การที่จะทำโจทย์เลขยกกำลังได้เราจำเป็นต้องมีความรู้เกี่ยวกับ ทฤษฎีของเลขยกกำลัง ครับซึ่งสามารถหา

อ่านได้ ตามลิงค์นี้ครับ ทฤษฎีเกี่ยวกับเลขยกำลัง ทฤษฎีเกี่ยวกับเลขยกกำลังมีทั้งหมด 5 ข้อ น่ะครับ ต้องจำให้ได้ทั้งหมดทั้ง 5 ข้อเลยน่ะครับ เรื่องนี้เป็นเรื่องที่ไม่ยากครับ ต้องหัดทำโจทย์เยอะๆ เวลาเราไปโจทย์โจทย์เราต้องพิจารณาโจทย์ดูว่าจะใช้ทฤษฎีข้อไหนมาช่วยในการทำโจทย์ ต้องเลือกให้ถูกน่ะครับ ถ้าเลือกถูกก็จะแก้โจทย์ได้แบบง่ายๆครับ  ไม่ยากเลย หัดทำไปเรื่อยๆ ครับ มาลองทำโจทย์กันเลย...

แบบฝึกหัด 

1. จงทำให้เป็นรูปอย่างง่ายและมีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบวก 

1) \(\left(\frac{x}{y}\right)^{3}\left(\frac{y^{2}x}{z}\right)^{4}\) 

วิธีทำ เราต้องพิจารณาโจทย์ก่อนครับ แล้วก็ดูว่าโจทย์แบบนี้จะใช้  ทฤษฎีเกี่ยวกับเลขยกำลัง ข้อไหน  จะเห็นว่าโจทย์ข้อนี้เป็นเลยยกกำลังที่ฐานเป็นเศษส่วน  ดังนั้น จะต้องใช้ ทฤษฎีเกี่ยวกับเลขยกำลัง ข้อที่ 4  ครับ

เริ่มทำเลยน่ะครับ

\begin{array}{lcl}\left(\frac{x}{y}\right)^{3}\left(\frac{y^{2}x}{z}\right)^{4}&=&\frac{x^{3}}{y^{3}}\frac{y^{8}x^{4}}{z^{4}}\\&=&\frac{x^{3+4}y^{8-3}}{z^{4}}\\&=&\frac{x^{7}y^{5}}{z^{4}}\end{array}


2.\( \frac{2^{-3}3^{-5}}{3^{-5}2^{0}}\) 

วิธีทำ ข้อนี้ไม่ยากครับ ฐานเหมือนกันจัดให้อยู่ด้วยกันครับ แล้วก็จัดการเลย ฐานเหมือนกันหารกันนำเลขชี้กำลังมาลบกันครับ

\( \begin{array}{lcl} \frac{2^{-3}3^{-5}}{3^{-5}2^{0}}&=& \left( \frac{2^{-3}}{2^{0}}\right) \left( \frac{3^{-5}}{3^{-5}}\right)\\&=&(2^{-3-0})(3^{(-5)-(-5)})\\&=& 2^{-3}3^{0}\\&=&\frac{1}{2^{3}}(1)\\&=&\frac{1}{2^{3}}\\&=&\left(\frac{1}{2}\right)^{3} \end{array}\)


3.\(\frac{x^{9}(2x)^{4}}{x^{3}}\)

วิธีทำ ข้อนี้ง่ายๆครับ มาดูวิธีทำกันเลย step by step 

จากโจทย์

\(\frac{x^{9}(2x)^{4}}{x^{3}}\)

\(=\frac{x^{9}2^{4}x^{4}}{x^{3}}\)  note: \((2x)^{4}=2^{4}x^{4}\)

น่ะครับ  เอา \(4\) ไปเป็นเลขชี้กำลังตัวที่อยู่ข้างในวงเล็บครับ

ต่อไปจัดรูปให้สวยงามครับ ไม่ยากแล้ว ฐานเหมือนกันคือฐาน \(x\)จัดให้อยู่ด้วยกันครับ

