หลักและวิธีการทำโจทย์ปัญหาสมการกำลังสอง นั้น มีหลักง่ายๆคับ คือ
1. ตัองกำหนดตัวแปรคับ วิธีการกำหนดตัวแปรก็ไม่ยากคับ โจทย์ถามหาอะไรก็ให้ตัวนั้นเป็นตัวแปรเลยอย่างเช่น
โจทย์ถามหาความกว้างของห้อง เราก็กำหนดให้ห้องนี้ยาว x หน่วย พอกำหนดตัวแปรแลัวต่อไปคือ
2. สร้างสมการขึ้นมาจากเงื่อนไขที่โจทย์กำหนดมาให้ อันนี้ต้องวิเคราะห์กันหน่อยว่าโจทย์ให้เงื่อนไขอะไรเรามาบ้าง
3. แก้สมการจากข้อที่ 2 ที่เราสร้างขึ้นมา
4.หลังจากแก้สมการเสร็จแล้วก็ทำการตรวจสอบคำตอบก่อนแล้วค่อยตอบคับ ส่วนในบทความนี้ผมจะไม่ทำ
ขั้นตอนที่ 4 น่ะ ที่ไม่ทำก็เพราะว่า ตามตรงเลยน่ะ ไม่อ้อมค้อม คือขี้เกียจคับ ไม่พวกเราลองตรวจสอบเองแล้วกันไม่ยากคับ เริ่มต้นที่ข้อแรกเลยแล้วกันค่อยๆอ่านโจทย์น่ะ
ทำแบบฝึกหัดกันเลยน่ะคับ ไม่ยากน่ะพยายาม
1.พื้นห้องเรียนรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ามีพื้นที่ 180 ตารางเมตร ด้านยาวยาวกว่าด้านกว้าง 3 เมตร ห้องนี้กว้างและยาวกี่เมตร
วิธีการทำ ขั้นตอนแรกเราต้องกำหนดตัวแปรก่อนคับ วิธีการกำหนดตัวแปรคือโจทย์ถามหาอะไรเราก็ให้ตัวนั้นแหล่ะเป็นตัวแปร อย่างเช่นข้อนี้โจทย์ถามหาความกว้างและยาว เราก็กำหนดตัวแปรดังนี้คือ
ให้ห้องนี้กว้าง x เมตร
และโจทย์บอกว่าด้านยาวยาวกว่าด้านกว้าง 3 เมตร ดังนั้นห้องเรียนนี้ยาว x+3 เมตรตรงนี้เข้าใจไหมเอ่ย
โจทย์บอกเราอีกว่าห้องเรียนนี้มีพื้นที่ 180 ตารางเมตร ซึ่งพื้นที่หาได้จากเอาความกว้างคูณกับความยาว นั่นก็คือ
กว้าง \(\times \) ยาว เท่ากับ 180 จึงได้ว่า
\( x \times (x+3)=180\) แก้สมการนี้เลยคับเพื่อหาค่า x ซึ่งวิธีการแก้ก็ไม่ยากคับเอา x คูณเข้าไปในวงเล็บก็จะได้
\(x^{2}+3x=180\)
\(x^{2}+3x-180=0\) แยกตัวประกอบต่อน่ะก็จะได้
\((x-9)(x+12)=0\) จะได้
\((x-9)=0 \ หรือ \ (x+12)=0\) จะได้
\( x= 9 \ หรือ \ x=-12 \) ซึ่งเราให้ x เป็นความกว้างของห้อง ความกว้างมีค่าเป็นบวกเสมอดังนั้นห้องนี้กว้าง 9 เมตร และห้องนี้มีความยาวยาวกว้างด้านกว้าง 3 เมตร ดังนั้นห้องนี้ยาว 9+3=12 เมตร วิธีการทำก็ประมาณนี้คับไม่ยาก จริงๆแล้วคิดในใจก็ได้ข้อนี้ อย่างไรก็อ่านให้เข้าใจเพื่อนำไปประยุกต์ใช้กับข้ออื่นอีกทีหนึ่ง
2.กำหนดสามเหลี่ยม ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก โดยมี B เป็นมุมฉาก ด้าน AB ยาวกว่าด้าน BC 7 เซนติเมตร และ ด้าน AC ยาวกว่า ด้าน AB 1 เซนติเมตร จงหาความยาวของด้าน AB,BC และ AC ตามลำดับ
วิธีทำ
ข้อนี้ก็ไม่ยากคับกำหนดตัวแปรก่อนคับ ให้ x เป็นความยาวของด้านของรูปสามเหลี่ยมนี้แล้วจะเป็นด้านไหนดีล่ะ ก็ต้องดูดีๆน่ะคับในที่นี้ผมให้
ให้ x คือความยาวของด้าน BC ซึ่งก็คือผมให้ BC ยาว x เซนติเมตรนั่นเอง ต่อไปอ่านโจทย์ว่าโจทย์บอกเงื่อนไขอะไรมาอีกบ้าง
โจทย์บอกว่า : ด้าน AB ยาวกว่าด้าน BC 7 เซนติเมตร ดังนั้น AB ยาว x+7 เซนติเมตรใช่ไหมคับดูดีๆวิเคราะห์ช้าๆ
นอกจากนั้นโจทย์ยังบอกอีกว่า: ด้าน AC ยาวกว่า ด้าน AB 1 เซนติเมตร
จาก AB ยาว x+7 เซนติเมต AC ยาวกว่า AB อยู่ 1 เซนติเมตร ดังนั้น AC ยาว x+7+1=x+8 เซนติเมตร ถูกต้องไหมคับอ่านโจทย์ดีๆน่ะ
สรุปคือ
BC ยาว x ซม.
