0,3),(0,4),(1,1)\)
\(,(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4)\}\)
ต่อไปก็ดูว่า คู่อันดับตัวไหนที่เป็นไปตามเงื่อนไข \(y=x-1\) บ้าง ก็จะมี
\((2,1),(3,2)\) ดังนั้นจึงได้ว่า
\(L=\{(2,1),(3,2)\}\)
ดังนั้น
\(D_{L}=\{2,3\}\)
\(R_{L}=\{1,2\}\)
ตัวอย่างที่ 6 ให้ \(A=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}\) และกำหนดให้ความสัมพันธ์ r ใน A คือ \(\{(x,y)\in A \times A | y=x^{2}\}\) จงหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์นี้
วิธีทำ วิเคราะห์โจทย์ก่อนนะคับ เขาให้หาความสัมพันธ์ r ใน A โดยที่สมาชิกใน r นั้นต้องมีสมบัติเป็นดังนี้คือ \(y=x^{2}\) ความหมายก็คือ เอาเอ็กซ์ยกกำลังสองแล้วได้เท่ากับวาย จะเห็นว่าถ้าผมมีคู่อันดับ (0,0) จะเห็นว่า x=0 และ y=0 เช่นกัน เอ็กซ์ยกกำลังสองจะเท่ากับวาย เพราะ \(0=0^{2}\) หรือถ้าผมมีคู่อันดับ (-1,1) จะเห็นว่า x=-1 และ y= 1 เอ็กซ์กำลังสองจะเท่ากับวาย เพราะ \(1=(-1)^{2}\) จริงไหม ดังนั้นสมาชิกของ r หาไม่ยากแล้ว คิดในใจก็ได้ ถ้าวิเคราะห์โจทย์เป็น ดังนั้น
\(r=\{(x,y)\in A \times A | y=x^{2}\}\)
\(r=\{(0,0),(-1,1),(1,1)\}\) นี้คือสมาชิกในความสัมพันธ์ r
ดังนั้นหาโดเมนและเรนจ์ของ r ได้แล้ว
\(D_{r}=\{0,-1,1\}\)
\(R_{r}=\{0,1\}\)
ตัวอย่างที่ 7 กำหนดให้ \(s=\{(x,y)|y=\sqrt{16-x^{2}}\}\) จงหาโดเมนและเรนจ์ของ s
วิธีทำ วิเคราะห์โจทย์คร่าวๆก่อน จากเงื่อนไขที่ให้มาคือ \(y=\sqrt{16-x^{2}}\)
จะหาโดเมนก่อน โดเมนหาจากค่าของ x นั่นเอง จะเห็นว่า x มันติดอยู่ข้างในรูท ซึ่งข้างในรูทติดลบไม่ได้ดังนั้นเราจะได้ว่า
\(16-x^{2}\geq 0\) คือต้องมากกว่าเท่ากับ 0 ห้ามติดลบ ลองแก้อสมการนี้ดู
\(-x^{2}\geq -16\)
\(x^{2} \leq 16 \) อะไรเอ่ยยกำลังสองแล้วมีค่าน้อยกว่าเท่ากับ 16
ดังนั้น \(x\in \left[-4,4\right]\) จริงไหม ไม่เชื่อเอาตัวเลขในช่วงนี้ยกกำลังสองดูจะน้อยกว่าเท่ากับ 16 เสมอ
ได้แล้ว ดังนั้น \(D_{s}=\{x|-4\leq x \leq 4\} = \left[-4,4\right]\) นั่นเองตอบในรูปช่วงก็ได้นะ
ต่อไป หาเรนจ์บ้าง ก็คือหาค่า y นั่นเองการหาค่า y ก็ง่ายๆ เอาค่า x ที่เราได้มาไปแทนในเงื่อนไขนี้
\(y=\sqrt{16-x^{2}}\) ลองแทนเล่นๆ ดู
แทน x=-4
\(y=\sqrt{16-(-4)^{2}}=0\) ได้ y=0
แทน x=4
\(y=\sqrt{16-(4)^{2}}=0\) ได้ y=0
แทน x=0
\(y=\sqrt{16-(0)^{2}}=4\) ได้ y=4
แทน x=1
\(y=\sqrt{16-(1)^{2}}=\sqrt{15}\) ได้ \(\sqrt{15}=3.8\)
แทน x= -3