\(=2^{4}\frac{x^{9}x^{4}}{x^{3}}\) 

\(=16 \frac{x^{9+4}}{x^{3}}\) ฐานเหมือนกันคูณกันนำเลขชี้กำลังมาบวกกันน่ะครับ

\(=16\frac{x^{13}}{x^{3}}\)

\(=16x^{13-3}\) ฐานเหมือนกันหารกันนำเลขชี้กำลังมาลบกันครับ

\(=16x^{10}\)


4.\((a^{-5}b^{7})(a^{-2}b^{-7}c^{0})\)

วิธีทำ ข้อนี้ไม่ยากครับง่าย ถึงง่ายมาก ครับ วิธีทำข้อนี้คือ ฐานเหมือนกันจัดให้อยู่ด้วยกันครับ มีสามฐานคือ ฐาน a,b และ ฐาน c เริ่มจัดกันเลย

\((a^{-5}b^{7})(a^{-2}b^{-7}c^{0})\) 

\(=(a^{-5}a^{-2})(b^{7}b^{-7})c^{0}\)

\(=\left(a^{(-5)+(-2)}\right) \left(b^{7+(-7)}\right) (1)\)

อะไรก็ตามยกเว้นเลขศูนย์ยกกำลังศูนย์มีค่าเท่ากับหนึ่ง ดังนั้น \(c^{0}=1\)

\(=a^{-7}b^{0}\)

\(=a^{-7}\)

\(=\frac{1}{a^{7}}\)

note: ทำ \(a^{-7}\)ให้มีเลขชี้กำลังเป็นบวกคือเป็น 7 ครับ โดยใช้ทฤษฎีนี้ครับ\( a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}\) ในทำนองเดียวกัน \(\frac{1}{a^{-n}}=a^{n}\)


5.\(\left(\frac{1}{2} x^{-3}y^{2}\right)^{-4}\)

วิธีทำ ข้อ 5 ไม่มีอะไรยากครับ แค่เข้าใจทฤษฎี 2 ข้อนี้คือ

\((ab)^{m}=a^{m}b^{m}\)

\((a^m)^{n}=a^{mn}\) ก็ทำได้แล้วครับไม่ยากครับ

เริ่มทำกันเลย

\(\left(\frac{1}{2} x^{-3}y^{2}\right)^{-4}\)

\(=\left(\frac{1}{2}\right)^{-4}(x^{-3})^{-4}(y^{2})^{-4}\)

\(=\frac{(1)^{-4}}{(2)^{-4}}  x^{(-3 \times -4)}y^{(2 \times -4)} \)

\(=\frac{(1)^{-4}}{(2)^{-4}}x^{12}y^{-8}\) ทำเลขชี้กำลังให้เป็นบวกครับ วิธีการทำเลขชี้กำลังให้เป็นบวกง่ายๆครับ คือ สลับที่กันระหว่างเศษกับส่วน ไปดูกันเลยครับ สังเกตให้ดีน่ะอธิบายไม่ถูกเหมือนกัน ถ้าอ่านทฤษฏีนี้เข้าใจจะทำได้เลยครับ คือ \( a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}\) ในทำนองเดียวกัน \(\frac{1}{a^{-n}}=a^{n}\)

\(=\frac{(2)^{4}}{(1)^{4}} x^{12} \frac{1}{y^{8}}\)  สังเกตวิธีการทำเลขชี้กำลังให้เป็นบวกดีๆน่ะครับ แค่เปลี่ยนสลับที่กันจากเศษไปเป็นส่วน จากส่วนไปเป็นเศษเลขชี้กำลังจะเปลี่ยนน่ะครับ

\(=\frac{2^{4}x^{12}}{y^{8}}\)

\(=\frac{16x^{12}}{y^{8}}\)


6.\(\left[(7^{n})^{-3}\times (14^{n})^{6}\right]\div (128\times 7^{4})^{n}\)

