การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร พูดง่ายๆก็คือการหาคำตอบของระบบสมการนั้่นเองครับ ซึ่งการหา
คำตอบของระบบสมการวิธีที่ง่ายที่สุดก็คือการวาดกราฟของระบบสมการที่โจทย์กำหนดให้มา แล้วดูว่ากราฟตัดกันที่จุดไหน จุดตัดจะเป็นคำตอบของระบบสมการนั้นๆครับ แต่วิธีการนี้เสียเวลาครับ...ไม่ค่อยนิยมทำกัน....แต่ก็ควรรู้ไว้น่ะครับ....มาดูวิธีที่เขานิยมทำกันดีกว่าครับ.... ของยกตัวอย่างเลยแล้วกันครับ....ค่อยๆอ่านน่ะครับ...ไม่ยากครับ...
1.จงแก้ระบบสมการต่อไปนี้
1)
\(x+2y=1\)
\(x-2y=5\)
มาดีวิธีการทำข้อนี้น่ะครับไม่ยากครับ อ่านไปเรื่อยๆ แล้วจะได้วิธีการแก้เองครับมีทริคซึ่งบางครั้งการอธิบายทริคเล็กๆน้อยๆอธิบายยากครับ อ่านแล้วคิดตามไปด้วยก็จะได้ทริคนั้นๆเองครับ....
ก่อนแก้ระบบสมการเราควรตัั้งชื่อให้กับแต่ละสมการก่อนครับ เพื่อที่เราจะใช้ในการอ้างอิงได้ครับ
\(x+2y=1 \quad..........(1)\) สมการนี้ชื่อว่าสมการที่หนึ่ง น่ะคับ
\(x-2y=5 \quad..........(2)\) สมการนี้ชื่อว่าสมการที่สอง น่ะคับ
ต่อไปที่เราสังเกตดีๆน่ะครับ สมการที่ (1) มีพจน์ที่เป็นตัวแปร x อยู่ใช่ป่าว และสมการที่ (2) ก็เช่นเดียวกันมีพจน์ที่ตัวแปร x อยู่เช่นเดียวกัน ถ้าเราจับสมการที่ (1) มาลบ กับสมการที่ (2) อะไรจะเกิดขึ้น คิดว่า x-x=0 ไหม เป็นกลายเป็น 0 แล้วนั้นก็คือตัวแปร x หายไปใช่ป่าว เมื่อตัวแปร x หายไปก็เหลือแค่ตัวเดียวคือตัวแปร y เราก็แก้สมการเพื่อหาค่า y ได้ครับ ....มาดูวิธีทำกันดีกว่า...ครับ
เริ่มเลย..คับ...
จับ \((1)-(2)\) รู้น่ะว่าทำไมเราถึงเอาสมการที่หนึ่งลบสมการที่สองเพราะว่าจะได้กำจัดตัวแปร x ออกไปได้ครับ
วิธีการลบก็คือ...นำฝั่งซ้ายของสมการ\((1)\) ลบกับ...ฝั่งซ้ายของสมการที่\((2)\) และนำ ฝั่งขวาของสมการที่\((1)\)ลบกับ...ฝั่งขวาของสมการที่\((2)\) จะได้ดังนี้ครับ
\((x+2y)-(x-2y)=1-5\) ฝั่งซ้ายลบฝั่งซ้าย ฝั่งขวาลบฝั่งขวา คับ
\((x+2y-x+2y=-4\) เอาลบคูณเข้าไปในวงเล็บ ลบคูณบวกได้ลบ,ลบคูณลบได้บวก
\((x-x+2y+2y)=-4\) จัดรูปนิดหนึ่งเพื่อความไม่งง
\(0+4y=-4\) อธิบายละเอียดมากจนคนอ่านไม่ได้คิดเลย...55
\(4y=-4\) ย้าย 4 ไปหารครับ
\(y=\frac{-4}{4}\) ตัดทอนครับ
\(y=-1\)
ได้ค่า \(y\) คือมีค่าเท่ากับ -1 ต่อไปก็หาค่า x ต่อครับ
การหาค่า x ไม่ยากครับ นำค่า y ที่เราหาได้ไปแทนค่าในสมการที่ \((1)\) หรือ สมการที่ \((2)\) สมการไหนก็ได้แล้วแต่เลือกมาสักหนึ่งอัน ผมเลือกสมการที่ \((1)\)
แทน \(y\) ด้วย \(-1\) ในสมการ \((1)\) จะได้
\(x+2(-1)=1\) พูดง่ายๆก็คือเปลี่ยน y เป็น -1
\(x-2=1\)
\(x=1+2\)
\(x=3\)
ได้คำตอบของระบบสมการแล้วครับคือ x=3 และ y=-1 แต่เขานิยมให้ตอบอยู่ในรูปแบบของคู่อันดับ(x,y)ครับ
ดังนั้น ระบบสมการนี้มีคำตอบคือ \((3,-1)\)
เป็นไงบ้างคับ พอไหวไหม ผมว่าไม่ไหวก็ต้องไหวเพราะเรื่องนี้เป็นเรื่องที่ต้องใช้บ่อยครับ...สู้ๆๆ
2)
\(5x-4y=1\)
\(x-y=-7\)
มาดูข้อ 2 กันครับว่าจะมีวิธีการทำยังไง...ซึ่งไม่ยากครับ...เริ่มทำเลยดีกว่าครับ...