\(y=\sqrt{16-(-3)^{2}}=\sqrt{7}\) ได้ \(\sqrt{7}=2.4\)
จากตรงนี้ผมพยายามแสดงให้เห็นว่า ไม่ว่าเราจะเอา x ที่ได้มาจากการหาโดเมนมาแทนจะได้ค่าเรนจ์อยู่ในช่วงนี้คือ \(0\leq y \leq 4\) เสมอ ไม่เชื่อลองทำดูอีกก็ได้
ดังนั้น \(R_{s}=\{y|0\leq y \leq 4\} =\left[0,4\right]\)
ตัวอย่างที่ 8 จงหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ \(r=\{(x,y)|y=\frac{1}{x-2}\)
วิธีทำ วิเคราะห์โจทย์คร่าวๆก่อนคับ จะเห็นว่าเงื่อนไขที่ให้มาคือ \(\frac{1}{x-2}\) เป็นเศษส่วนจำไว้เลยถ้าเป็นเศษส่วนตัวส่วนห้ามเป็น 0 ดังขาด ดังนั้น เราจึงได้ว่า
\(x-2 \neq 0\) ส่วนต้องไม่เท่ากับ 0
\(x \neq 2\) จากตรงนี้เราจึงได้ว่า
\(D_{r}=\{x|x\neq 2\}\) ก็คือโดเมนเป็นจำนวนจริงเลขอะไรก็ได้ที่ไม่ใช่เลข 2
ต่อไปหาเรนจ์ก็คือหา y นั่นเองวิธีการหาของเรนจ์ที่นิยมทำกันก็คือจัดรูปเงื่อนไขสมการที่โจทย์ให้มาให้อยู่ในรูปของ
x เท่ากับ....
มาดูกันนะครับ จากเงื่อนไข
\(y=\frac{1}{x-2}\)
\(y(x-2)=1\)
\(x-2=\frac{1}{y}\)
\(x=\frac{1}{y}+2\)
\(x=\frac{1+2y}{y}\) สมการเงื่อนไขอยู่ในรูป x เท่ากับแล้ว...ต่อไปก็หาว่าแทน y ด้วยเลขอะไรได้บ้างจึงทำให้ค่าคำนวณหาค่า x ออกมาได้ จะเห็นว่า y เป็นอะไรก็ได้ยกเว้น 0 เพราะส่วนเป็น 0 ไม่ได้
ดังเรนจ์คือ จำนวนจริงใดๆยกเว้นเลข 0
\(R_{r}=\mathbb{R}-\{0\}\)
ตัวอย่างที่ 9 จงหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ \(r=\{(x,y)|y=|x|\}\)
วิธีทำ ข้อนี้จะเห็นว่าเงื่อนไขของเราติดค่าสัมบูรณ์ ซึ่งค่าสัมบูรณ์ซึ่งค่าสัมบูณร์ถ้าเราเคยเรียนมาเนียะมันจะมีค่ามากกว่าหรือเท่ากับศูนย์เสมอ ไม่ติดลบนั่นเอง
มาดูโดเมนของ r ก่อน โดเมนก็คือ x จะเห็นว่า x เป็นตัวอะไรก็ได้ไม่ผิด ดังนั้นโดเมนของเซต r นี้ก็คือจำนวนจริงใดๆ นั่นคือ
\(D_{r}=\mathbb{R}\)
ส่วนเรนจ์ก็คือค่า y จะเห็นว่าถ้าเราใส่ตัวเลขลงไปใน x ค่าที่ได้ออกมาจะมีค่าเป็นศูนย์หรือไม่ก็เป็นเลขบวกเสมอเพราะว่ามันอยู่ข้างในค่าสัมบูรณ์ ดังนั้น ค่า y หรือว่าเรนจ์นี้จะมีค่ามากกว่าเท่ากับศูนย์เสมอ นั่นคือ
\(R_{r}=\left[0,\infty\right)\)
ตัวอย่างที่ 10 จงหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ \(r=\{(x,y)|y=x^{2}+1\}\)
วิธีทำ จากโจทย์วิเคราะห์คร่าวๆจะเห็นว่า มี \(x^{2}\) อยู่ด้วยซึ่งถ้าเป็นแบบนี้เราจะเห็นได้ว่า \(x^{2}\geq 0\) เสมอก็คือมีค่าเป็นศูนย์หรือไม่ก็บวก ไม่มีทางติดลบนะ