วิธีทำ ข้อนี้กระจายพวกนี้ก่อน ก็จะเห็นวิธีการทำ คือ

\(14=7\times 2\)

\(128=2^{7}\)

เริ่มทำกันเลย

\begin{array}{lcl}\left[(7^{n})^{-3}\times (14^{n})^{6}\right]\div (128\times 7^{4})^{n}&=&\left[7^{-3n}\times (7\times 2)^{6n}\right]\div (2^{7n}\times 7^{4n})\\&=&(7^{-3n}\times 7^{6n}\times 2^{6n})\div (2^{7n}\times 7^{4n})\\&=&(7^{3n}\times 2^{6n})\div (2^{7n}\times 7^{4n})\\&=&\frac{7^{3n}}{7^{4n}}\times \frac{2^{6n}}{2^{7n}}\\&=&7^{-n}\times 2^{-n}\\&=&\frac{1}{7^{n}\times 2^{n}}\end{array}


7.\(\frac{25^{3x-1}\times 125^{3-x}\times 5^{-6}}{5^{3x+1}}\)

วิธีทำ ข้อนี้ต้องทำให้ทุกพจน์เป็นเลขยกกำลังที่มีฐานเป็นห้า ให้หมดครับ

\begin{array}{lcl}\frac{25^{3x-1}\times 125^{3-x}\times 5^{-6}}{5^{3x+1}}&=&\frac{5^{2(3x-1)}\times 5^{3(3-x)}\times 5^{-6}}{5^{3x+1}}\\&=&\frac{5^{6x-2}\times 5^{9-3x}\times 5^{-6}}{5^{3x+1}}\\&=&\frac{5^{(6x-2+9-3x-6}}{5^{3x+1}}\\&=&\frac{5^{3x+1}}{5^{3x+1}}\\&=&1\end{array}


8. \(\frac{a^{-2}-6a^{-1}+9}{a^{-2}-3a^{-1}}\)

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}\frac{a^{-2}-6a^{-1}+9}{a^{-2}-3a^{-1}}&=&\frac{\frac{1}{a^{2}}-\frac{6}{a}+9}{\frac{1}{a^{2}}-\frac{3}{a}}\\&=&\frac{(\frac{1}{a^{2}}-\frac{6}{a}+9)}{(\frac{1}{a^{2}}-\frac{3}{a})}\times \color{red}{\frac{a^{2}}{a^{2}}}\\&=&\frac{\frac{a^{2}}{a^{2}}-\frac{6a^{2}}{a}+9a^{2}}{\frac{a^{2}}{a^{2}}-\frac{3a^{2}}{a}}\\&=&\frac{1-6a+9a^{2}}{1-3a}\\&=&\frac{(3a-1)(3a-1)}{-(3a-1)}\\&=&\frac{3a-1}{-1}\\&=&-3a+1\end{array}


9. \(81^{6}\cdot 64^{4}\cdot 6^{-23}\)

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}81^{6}\cdot 64^{4}\cdot 6^{-23}&=&(3^{4})^{6}\cdot (2^{6})^{4}\cdot (2\cdot 3)^{-23}\\&=&3^{24}\cdot 2^{24}\cdot 2^{-23}\cdot 3^{-23}\\&=&3^{24+(-23)}\cdot 2^{24+(-23)}\\&=&3\cdot 2\\&=&6\end{array}

สำหรับข้างล่างจะเป็นวิดีโอเกี่ยวกับเรื่อง เลขยกกำลังน่ะคับ เป็นการนำนิยามและทฤษฎีเกี่ยวกับเลขยกกำลังไปใช้ เป็นแบบฝึกหัด 1.1 ซึ่งทำให้ดูเป็นตัวอย่างเพียงบางข้อเท่านั้น อย่างไรก็ลองศึกษาทำความเข้าใจเองน่ะคับ คงไม่ยากเกินไปสำหรับเรื่องนี้  และยังมีแบบฝึกหัด 1.3 ด้วย เป็นบางข้อเท่านั้นคับ  ถ้ามีปัญหาอะไรก็โพสต์ถามได้คับ