ก่อนอื่นต้องตั้งชื่อให้กับสมการก่อนครับ
\(5x-4y=1\) \(.........(1)\)
\(x-y=-7\) \(.........(2)\)
พิจารณาระบบสมการครับ....ว่าจะเอาไงต่อ...
ผมจะเอา 5 คูณสมการ \((2)\) น่ะคับ ทำไมถึงเอา 5 คูณ....ลองคิดตามเองน่ะครับ
นำ \( 5 \times (2)\) จะได้
\(5(x-y)=5(-7)\) เวลานำอะไรก็ตามมาคูณเข้าต้องคูณเข้าทั้งสองฝั่งของสมการน่ะครับคือทั้งฝั่งซ้ายและฝั่งขวาของสมการ...
\(5x-5y=-35\) \(.........(3)\) เมื่อนำ 5 คูณเข้าก็จะได้สมการใหม่........ให้ชื่อว่าสมการ\((3)\) คับ
สังเกตสมการที่ \((1)\) กับ \((3)\) ให้ดีน่ะครับว่ามีพจน์ไหนที่เหมือนกัน....มีพจน์ 5x เหมือนกันใช่ป่าว ฉนั้นถ้าเราเอาสมการ\((1)\) ลบ \((3)\) พจน์ 5x ก็หายไปนั่นก็คือตัวแปร x หาย ต่อไปก็หาค่า y ได้คับ ต่อเลยน่ะ
นำ \((1)-(3)\) จะได้
\((5x-4y)-(5x-5y)=1-(-35)\) เอาฝั่งซ้ายลบกับฝั่งซ้าย....ฝั่งขวาลบกับฝั่งขวาครับ...
\((5x-4y-5x+5y)=1+35\)
\((5x-5x-4y+5y)=36\)
\(0+y=36\)
\(y=36\)
เป็นไงบ้างครับ รู้แล้วใช่ไหมว่าทำไม่ถึงต้องเอา 5 คูณเข้าไปเพราะเราต้องการทำให้พจน์เหมือนกันเวลาลบกันจะได้เหลือศูนย์ สามารถที่จะตัดตัวแปรตัวหนึ่งออกไปได้ครับ เป็นหลักการณ์ง่ายๆ แต่ใช้บ่อยมากครับ...
ต่อไปได้ค่า y แล้วก็หาค่า x ต่อ ครับ
แทน \(y\) ด้วย \(36\)ในสมการที่\((2)\) (เลือกแทนสมการไหนก็ได้คับ)
จะได้
\(x-36=-7\)
\(x=-7+36\)
\(x=29\)
ดังนั้นคำตอบของระบบสมการคือ\((29,36)\)
3)
\(11x+8y=31\)
\(13x-6y=83\)
มาดูวิธีการทำข้อนี้กันครับ เหมือนเดิม ต้องตั้งชื่อให้แต่ละสมการก่อน เพื่อสะดวกในการอ้างอิงครับ
\(11x+8y=31\) \(.........(1)\)
\(13x-6y=83\) \(........(2)\)
ข้อนี้ทำยังไงใครรู้บ้าง....
เอา 6 คูณสมการ \((1)\) จะได้
\(6(11x+8y)=6(31)\) ได้ว่า
\(66x+48y=186\) \(...........(3)\)
เอา 8 คูณสมการ \((2)\) จะได้
\(8(13x-6y)=8(83)\) ได้ว่า
\(104x-48y=664\) \(..........(4)\)
ดูน่ะสมการ \((3)\) กับ สมการ \((4)\) มีอะไรที่เหมือนกันสังเกตน่ะครับ
เข้าใจหรือยังคับ ต่อเลยครับ....
นำ \((3)+(4)\) ทำไมถึงนำมาบวก ดูเอาเองน่ะ จะได้
\((66x+48y)+( 104x-48y)=186+664\)
\((66x+104x+48y-48y)=850\)
\(170x=850\)
\(x=\frac{850}{170}\) ตัดทอน
\(x=5\)
ได้ ค่า x แล้วหาค่า y ต่อเลยครับ
แทน \(x\) ด้วย \(5\) ในสมการที่ \((1)\) จะได้
\(11(5)+8y=31\)
\(55+8y=31\)
\(8y=31-55\)
\(8y=-24\)
\(y=\frac{-24}{8}\)
\(y=-3\)
ดังนั้นคำตอบของระบบสมการคือ \((5,-3)\) คำตอบออกมาสวยที่เดียวครับข้อนี้