มาหาโดเมนก่อน โดเมนก็คือค่าของ x จะเห็นได้ว่า x เป็นตัวเลขอะไรก็ได้ เป็นศูนย์ เป็นจำนวนจริงลบ เป็นจำนวนจริงบวกอะไรก็ได้ ดังนั้น \(D_{r}=\mathbb{R}\)
ต่อไปหาค่าของเรนจ์หรือว่าหาค่าของ y นั้นเอง
พิจารณาตัวนี้นะ จากที่เรารู้
\(x^{2}\geq 0 \) เสมอ
\(x^{2}+1 \geq 0+1\)
\(x^{2}+1 \geq 1\)
\(y=x^{2}+1 \geq 1\) จากบรรทัดนี้จะเห็นว่า y มีค่ามากกว่าเท่ากับ 1 เสมอ หรือก็คือ
\(y\in \left[1,\infty \right)\)
ดังนั้น \(R_{r}=\left[1,\infty \right)\)
ตัวอย่างที่ 11 จงหาโดเมนและเรนจ์ความสัมพันธ์ของ \(r=\{(x,y)|y=\sqrt{x^{2}-4}\}\)
วิธีทำ วิเคราะห์โจทย์ขอนี้ก่อน จะเห็นว่ามีรูทด้วยข้อนี้ดังนั้นตัวที่อยู่ในรูทต้องห้ามติดลบ
นั่นคือ
\(x^{2}-4 \geq 0\)
\(x^{2}-2^{2} \geq 0\)
\((x-2)(x+2) \geq 0 \)
\(x\in \left(\infty,-2\right) \cup \left[2,\infty \right) \)
ดังนั้น \(D_{r}=\left(\infty,-2\right) \cup \left[2,\infty \right) \)
ต่อไปหาเรนจ์ จากที่เรารู้ว่า
\(\sqrt{x^{2}-4} \geq 0 \)
\(y=\sqrt{x^{2}-4} \geq 0 \)
ดังนั้น ได้แล้ว ค่า y มีค่ามากกว่าเท่ากับ 0
ดังนั้น \(R_{r}=\left[0,\infty \right) \)
ตัวอย่างที่ 12 จงหาโดเมนและเรนจ์ความสัมพันธ์ของ \(r=\{(x,y)|y=\frac{1}{|x|}\}\)
วิธีทำ วิเคราะห์โจทย์คร่าวๆจะเห็นว่ามีเศษส่วน ดังนั้นตัวส่วนห้ามเป็น 0 นั่นคือ x ห้ามเป็น 0 ดังนั้นเราจะได้ว่าโดเมนของความสัมพันธ์นี้คือจำนวนจริงใดๆ ยกเว้น 0
\(D_{r}=\mathbb{R}-\{0\}\)
ต่อไปหาเรนจ์บ้าง จากที่เรารู้ว่า
\(|x| \geq 0 \) ค่าสัมบูรณ์มีค่ามากกว่าเท่า 0 ใช่ไหมใครๆก็รู้ แต่เราไม่เอา 0 เพราะตัวส่วนห้ามเป็น 0 จะได้
\(|x| > 0 \)
\(\frac{1}{|x|} > 0 \) ด้วยจริงไหม
\(y=\frac{1}{|x|}>0\) นั่นคือเรนจ์ของความสัมพันธ์นี้มีค่ามากกว่า 0 นั่นเอง
\(R_{r}\in \left(0,\infty \right)\)
ต่อไปลองทำแบบฝึกหัดกันดีกว่าครับ
1. แบบฝึกหัดจงหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ต่อไปนี้
1) \(\{(2,\sqrt{2}),(-1,1),(0,0),(1,1),(2,\sqrt{2})\}\)
วิธีทำ ถ้าเป็นเซตแบบแจกแจงสมาชิกการหาโดเมนและเรนจ์ไม่ยากครับ
โดเมนคือสมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับ
\(D=\{(-2,-1,0,1,2\}\)
เรนจ์คือสมาชิกตัวหลังของคู่อันดับ
\(R=\{(\sqrt{2},1,0\}\)
2) \(\{(x,y)|y=2x\}\)
วิธีทำ ข้อนี้เป็นเซตแบบบอกเงื่อนไขครับ
การหาโดเมน นิยมจัดสมการเงื่อนไขให้อยู่ในรูป y=... และก็เอาจำนวนจริงมาแทนใน x จะเห็นว่าสมการเงื่อนไขของเราคือ