ดูผ่าน youtube  เป็นแบบฝึกหัด 1.1 คณิตศาสตร์เพิ่มเติม ม.5 ข้อ 2 ใหญ่


ผมได้เขียนบทความเพิ่มเติมเกี่ยวกับเลขยกกำลังเพื่อให้ครอบคลุม อย่างไรก็อ่านได้ตามลิงค์เลยครับ ติดปัญหาตรงไหนก็เมล์ไปถามได้ครับถ้าว่างก็จะตอบให้ครับ   โจทย์เลขยกกำลัง ม.5 (เพิ่มเติม)

ข้อต่อไปจะนำเอา ข้อสอบเลขยกกำลังที่เป็นข้อสอบ o-net ลงมาให้ดูบ้าง

1. จำนวนจริง \(\sqrt{84+18\sqrt{3}}\) มีค่าเท่าใด (o-net 59)

  1. \(4+3\sqrt{3}\)
  2. \(5+2\sqrt{2}\)
  3. \(6+2\sqrt{3}\)
  4. \(9+\sqrt{3}\)
  5. \(10+\sqrt{3}\)

วิธีทำ ข้อนี้ผมอยากให้ทุกคนไปอ่านที่ลิงก์นี้ก่อนแล้วค่อยทำครับ รูทซ้อนรูท  ก็คือพยายามจัดรูปพจน์ที่เขาให้มาให้อยู่ในรรูปของ \(\sqrt{a+2\sqrt{b}}\) ก่อน เริ่มทำเลยครับ

\begin{array}{lcl}\sqrt{84+18\sqrt{3}}&=&\sqrt{84+2\times 9\sqrt{3}}\\&=&\sqrt{84+2\sqrt{9^{2}\times 3}}\\&=&\sqrt{84+2\sqrt{81\times 3}}\\&=&\sqrt{84+2\sqrt{243}}\end{array}

ต่อไปหาตัวเลขมา 2 ตัวครับที่ บวกกันได้ \(84\) และ คูณกันได้ \(243\) จะเห็นได้ว่า

\(81+3=84\)

\(81\times 3=243\) ดังนั้น

\begin{array}{lcl}\sqrt{84+2\sqrt{243}}&=&\sqrt{81}+\sqrt{3}\\&=&9+\sqrt{3}\quad\underline{Ans}\end{array}


2. ถ้า \(a=-5\) และ \(b=8\) แล้ว \(\sqrt[6]{a^{2}b}\sqrt[6]{a^{4}b}\) มีค่าเท่าใด (o-net 59)

  1. 10
  2. -10
  3. 20
  4. -15
  5. -40

วิธีทำ ข้อนี้ถ้าเราคิดเล่นๆนะค่านี้ \(\sqrt[6]{a^{2}b}\) มีค่ามากกว่าเท่ากับ \(0\) แน่นอนเพราะเป็นรากคู่ และ

\(\sqrt[6]{a^{4}b}\) ก็มีค่ามากกว่าเท่ากับ \(0\) เพราะว่าเป็นรากคู่ ถ้าเอาสองก้อนนี้มาคูณกัน ต้องได้ค่า เป็นบวก หรือไม่ก็ \(0\)

ตัวเลือกที่ติดลบตัดทิ้งได้เลยครับ

\begin{array}{lcl}\sqrt[6]{a^{2}b}\sqrt[6]{a^{4}b}&=&\sqrt[6]{(-5)^{2}\cdot 8}\sqrt[6]{(-5)^{4}\cdot 8}\\&=&\sqrt[6]{(-5)^{6}8^{2}}\\&=&\sqrt[6]{5^{6}8^{2}}\\&=&\left(5^{6}\cdot 8^{2}\right)^{\frac{1}{6}}\\&=&5^{6\times\frac{1}{6}}\cdot 8^{2\times \frac{1}{6}}\\&=&5\times 8^{\frac{1}{3}}\\&=&5\times 2\\&=&10\end{array}