AB ยาว x+7 ซม.
AC ยาว x+8 ซม.
ดังรูปนี้ครับ
โจทย์ให้หาความยาวของด้านทั้งสามด้านแสดงว่าเราต้องหา x ให้ได้คับ คำถามคือหา x ยังไง
ดูที่โจทย์น่ะคับว่าสามเหลี่ยมนี้เป็นสามเหลี่ยมอะไร เป็นสามเหลี่ยมมุมฉากดังนั้นเราสามารถนำทฤษฎีบทพีทาโกรัสมาช่วยในการหาค่า x ได้ คับ เริ่มหากันเลยเราจะได้
\begin{array}{lcl}(x+8)^{2}&=&(x+7)^{2}+x^{2}\\x^{2}+16x+64&=&x^{2}+14x+49+x^{2}\\x^{2}-2x-15&=&0\\(x-5)(x+3)&=&0\end{array}
ดังนั้น ได้ค่า
\(x=5\) หรือ \(x=-3\)
แต่เราไม่เอา \(x=-3\) เพราะความยาวจะไม่ติดลบครับดังนั้น \(x=5\)
สรุปคำตอบคือ
\(BC\quad ยาว\quad 5 \quad ซม.\)
\(AB\quad ยาว\quad x+7=5+7=12 \quad ซม.\)
\(AC\quad ยาว \quad x+8=5+8=13\quad ซม.\)
3.สามเหลี่ยม ABC มีพื้นที่ 52 ตารางเซนติเมตร มีความสูงน้อยกว่าสองเท่าของความยาวของฐาน BC อยู่ 3 เซนติเมตร จงหาความยาวของฐาน BC
วิธีทำ การทำโจทย์พวกนี้แนะนำให้วาดรูปประกอบด้วยเวลาทำจะได้มองเห็นภาพพจน์ชัดเจนครับ
เรามาวิเคราะห์โจทย์และค่อยๆทำไปพร้อมกันนะคับจะเห็นว่าโจทย์บอกว่าสามเหลี่ยมนี้มีพื้นที่เท่ากับ 52 ตารางเซนติเมตรจากตรงนี้เราจะได้ว่า
\(52=\frac{1}{2}\times BC \times AE\)
จากรูป \(BC\) ซึ่งเป็นฐานผมให้มันยาว \(x\) เซนติเมตร จากโจทย์บอกว่าสามเหลี่ยมนี้มีความสูงน้อยกว่าสองเท่าของความยาวฐานอยู่ 3 เซนติเมตร ดังนั้น สามเหลี่ยมนี้มีส่วนสูงเท่ากับ \(2x-3\) จากตรงนี้เราจะได้ว่า
\(BC=x\)
\(AE=2x-3\)
เพราะฉะนั้น
\begin{array}{lcl}52&=&\frac{1}{2}\times BC\times AE\\52&=&\frac{1}{2}\times x\times (2x-3)\\104&=&2x^{2}-3x\\2x^{2}-3x-104&=&0\\(2x+13)(x-8)&=&0\end{array}
ดังนั้น
\(x=8\) หรือ \(x=-\frac{13}{2}\)
แต่ค่าลบไม่เอานะครับนั่นคือ สามเหลี่ยมรูปนี้มีฐานยาว 8 เซนติเมตร
4.ผลคูณของจำนวนคี่บวกสองจำนวนที่เรียงติดกันเป็น 675 จงหาจำนวนคี่สองจำนวนนั้น
วิธีทำ ข้อนี้ถ้าใครเป็นคนหัดสังเกตก็จะได้ทำได้โดยง่ายครับ ถ้าสังเกตจำนวนบวกคี่ ยกตัวอย่างเช่น
\(1,3,5,7,9,...\)
จะเห็นว่าจำนวนคี่บวกที่ติดกันเหล่านี้มันต่างกันสอง นั่นก็คือ
ถ้าผมให้เป็นจำนวนแรกคือ \(x\)
จะได้จำนวนที่สองเป็น \(x+2\) เข้าใจไหมเอ่ย
ดังนั้นจากโจทย์บอกว่า ผลคูณของจำนวนคี่บวกสองจำนวนที่เรียงติดกันเป็น 675 เราจึงได้สมการคือ
\begin{array}{lcl}x(x+2)&=675&\end{array}
เริ่มแก้สมการเลยครับ
\begin{array}{lcl}x(x+2)&=&675\\x^{2}+2x&=&675\\x^{2}+2x-675&=&0\\(x+27)(x-25)&=&0\end{array}
ดังนั้นเราจะได้ว่า
\(x=-27\) หรือ \(x=25\)
ดังนั้นจำนวนคือบวกสองตัวนั้นคือ ตัวแรกคือ \(25\) ตัวถัดมากคือ \(27\) นั่นเองครับ
ผมจะทำให้ดูเป็นตัวอย่างแค่นี้นะครับ เอาไว้ให้คนที่ไม่เข้าใจหรือไม่มีเงินเรียนพิเศษได้ทบทวนทำความเข้าใจหลังจากเรียนในห้องเรียนครับ สำหรับข้ออื่นก็ใช้หลักการเดียวกันในการหาคำตอบครับ อาจจะยากหน่อยแต่ก็ต้องพยายามทำไปเรื่อยๆครับ