การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร

การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร พูดง่ายๆก็คือการหาคำตอบของระบบสมการนั้่นเองครับ  ซึ่งการหา

คำตอบของระบบสมการวิธีที่ง่ายที่สุดก็คือการวาดกราฟของระบบสมการที่โจทย์กำหนดให้มา แล้วดูว่ากราฟตัดกันที่จุดไหน จุดตัดจะเป็นคำตอบของระบบสมการนั้นๆครับ แต่วิธีการนี้เสียเวลาครับ...ไม่ค่อยนิยมทำกัน....แต่ก็ควรรู้ไว้น่ะครับ....มาดูวิธีที่เขานิยมทำกันดีกว่าครับ....  ของยกตัวอย่างเลยแล้วกันครับ....ค่อยๆอ่านน่ะครับ...ไม่ยากครับ...

1.จงแก้ระบบสมการต่อไปนี้

1)

\(x+2y=1\)

\(x-2y=5\)

มาดีวิธีการทำข้อนี้น่ะครับไม่ยากครับ อ่านไปเรื่อยๆ แล้วจะได้วิธีการแก้เองครับมีทริคซึ่งบางครั้งการอธิบายทริคเล็กๆน้อยๆอธิบายยากครับ อ่านแล้วคิดตามไปด้วยก็จะได้ทริคนั้นๆเองครับ....

ก่อนแก้ระบบสมการเราควรตัั้งชื่อให้กับแต่ละสมการก่อนครับ เพื่อที่เราจะใช้ในการอ้างอิงได้ครับ

\(x+2y=1 \quad..........(1)\)  สมการนี้ชื่อว่าสมการที่หนึ่ง  น่ะคับ

\(x-2y=5  \quad..........(2)\)  สมการนี้ชื่อว่าสมการที่สอง น่ะคับ

ต่อไปที่เราสังเกตดีๆน่ะครับ สมการที่ (1) มีพจน์ที่เป็นตัวแปร x อยู่ใช่ป่าว และสมการที่ (2) ก็เช่นเดียวกันมีพจน์ที่ตัวแปร x อยู่เช่นเดียวกัน ถ้าเราจับสมการที่ (1) มาลบ กับสมการที่ (2) อะไรจะเกิดขึ้น คิดว่า x-x=0 ไหม เป็นกลายเป็น 0 แล้วนั้นก็คือตัวแปร x หายไปใช่ป่าว เมื่อตัวแปร x หายไปก็เหลือแค่ตัวเดียวคือตัวแปร y เราก็แก้สมการเพื่อหาค่า y ได้ครับ ....มาดูวิธีทำกันดีกว่า...ครับ

เริ่มเลย..คับ...

จับ \((1)-(2)\) รู้น่ะว่าทำไมเราถึงเอาสมการที่หนึ่งลบสมการที่สองเพราะว่าจะได้กำจัดตัวแปร x ออกไปได้ครับ

วิธีการลบก็คือ...นำฝั่งซ้ายของสมการ\((1)\) ลบกับ...ฝั่งซ้ายของสมการที่\((2)\) และนำ ฝั่งขวาของสมการที่\((1)\)ลบกับ...ฝั่งขวาของสมการที่\((2)\)  จะได้ดังนี้ครับ

\((x+2y)-(x-2y)=1-5\)  ฝั่งซ้ายลบฝั่งซ้าย   ฝั่งขวาลบฝั่งขวา คับ

\((x+2y-x+2y=-4\) เอาลบคูณเข้าไปในวงเล็บ ลบคูณบวกได้ลบ,ลบคูณลบได้บวก

\((x-x+2y+2y)=-4\) จัดรูปนิดหนึ่งเพื่อความไม่งง

\(0+4y=-4\) อธิบายละเอียดมากจนคนอ่านไม่ได้คิดเลย...55

\(4y=-4\)   ย้าย 4 ไปหารครับ

\(y=\frac{-4}{4}\) ตัดทอนครับ

\(y=-1\)

ได้ค่า \(y\) คือมีค่าเท่ากับ -1 ต่อไปก็หาค่า x ต่อครับ

การหาค่า x ไม่ยากครับ นำค่า y ที่เราหาได้ไปแทนค่าในสมการที่ \((1)\) หรือ สมการที่ \((2)\) สมการไหนก็ได้แล้วแต่เลือกมาสักหนึ่งอัน  ผมเลือกสมการที่ \((1)\)

แทน \(y\) ด้วย \(-1\) ในสมการ \((1)\) จะได้

\(x+2(-1)=1\) พูดง่ายๆก็คือเปลี่ยน y เป็น -1

\(x-2=1\)

\(x=1+2\)

\(x=3\)

ได้คำตอบของระบบสมการแล้วครับคือ x=3 และ y=-1 แต่เขานิยมให้ตอบอยู่ในรูปแบบของคู่อันดับ(x,y)ครับ

ดังนั้น ระบบสมการนี้มีคำตอบคือ \((3,-1)\)

เป็นไงบ้างคับ พอไหวไหม ผมว่าไม่ไหวก็ต้องไหวเพราะเรื่องนี้เป็นเรื่องที่ต้องใช้บ่อยครับ...สู้ๆๆ


2)

\(5x-4y=1\)

\(x-y=-7\)

มาดูข้อ 2 กันครับว่าจะมีวิธีการทำยังไง...ซึ่งไม่ยากครับ...เริ่มทำเลยดีกว่าครับ...