3. ถ้า \(x=1+\sqrt{3}\) แล้ว \(\frac{x^{\frac{1}{2}}-\sqrt{3}x^{-\frac{1}{2}}}{x}\) เท่ากับเท่าใด  (o-net 59)

  1. \(1+\sqrt{3}\)
  2. \((1+\sqrt{3})^{\frac{1}{2}}\)
  3. \((1+\sqrt{3})^{-\frac{1}{2}}\)
  4. \((1+\sqrt{3})^{-1}\)
  5. \((1+\sqrt{3})^{-\frac{3}{2}}\)

วิธีทำ   ข้อนี้ถ้าทำแบบตรงๆ ยากวุ่นวายแน่นอนครับ ดังนั้นต้องจัดรูปหาอะไร มาคูณเข้าก่อนคับ เริ่มทำเลยนะคับ

\begin{array}{lcl}\frac{x^{\frac{1}{2}}-\sqrt{3}x^{-\frac{1}{2}}}{x}&=&\color{red}{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^\frac{1}{2}}}\times \frac{x^{\frac{1}{2}}-\sqrt{3}x^{-\frac{1}{2}}}{x}\\&=&\frac{x-\sqrt{3}}{x^{\frac{3}{2}}}\\&=&\frac{1+\sqrt{3}-\sqrt{3}}{(1+\sqrt{3})^{\frac{3}{2}}}\\&=&\frac{1}{(1+\sqrt{3})^{\frac{3}{2}}}\\&=&(1+\sqrt{3})^{-\frac{3}{2}}\end{array}


4. ถ้า \(x\) เป็นจำนวนจริงบวกที่สอดคล้องกับสมการ \((4^{x})^{2x-1}=\frac{(16)^{4}}{2^{2x}}\) แล้ว \(x\) มีค่าเท่ากับเท่าใด (o-net 59)

วิธีทำ ข้อนี้ไม่มีอะไร เป็นการแก้สมการเลขยกกำลัง คือต้องทำฐานทั้งสองข้างของสมการให้เท่ากัน ข้อนี้คือทำฐานให้เท่ากับ \(4\) นั่นเองครับ เริ่มเลย

\begin{array}{lcl}(4^{x})^{2x-1}&=&\frac{(16)^{4}}{2^{2x}}\\4^{2x^{2}-x}&=&\frac{(4^{2})^{4}}{4^{x}}\\4^{2x^{2}-x}&=&4^{8-x}\\so\\2x^{2}-x&=&8-x\\2x^{2}-8&=&0\\x^{2}-4&=&0\\x^{2}&=&4\\x&=&\pm 2\end{array}

แต่โจทย์บอกว่า \(x\) เป็นจำนวนจริงบวก ดังนั้น \(x=2\)


5. ถ้า \(a\) เป็นจำนวนจริงบวก แล้ว \(\sqrt[3]{a\sqrt[3]{a}}\) เท่ากับเท่าใด (o-net 58)

  1. \(a^{\frac{1}{9}}\)
  2. \(a^{\frac{2}{9}}\)
  3. \(a^{\frac{4}{9}}\)
  4. \(a^{\frac{5}{9}}\)
  5. \(a^{\frac{7}{9}}\)

วิธีทำ ข้อนี้ไม่ได้ใช้ความรู้อะไรมากมาย อาศัยความรู้แค่การเปลี่ยนจาก ราก ให้เป็นเลขยกกำลัง เช่น

\(\sqrt[3]{a}=a^{\frac{1}{3}}\)

\(\sqrt[6]{a}=a^{\frac{1}{6}}\) 

เริ่มทำกันเลยคับ

\begin{array}{lcl}\sqrt[3]{a\sqrt[3]{a}}&=&\left(aa^{\frac{1}{3}}\right)^{\frac{1}{3}}\\&=&\left(a^{1+\frac{1}{3}}\right)^{\frac{1}{3}}\\&=&\left(a^{\frac{4}{3}}\right)^{\frac{1}{3}}\\&=&a^{\frac{4}{3}\times \frac{1}{3}}\\&=&a^{\frac{4}{9}}\end{array}


