ผลคูณคาร์ทีเซียน(Cartesian product)



ให้  A และ B เป็นเซตใดๆ ผลคูณคาร์ทีเซียนของ A และ B เขียนแทนด้วย \( A \times B\) โดยที่

\(A\times B=\{(x,y) | x \in A , y\in B\} \)

จากความหมายข้างต้น แสดงว่า \(A \times B \) เป็นเซตๆหนึ่ง โดยที่สมาชิกในเซตเป็นคู่อันดับ ซึ่งสมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับเป็นสมาชิกในเซต A และสมาชิกตัวหลังของคู่อันดับเป็นสมาชิกในเซต B

ตัวอย่างที่ 1

1) ให้ \(A=\{a,b,c\} , B=\{p,q\}\)  จงหา \(A\times B \)

จะได้ว่า

\( A \times B =\{(a,p),(a,q),(b,p),(b,q),(c,p),(c,q)\}\)

หรือจะใช้แผนภาพในการหาคำตอบก็ได้น่ะ

2) ให้ \(B=\{1,2\} ,B=\{3,5\}\) จงหา \(A\times B \)

จะได้ว่า

\(A\times B=\{(1,3),(1,5),(2,3),(2,5)\}\)

จากตัวอย่างที่ ได้ยกให้ดูข้างต้นน่ะคับ...สามารถสรุปได้เป็นสมบัติที่สำคัญ...ดังนี้

1. ถ้า A มีจำนวนสมาชิก m ตัว และ B มีจำนวนสมาชิก n ตัว แล้ว \(A\times B \)  จะมีจำนวนสมาชิก (m)(n) ตัว

ตัวอย่างเช่น \(A=\{1,2,3\}\) และ \(B=\{4,5\}\)

จะเห็นว่าจำนวนสมาชิกของ A หรือว่า n(A)=3

และจำนวนสมาชิกของ B หรือว่า n(B)=2

ดังนั้น  จำนวนสมาชิกของ\(A\times B\) หรือ \(n(A\times B)=(3)(2)=6 \) ตัว

2. \(A \times B = \varnothing \) ก็ต่อเมื่อ \(A=\varnothing\) หรือ \(B=\varnothing\)

3. ถ้า \(A\times B=A\times C\) และ \(A\neq \varnothing \) แล้ว \(B=C\)

4. \(A\times (B \cup C)=(A\times B)\cup(A\times C) \)

5. \(A\times (B\cap C)=(A\times B) \cap (A\times C) \)

6. \( A \times (B-C)=(A\times B)-(A\times C)\)

แก้ไขล่าสุด (วันเสาร์ที่ ๐๗ มกราคม พ.ศ. ๒๕๖๐ เวลา ๑๗:๑๗ น.)