\(y=2x\) ไม่ว่าจะแทน x ด้วยตัวเลขหรือว่าจำนวนจริงใดก็ตามจะหาค่า y ได้เสมอ เช่น
ถ้า x=1 จะได้ y=2(1)=2
ถ้า x=0 จะได้ y=2(0)=0
ถ้า \(x=\frac{1}{2}\) จะได้ว่า \(y=2(\frac{1}{2})=1\)
จะเห็นว่าไม่ว่าจะแทน x ด้วยจำนวนจริงใดก็ตามสามารถหาค่า y ได้ ดังนั้น โดเมนหรือว่า x หรือว่าคู่อันตัวหน้าก็คือจำนวนจริงใดๆ ดังนั้นโดเมนของเซตนี้คือจำนวนจริงใดๆ
\(D=\mathbb{R}\)
ส่วนการหาเรนจ์นิยมจัดสมการเงื่อนไขให้อยู่ในรูป x=... และก็เอาจำนวนจริงมาแทนใน y จะเห็นว่าสมการเงื่อนไขของเราคือ
\(y=2x\) จัดสมการให้อยู่ในรูป x=... จะได้
\(x=\frac{y}{2}\)
ไม่ว่าจะแทน y ด้วยตัวเลขหรือว่าจำนวนจริงใดก็ตามจะหาค่า x ได้เสมอ เช่น
ถ้า y=0 จะได้ \(x=\frac{0}{2}=0\)
ถ้า y=1 จะได้ \(x=\frac{1}{2}\)
จะเห็นว่าไม่ว่าจะแทน y ด้วยจำนวนจริงใดก็ตามสามารถหาค่า x ได้ ดังนั้น โดเมนหรือว่า y หรือว่าคู่อันตัวหลังก็คือจำนวนจริงใดๆ
ดังนัั้นเรนจ์ของเซตนี้ก็คือจำนวนจริงใดๆ
\(R=\mathbb{R}\)
3) \(\{(x,y)|y=\frac{1}{x}\}\)
วิธีทำ หาโดเมนก่อนนะครับ หาโดเมนจัดสมการเงื่อนไขให้อยู่ในรูป y=... ครับ
จากสมการเงื่อนไขคือ \(y=\frac{1}{x}\)
จะเห็นว่า
ถ้า x=1 ได้ว่า \(y=\frac{1}{1}=1\)
ถ้า x=2 ได้ว่า \(y=\frac{1}{2}\)
ถ้า x=0 ได้ว่า \(y=\frac{1}{0}\) หาค่าไม่ได้
ซึ่งเราจะเห็นว่า แทน x ด้วยจำนวนจริงใดๆก็ตามยกเว้น 0 จะสามารถหาค่า y ได้ดังโดเมนของข้อนี้ก็คือจำนวนจริงๆใดๆยกเว้น 0 ครับหรือก็คือ
\(D=\mathbb{R}-\{0\}\)
หาเรนจ์สมการเงื่อนไขให้อยู่ในรูป x=... จากสมการเงื่อนไข
\(y=\frac{1}{x}\)
\(x=\frac{1}{y}\)
จะเห็นว่า
ถ้า y=2 จะได้ \(x=\frac{1}{2}\)
ถ้า y=3 จะได้ \(x=\frac{1}{3}\)
ถ้า y=0 จะได้ \(x=\frac{1}{0}\) หาค่าไม่ได้
จะเห็นว่า ถ้า y=0 จะหาค่า x ไม่ได้ ดังนั้นเรนจ์ของเซตนี้ก็คือจำนวนจริงใดๆยกเว้น 0 ครับหรือก็คือ
\(R=\mathbb{R}-\{0\}\)
4) \(\{(x,y)|y=|x|\}\)
วิธีทำ ข้อนี้เราต้องทราบก่อนว่าค่าสัมบูรณ์(Absolute) ต้องมีค่าสัมบูรณ์ของจำนวนจริงใดต้องมีค่ามากกว่าเท่ากับ 0 เสมอ นั่นคือ \(y\geq 0 \) ครับดังนั้นเราจึงได้ว่า
เรนจ์ของเซตนี้คือจำนวนจริงใดๆที่มากกว่าหรือเท่ากับศูนย์หรือก็คือ
\(R=\mathbb{R^{+}}\cap \{0\}\)
ยกตัวอย่างเช่น
ถ้า x=-1 จะได้ว่า \(y=|-1|=1\)
ถ้า x=-2 จะได้ว่า \(y=|-2|=2\)
ถ้า x=0 จะได้ว่า \(y=|0|=0\)
ถ้า x=2 จะได้ว่า \(y=|2|=2\)
จะเห็นว่า \(y\geq 0 \) เสมอ ส่วน x เป็นจำนวนจริงอะไรก็ได้ เป็นศูนย์ก็ได้ เป็นจำนวนจริงบวกหรือจำนวนจริงลบก็ได้ดังนั้น โดเมนของเซตนี้ก็คือจำนวนจริงใดๆครับก็คือ