6. ให้ \(A=2^{\frac{3}{2}},B=3^{\frac{2}{3}}\) และ \(C=216^{\frac{1}{6}}\) ข้อใดถูกต้อง  (o-net 58)

  1. \(A<B<C\)
  2. \(A<C<B\)
  3. \(B<A<C\)
  4. \(B<C<A\)
  5. \(C<B<A\)

วิธีทำ  ข้อนี้เขาให้เราเปรียบเทียบจำนวน ถ้าเราสังเกตดีที่เลขชี้กำลังเขาจะใบ้ให้เรานิดหนึ่งก็คือตัองทำส่วนให้เป็น \(6\) เริ่มกันกันเลย

\(A=2^{\frac{3}{2}\times\color{red}{\frac{3}{3}}}=2^{\frac{9}{6}}=(2^{9})^{\frac{1}{6}}=512^{\frac{1}{6}}\)

\(B=2^{\frac{2}{3}\times\color{red}{\frac{2}{2}}}=3^{\frac{4}{6}}=(3^{4})^{\frac{1}{6}}=81^{\frac{1}{6}}\)

\(C=(216)^{\frac{1}{6}}\)

จะเห็นว่าตอนนี้เลขชี้กำลังเท่ากันแล้ว ดังนั้นเราสามารถเปรียบเทียบกันได้แล้ว ก็คือ

\(81^{\frac{1}{6}}<216^{\frac{1}{6}}<512^{\frac{1}{6}}\)  นั่นก็คือ  \(B<C<A\)  ครับ


7. ค่าของ \(\sqrt{5+\sqrt{24}}-\sqrt{18}+\sqrt{12}\) อยู่ในช่วงใด (o-net 58)

  1. (2.2,2.3)
  2. (2.3,2.4)
  3. (2.4,2.5)
  4. (2.5,2.6)
  5. (2.6,2.7)

วิธีทำ ข้อนี้การที่จะหาค่าของ \(\sqrt{5+\sqrt{24}}\) ให้ไปดูที่ลิงก์นี้ก่อนนะคับไปอ่านทำความเข้าใจเอง รูทซ้อนรูท  เริ่มทำเลย

\begin{array}{lcl}\sqrt{5+\sqrt{24}}-\sqrt{18}+\sqrt{12}&=&\sqrt{3}+\sqrt{2}-3\sqrt{2}+2\sqrt{3}\\&=&3\sqrt{3}-2\sqrt{2}\\&=&(3\times 1.732)-(2\times 1.414)\\&=&5.196-2.832\\&=&2.368\end{array}

จะเห็นว่า \(2.368\in (2.3,2.4)\) 

อย่างน้อยข้อนี้ ทุกคนต้องรู้ว่า \(\sqrt{3}\approx 1.732\) และ \(\sqrt{2}\approx 1.414\)


8. ถ้า \(a=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}\) แล้ว \(a^{2}+\frac{1}{a^{2}}\) มีค่าเท่าใด (o-net 58)

  1. \(10\)
  2. \(20\sqrt{6}\)
  3. \(40\sqrt{6}\)
  4. \(49\)
  5. \(98\)

วิธีทำ ข้อนี้แนะนำให้ไปดูเรื่องนี้ก่อน ทำให้ตัวส่วนไม่ติดกรณฑ์ อ่านให้เข้าใจก่อน

ขั้นตอนแรกคือเราต้องจัดรูป \(a\) ก่อน คือทำตัวส่วนของ\(a\) ไม่ให้ติดกรณฑ์

\(a=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}\times \color{red}{\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}}=5+2\sqrt{6}\)

\(\frac{1}{a}=\frac{1}{5+2\sqrt{6}}=\frac{1}{5+2\sqrt{6}}\times \color{red}{\frac{5-2\sqrt{6}}{5-2\sqrt{6}}}=5-2\sqrt{6}\)

