การหาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติโดยใช้สามเหลี่ยมมุมฉาก

วันนี้(31 มกราคม 2556) นึกอยากเขียนเรื่องเกี่ยวกับฟังก์ชันตรีโกณมิติ พอดีไปเจอข้อสอบ o-net ม.3 เห็นออกเกี่ยวกับเรื่องฟังก์ชันตรีโกณมิติทุกปี ก็เลยวันนี้เอาหน่อยแล้วกัน เผื่อเป็นประโยชน์ให้ผู้อ่านเอาไปใช้ในการสอบ

พิจารณา การหาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติ จากรูปสามเหลี่ยมมุมฉากต่อไปนี้

 

กำหนดรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก 2 รูป คือ สามเหลี่ยมมุมฉากรูปที่ 1 คือสามเหลี่ยม \(ABC\)

สามเหลี่ยมมุมฉากรูปที่ 2 \(DEF\)

สามเหลี่ยมมุมฉากทั้งสองรูปนั้นมีด้านแต่ละด้านยาวไม่เท่ากัน แต่มีขนาดของมุมคงที่เท่ากันทั้งสองรูปคือ\(30^{\circ}\)  พบว่า (ลองทำดูเองได้น่ะครับถ้าไม่เชื่อ) ไม่่ว่าขนาดความยาวของด้านสามเหลี่ยมมุมฉากจะยาวเพิ่มขึ้นเป็นเท่าไรก็ตาม แต่ขนาดของมุมยังคงเท่าเดิมคือ \(30^{\circ}\) จะทำให้ได้ว่า

อัตราส่วน \(\frac{BC}{AB}\)ของรูปที่ 1 จะเท่ากับ อัตราส่วนของ \(\frac{FG}{DF}\)ของรูปที่ 2 เสมอและทั้งสองอัตราส่วนนั้น มีค่าเท่ากับ \(\frac{1}{2}\) เสมอ พูดง่ายๆก็คือ ไม่ว่าความยาวของด้านจะเปลี่ยนไปเป็นเท่าไรก็ตามแต่ขนาดของมุมคงที่คือ \(30^{\circ}\) แล้วอัตราส่วนระหว่างด้านตรงข้ามมุม\(30^{\circ}\)กับด้านตรงข้ามมุมฉากจะมีค่าเท่ากับ \(\frac{1}{2}\)

นั่นก็คือ

\(\frac{BC}{AB}=\frac{FG}{DF}=\frac{1}{2}\) เรียกอัตราส่วนนี้ว่าไซน์(sine)ของมุม \(30^{\circ}\) หรือเขียนใหม่จะได้

\(\sin30^{\circ}=\frac{BC}{AB}=\frac{FG}{DF}=\frac{1}{2}\)

และ

\(\frac{AC}{AB} = \frac{DG}{DF}=\frac{\sqrt{3}}{2}\) เรียกอัตราส่วนนี้ว่าโคไซน์(cosine)ของมุม \(30^{\circ}\) หรือเขียนใหม่จะได้

\(\cos30^{\circ}=\frac{AC}{AB} = \frac{DG}{DF}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

และ

\(\frac{BC}{AC}=\frac{FG}{DG}=\frac{1}{\sqrt{3}}\) เรียกอัตราส่วนนี้ว่าเทนเจนต์(tangent)ของมุม\(30^{\circ}\) หรือเขียนใหม่จะได้

\(\tan30^{\circ}=\frac{BC}{AC}=\frac{FG}{DG}=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

นี่เป็นตัวอย่างของการหาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติโดยใช้สามเหลี่ยมมุมฉากน่ะครับ ซึ่งค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมต่างๆสรุปได้ดังตารางต่อไปนี้ ซึ่งสามารถนำไปใช้ได้เลยครับ

มุม sin cos tan
\(30^{\circ}\) \(\frac{1}{2}\) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)

\(45^{\circ}\)

\(\frac{\sqrt{2}}{2}\) \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) \(1\)
\(60^{\circ}\) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) \(\frac{1}{2}\) \(\sqrt{3}\)

ตัวอย่างการนำไปใช้ครับ

ตัวอย่างที่ 1 กำหนดให้ \(\bigtriangleup ABC \) เป็นสามเหลี่ยมมุมฉากที่มี \(\widehat{B}\)เป็นมุมฉาก \(BC=5\)หน่วย และ \(\widehat{A}=30^{\circ}\) จงหาความยาวของ \(\overline{AB}\) และความยาวของ \(\overline{AC}\)

วิธีทำ เนื่องจาก \(\tan30^{\circ}=\frac{5}{AB}\)

และจาก \(\tan30^{\circ}=\frac{1}{\sqrt{3}}\) แทนค่าลงไปเลย จะได้

\(\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{5}{AB}\)

\(\frac{\sqrt{3}}{1}=\frac{AB}{5}\)

\(AB=5\sqrt{3}\)

หาความยาวของ \(\overline{AC}\)

เนื่องจาก \(\sin30^{\circ}=\frac{5}{AC}\)

และจาก \(\sin30^{\circ}=\frac{1}{2}\) แทนค่าลงไปจะได้

\(\frac{1}{2}=\frac{5}{AC}\)

\(AC=\frac{5}{0.5}\)

\(AC=10\)

ตอบ \(\overline{AB}=5\sqrt{3}\)หน่วย และ \(\overline{AC}=10\) หน่วย

ตัวอย่างที่ 2 กำหนด \(\bigtriangleup ABC \) เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ดังรูป จงหาความยาวของด้าน \(AB\) และด้าน \(AC\)

1) ความยาวของด้าน \(AB\)

วิธีทำ ข้อนี้ใช้ฟังก์ชัน \(\tan \) ในการหาความยาวของ \(AB\) นะครับ

\(\tan 30^{\circ }= \frac{BC}{AB}\)

แทนค่าของ \(\tan30^{ \circ} \) ด้วย \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) ลงไปในโจทย์เลยครับ จะได้

\(\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{5}{AB}\)

\(AB=5 \cdot \sqrt{3}\)

\(AB=5\sqrt{3}\)

2) ความยาวของด้าน \(AC\)

วิธีทำ ข้อนี้ใช้ฟังก์ชัน \(\sin\) ในการหาความยาวของ \(AC\) น่ะครับ

\(sin30^{\circ}=\frac{BC}{AC}\)

แทนค่าของ \(\sin30^{\circ}\) ด้วย \(\frac{1}{2}\) และ \(BC=5\) จะได้

\(\frac{1}{2}=\frac{5}{AC}\)

\(AC=5 \times 2 \)

\(AC=10\)

ตัวอย่างที่ 3 กำหนดให้ \(\bigtriangleup ABC \) เป็นสามเหลี่ยมุมฉาก ดังรูป จงหาความยาวของด้าน \(AC\) และ หาขนาดของมุม \(A\) และมุม \(C\)

วิธีทำ

1.หาขนาดของมุม \(A\)

\(\tan A =\frac{BC}{AB}\)

\(\tan A=\frac{2}{2\sqrt{3}}\)

\(\tan A=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

เนื่องจาก \(\tan 30^{\circ}=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

ดังนั้น \(A=30^{\circ}\)

ตอบ มุม \(A\) มีขนาาด \(30^{\circ}\)

ติดต่อ 0988281419 หรือ wisanu.kkung@gmail.com