\(D=\mathbb{R}\)
5) \(\{(x,y)|y=\frac{1}{\sqrt{9-x^{2}}}\}\)
วิธีทำ ข้อนี้จะมีรูทด้วย สิ่งที่เราต้องรู้คือข้างในรูทติดลบไม่ได้คือตัวเลขข้างในรูทต้องมากกว่าเท่ากับศูนย์เสมอครับแต่ในข้อนี้เป็นศูนย์ไม่ได้ครับเพราะถ้าเป็นศูนย์มันจะติดปัญหาตรงตัวส่วนห้ามเป็นศูนย์ฉะนั้นแล้วข้างในรูทต้องมากกว่าศูนย์อย่างเดียวครับเข้าใจไหมเอ่ย ก็คือ
สมมุติ \(\frac{1}{\sqrt{x}}\) ถ้า x=0 จะได้ \(\frac{1}{0}\) มันจะหาค่าไม่ได้ดังนั้นต้องตัดกรณีที่จะทำให้ตัวส่วนเป็นศูนย์ทิ้ง
นั่นคือ
\(9-x^{2} > 0\)
\(x^{2}-9<0\)
\(x^{2}-3^{2}<0\)
\((x-3)(x+3)<0\)
ดังนั้น x ต้องอยู่ในช่วงนี้ครับ \(x\in (-3,3)\)
นั่นคือ โดเมนต้องอยู่ในช่วง \(D\in (-3,3)\)
ต่อไปก็หาค่าเรนจ์ ก็หาค่าเรนจ์ในข้อนี้ถ้าจะจัดสมการให้อยู่ในรูป x =... มันจะยากครับฉะนั้นการหาค่าเรนจ์ในข้อนี้เราต้องพิจารณาจากค่าของ x หรือก็คือค่าของโดเมนนั่นเองครับ เรารู้ว่า
\(x\in (-3,3)\) ดูรูปประกอบครับ
จาก \(y=\frac{1}{\sqrt{9-x^{2}}}\) จะเห็นว่า ก้อนนี้ \(\sqrt{9-x^{2}}\) มีค่ามากที่สุดเมื่อ x=0
เมื่อก่อนนี้ \(\sqrt{9-x^{2}}\) มากสุด จำนวนมากสุดไปหาร 1 จะได้ค่า y ออกมาน้อยสุด เพราะฉะนั้นค่า y น้อยสุดเริ่มต้นที่ \(y=\frac{1}{\sqrt{9-0}}=\frac{1}{3}\) นั่นคือจะได้ \(y\geq \frac{1}{3}\)
ดังนั้น \(R\in[\frac{1}{3},\infty)\)
6) \(\{(x,y)|y=\frac{3x}{x+5}\}\)
วิธีทำ ถ้าเงื่อนไขของเซตให้มาอยู่ในรูปของเซตส่วนต้องไปดูตัวส่วนก่อนเลยครับ อย่างเช่นในข้อนี้ตัวส่วนจะเป็นศูนย์เมื่อ x=-5 ดังนั้นโดเมนก็คือเป็นจำนวนจริงอะไรก็ได้ยกเว้น -5 ครับจึงได้
\(D=\mathbb{R}-\{5\}\)
ต่อไปหาเรนจ์จะจัดสมการให้อยู่ในรูป x=... ก็ได้ครับเพราะจัดได้ไม่ยากครับข้อนี้
จาก
\begin{array}{lcl}y&=&\frac{3x}{x+5}\\y(x+5)&=&3x\\yx+5y&=&3x\\yx-3x&=&-5y\\x(y-3)&=&-5y\\x&=&\frac{-5y}{y-3}\end{array}
จะเห็นว่า y ต้องไม่เท่ากับ 3 ครับเพราะจะทำให้ตัวส่วนเป็นศูนย์ครับ ดังนั้นเรนจ์เป็นจำนวนจริงอะไรก็ได้ยกเว้น 3 ครับผมนั่นก็คือ
\(R=\mathbb{R}-\{3\}\)
7) \(\{(x,y)|y=\sqrt{x^{2}-1}\}\)
วิธีทำ จะหาโดเมนก่อนนะครับจะเห็นว่าจากสมการที่โจทย์ให้มา เราจะสามารถหาเรนจ์หรือว่าหาค่า \(y\) ได้ก็ต่อเมื่อตัวที่อยู่ข้างในรูทต้องมากกว่าหรือเท่ากับศูนย์นั่นก็คือ
\begin{array}{lcl}x^{2}-1&\geq&0\\x^{2}-1^{2}&\geq&0\\(x-1)(x+1)&\geq&0\end{array}