ก่อนอื่นต้องตั้งชื่อให้กับสมการก่อนครับ

\(5x-4y=1\) \(.........(1)\)

\(x-y=-7\)    \(.........(2)\)

พิจารณาระบบสมการครับ....ว่าจะเอาไงต่อ...

ผมจะเอา 5 คูณสมการ  \((2)\) น่ะคับ ทำไมถึงเอา 5 คูณ....ลองคิดตามเองน่ะครับ

นำ \( 5 \times (2)\) จะได้

\(5(x-y)=5(-7)\) เวลานำอะไรก็ตามมาคูณเข้าต้องคูณเข้าทั้งสองฝั่งของสมการน่ะครับคือทั้งฝั่งซ้ายและฝั่งขวาของสมการ...

\(5x-5y=-35\)  \(.........(3)\) เมื่อนำ 5 คูณเข้าก็จะได้สมการใหม่........ให้ชื่อว่าสมการ\((3)\) คับ

สังเกตสมการที่ \((1)\) กับ \((3)\) ให้ดีน่ะครับว่ามีพจน์ไหนที่เหมือนกัน....มีพจน์ 5x เหมือนกันใช่ป่าว ฉนั้นถ้าเราเอาสมการ\((1)\) ลบ \((3)\) พจน์ 5x ก็หายไปนั่นก็คือตัวแปร x หาย ต่อไปก็หาค่า y ได้คับ  ต่อเลยน่ะ

นำ \((1)-(3)\) จะได้

\((5x-4y)-(5x-5y)=1-(-35)\) เอาฝั่งซ้ายลบกับฝั่งซ้าย....ฝั่งขวาลบกับฝั่งขวาครับ...

\((5x-4y-5x+5y)=1+35\)

\((5x-5x-4y+5y)=36\)

\(0+y=36\)

\(y=36\)

เป็นไงบ้างครับ รู้แล้วใช่ไหมว่าทำไม่ถึงต้องเอา 5 คูณเข้าไปเพราะเราต้องการทำให้พจน์เหมือนกันเวลาลบกันจะได้เหลือศูนย์ สามารถที่จะตัดตัวแปรตัวหนึ่งออกไปได้ครับ เป็นหลักการณ์ง่ายๆ แต่ใช้บ่อยมากครับ...

ต่อไปได้ค่า y แล้วก็หาค่า x ต่อ ครับ

แทน \(y\) ด้วย \(36\)ในสมการที่\((2)\) (เลือกแทนสมการไหนก็ได้คับ)

จะได้

\(x-36=-7\)

\(x=-7+36\)

\(x=29\)

ดังนั้นคำตอบของระบบสมการคือ\((29,36)\)


3)

\(11x+8y=31\)

\(13x-6y=83\)

มาดูวิธีการทำข้อนี้กันครับ เหมือนเดิม ต้องตั้งชื่อให้แต่ละสมการก่อน เพื่อสะดวกในการอ้างอิงครับ

\(11x+8y=31\) \(.........(1)\)

\(13x-6y=83\)  \(........(2)\)

ข้อนี้ทำยังไงใครรู้บ้าง....

เอา 6 คูณสมการ \((1)\) จะได้

\(6(11x+8y)=6(31)\)  ได้ว่า

\(66x+48y=186\)  \(...........(3)\)

เอา 8 คูณสมการ \((2)\) จะได้

\(8(13x-6y)=8(83)\) ได้ว่า

\(104x-48y=664\)  \(..........(4)\)

ดูน่ะสมการ \((3)\) กับ สมการ \((4)\) มีอะไรที่เหมือนกันสังเกตน่ะครับ

เข้าใจหรือยังคับ ต่อเลยครับ....

นำ \((3)+(4)\)  ทำไมถึงนำมาบวก ดูเอาเองน่ะ  จะได้

\((66x+48y)+( 104x-48y)=186+664\)

\((66x+104x+48y-48y)=850\)

\(170x=850\)

\(x=\frac{850}{170}\) ตัดทอน

\(x=5\)

ได้ ค่า x แล้วหาค่า y ต่อเลยครับ

แทน \(x\) ด้วย \(5\) ในสมการที่ \((1)\) จะได้

\(11(5)+8y=31\)

\(55+8y=31\)

\(8y=31-55\)

\(8y=-24\)

\(y=\frac{-24}{8}\)

\(y=-3\)

ดังนั้นคำตอบของระบบสมการคือ \((5,-3)\)  คำตอบออกมาสวยที่เดียวครับข้อนี้

ติดต่อ 0988281419 หรือ wisanu.kkung@gmail.com