ต่อไปพิจารณา

\begin{array}{lcl}\left(a+\frac{1}{a}\right)^{2}&=&a^{2}+2(a)(\frac{1}{a})+\frac{1}{a^{2}}\\\left(a+\frac{1}{a}\right)^{2}&=&a^{2}+2+\frac{1}{a^{2}}\\\left(a+\frac{1}{a}\right)^{2}-2&=&a^{2}+\frac{1}{a^{2}}\\so\\a^{2}+\frac{1}{a^{2}}&=&\left(a+\frac{1}{a}\right)^{2}-2\\a^{2}-\frac{1}{a^{2}}&=&\left(5+2\sqrt{6}+5-2\sqrt{6}\right)^{2}-2\\a^{2}+\frac{1}{a^{2}}&=&10^{2}-2\\&=&98\end{array}


9. ให้ \(A=2^{\frac{5}{6}},B=3^{\frac{1}{2}}\) และ \(C=5^{\frac{1}{3}}\) ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง (o-net 57)

  1. \(A<B<C\)
  2. \(B<A<C\)
  3. \(B<C<A\)
  4. \(C<A<B\)
  5. \(C<B<A\)

วิธีทำ ข้อนี้คือให้เราเปรียบเทียบจำนวน  การทำข้อนี้คือไปทำที่เลขชี้กำลังครับคือทำเลขชี้กำลังให้กลายเป็น \(\frac{1}{6}\) ให้หมดเลย สังเกตดูดีๆคับ เริ่มเลย

\(A=2^{\frac{5}{6}}=(2^{5})^{\frac{1}{6}}=32^{\frac{1}{6}}\)

\(B=3^{\frac{1}{2}}=3^{\frac{1}{2}\times \color{red}{\frac{3}{3}}}=3^{\frac{3}{6}}=(3^{3})^{\frac{1}{6}}=27^{\frac{1}{6}}\)

\(C=5^{\frac{1}{3}}=5^{\frac{1}{3}\times \color{red}{\frac{2}{2}}}=5^{\frac{2}{6}}=(5^{2})^{\frac{1}{6}}=25^{\frac{1}{6}}\)

จะเห็นได้ว่า

\(25^{\frac{1}{6}}<27^{\frac{1}{6}}<32^{\frac{1}{6}}\)  ก็คือ \(C<B<A\)


10. ถ้า \(x\) และ \(y\) เป็นจำนวนจริงซึ่ง \(2^{x^{2}}=16\) และ \(-3\leq y \leq x\) แล้ว ค่าที่มากที่สุดที่เป็นไปได้ของ \(xy\) เท่ากับเท่าใด (o-net 58)

วิธีทำ ข้อนี้เราก็แก้สมการหาค่าของ \(x\) ก่อนคับ

\begin{array}{lcl}2^{x^{2}}&=&16\\2^{x^{2}}&=&2^{4}\\so\\x^{2}&=&4\\x&=&2,\quad  -2\end{array}

จะเห็นว่าตอนนี้ค่า \(x\) ที่เราได้มี 2 ค่าครับ จะพิจาณาทีละค่าเพื่อหาค่าของ \(xy\) ที่มีค่ามากที่สุด

1) กรณีค่า \(x=-2\) ดูภาพประกอบ

จากรูปจะเห็นว่าถ้าเราเลือก \(y=-3\) เราจะได้ค่า \(xy\) มากสุดคือ \(xy=(-2)(-3)=6\)

2) กรณีค่า \(x=2\) ดูภาพประกอบ

จากรูปจะเห็นว่าไม่ว่าเราจะเลือกค่า \(y\) เป็นเท่าใดก็ตามเมื่อเอามาคูณกับ \(x\) ก็ไม่มีทางมากกว่า \(6\) แน่นอน ดังนั้นค่าที่มากที่สุดที่เป็นไปได้ของ \(xy\) คือ \(6\) นั่นเองคับ