ดังนั้นคำตอบหรือว่าโดเมนของความสัมพันธ์จะอยู่ในช่วง \(x\in (-\infty,-1]\cup [1,\infty)\) ใครที่แก้อสมการไม่เป็นให้ไปอ่านลิงค์นี้ก่อนนะครับช่วงและการแก้อสมการ หรือก็คือโดเมนของความสัมพันธ์คือ \(D_{r}= (-\infty,-1]\cup [1,\infty)\)
ต่อไปหาค่าของเรนจ์ครับ เงื่อนไขในความสันพันธ์ คือ \(y=\sqrt{x^{2}-1}\}\) เมื่อเราลองเอาค่าของ \(x\) หรือว่าค่าของโดเมนที่เราหาไว้มาแทนค่าดูจะเห็นว่าค่าของ \(y\) หรือว่าเรนจ์จะมีค่ามากกว่าหรือเท่ากับศูนย์เสมอลองคิดในใจตามนะ ดังนั้นเรนจ์จะอยู่ในช่วง \(y\in [0,\infty)\) หรือก็คือ \(R_{r}=[0,\infty)\)
3. กำหนดให้ \(S=\{1,2,3,4,5,\}\) กำหนดความสัมพันธ์ \(r_{1},r_{2},r_{3}\) ใน \(S\) ดังต่อไปนี้
\(r_{1}=\{(x,y)\in S\times S|x+y=6\}\)
\(r_{2}=\{(x,y)\in x>2 and y=3\}\)
วิธีทำ ข้อนี้ถ้าใครคิดในใจไม่ออกจริงๆก็ลองหา \(S\times S\) ออกมาก่อนครับใครหาไม่เป็นอ่านตามลิงค์นี้ก่อนครับผลคูณคาร์ทีเซียน(Cartesian product) จะได้ \(S\times S\) คือเซตนี้ครับ
\(\{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),\\(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),\\(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),\\(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),\\(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5)\}\)
จากความสัมพันธ์ของ \(r_{1}\) คือ
\(r_{1}=\{(x,y)\in S\times S|x+y=6\}\) ก็คือให้หาคู่อันดับที่คู่อันดับตัวหน้าบวกกับคู่อันดับตัวหลังได้เท่ากับ 6 ซึ่งก็จะมี
\(r_{1}=\{(1,5),(5,1),(2,4),(4,2),(3,3)\}\)
ดังนั้นโดเมนของ \(r_{1}\) คือ
\(D_{r_{1}}=\{1,5,2,4,3\}\)
เรนจ์ของ \(r_{1}\) คือ
\(R_{r_{1}}=\{5,1,4,2,3\}\)
จากความสัมพันธ์ของ \(r_{2}\) คือ
\(r_{2}=\{(x,y)\in x>2 \quad and \quad y=3\}\) ความหมายคือคู่อันดับตัวหน้าต้องมากกว่า 2 และคู่อันดับตัวหลังต้องเท่ากับ 3 เท่านั้นครับก็จะได้
\(r_{2}=\{(3,3),(4,3),(5,3)\}\)
ดังนั้นโดเมนของ \(r_{2}\) คือ
\(D_{r_{2}}=\{3,4,5\}\)
เรนจ์ของ \(r_{2}\) คือ
\(R_{r_{2}}=\{3\}\)
คงเข้าใจน่ะคับ...ที่ยกตัวอย่างให้ดูไม่ค่อยยากเท่าไรน่ะ...อยากให้ค่อยๆอ่านและทำความเข้าใจมันน่ะ...แล้วจะไม่มีคำว่ายากอีกต่อไป...ค่อยๆอ่านแล้วคิดตามแล้วก็นำความรู้ตัวอย่างที่ง่ายๆนี่แหล่ะไปทำโจทย์ที่มันยากๆต่อไป...พยายามจินตนาการตามเวลาอ่านหนังสือ...อย่าอ่านเพื่อจำอย่าเดียว...เข้าใจต้องมาก่อน...