11. ถ้า \(a=\frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}-2}\) แล้ว \(\sqrt{a+\frac{1}{a}-2}\) มีค่าเท่ากับเท่าใด (o-net 57)

  1. \(3\)
  2. \(4\)
  3. \(\sqrt{9+4\sqrt{5}}\)
  4. \(3\sqrt{2}\)
  5. \(4\sqrt{5}\)

วิธีทำ ข้อนี้ไม่ได้ใช้ความรู้อะไรมากมาย แค่มีความรู้เรื่องนี้ ทำให้ตัวส่วนไม่ติดกรณฑ์ ก็เพียงพอในการทำข้อนี้แล้วครับ เริ่มทำเลย จัดรูป \(a\) ให้สวยงามก่อน

\(a=\frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}-2}=\frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}-2}\times \color{red}{\frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}+2}}=9+4\sqrt{5}\)

\(\frac{1}{a}=\frac{1}{9+4\sqrt{5}}=\frac{1}{9+4\sqrt{5}}\times \color{red}{\frac{9-4\sqrt{5}}{9-4\sqrt{5}}}=9-4\sqrt{5}\)

ตอนนี้เราได้ค่า \(a\) และ \(\frac{1}{a}\) แล้ว ดังนั้นหาคำตอบได้แล้วคับ

\begin{array}{lcl}\sqrt{a+\frac{1}{a}-2}&=&\sqrt{9+4\sqrt{5}+9-4\sqrt{5}-2}\\&=&\sqrt{9+9-2}\\&=&\sqrt{18-2}\\&=&\sqrt{16}\\&=&4\end{array}


12. ถ้า \(A=\{x|9^{x^{2}}=(1+\sqrt[3]{8})^{x}\}\) แล้วผลบวกของสมาชิกทุกตัวใน \(A\) มีค่าเท่ากับข้อใด (o-net 57)

  1. \(-\frac{1}{2}\)
  2. \(0\)
  3. \(\frac{1}{2}\)
  4. \(1\)
  5. \(\frac{3}{2}\)

วิธีทำ ข้อนี้ไม่มีอะไรมาก ก็สมการเลขยกกำลังเพื่อหาค่า \(x\) ก็เท่านั้นเองครับ เริ่มเลย

\begin{array}{lcl}9^{x^{2}}=(1+\sqrt[3]{8})^{x}\\(3^{2})^{x^{2}}&=&(1+2)^{x}\\3^{2x^{2}}=3^{x}\\so\\ 2x^{2}&=&x\\2x^{2}-x&=&0\\x(2x-1)&=&0\\so\\x=0\quad ,x=\frac{1}{2}\end{array}

ดังนั้น \(A\) มีสมาชิก 2 ตัว คือ \(A=\{0,\frac{1}{2}\}\) นั่นคือผลบวกของสมาชิกใน \(A\) คือ \(0+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\)


13. ถ้า \(64^{k}=16\) แล้ว \(8^{k}+8^{-k}\) มีค่าเท่ากับข้อใด (o-net 57)

  1. \(0\)
  2. \(\frac{5}{4}\)
  3. \(\frac{5}{2}\)
  4. \(\frac{17}{4}\)
  5. \(\frac{65}{8}\)

วิธีทำ แก้สมการเลขยกกำลังเพื่อหาค่า \(k\) ครับ ไม่ได้มีอะไรซับซ้อน เริ่มเลย

\begin{array}{lcl}64^{k}&=&16\\2^{6k}&=&2^{4}\\so\\ 6k&=&4\\k&=&\frac{4}{6}\\k&=&\frac{2}{3}\end{array}

ตอนนี้ได้ค่า \(k\) แล้ว ไปหาคำตอบได้เลย

\begin{array}{lcl} 8^{k}+8^{-k}&=&2^{3k}+2^{-3k}\\&=&2^{3\times\frac{2}{3}}+2^{-3\times \frac{2}{3}}\\&=&2^{2}+2^{-2}\\&=&4+\frac{1}{4}\\&=&\frac{17}{4}\end{array}