ลำดับเรขาคณิต ม.5

เรื่องลำดับเรขาคณิต เป็นเรื่องที่จะได้เรียนในชั้นม้ธยมศึกษาปีที่ 5 สิ่งที่จะต้องรู้เกี่ยวกับเรื่องนี้หลักๆที่

สำคัญเลยคือ

  1. นิยามของลำดับเรขาคณิต ว่าลำดับเรขาคณิตนั้นมีลักษณะเป็นอย่างไร มีคุณสมบัติอย่างไรถึงจะเป็นลำดับเรขาคณิตได้
  2. พจน์ทั่วไปของลำดับเรขาคณิต หรือ \(a_{n}\) อันนี้เป็นสิ่งที่สำคัญมากไม่ว่าจะเป็นลำดับเลขคณิตหรือลำดับเรขาคณิต จำเป็นต้องจำและเข้าใจพจน์ทั่วไปให้ได้

สองสิ่งนี้แหล่ะเป็นสิ่งที่จำเป็นต้องรู้  ต่อไปก็ทำแบบฝึกหัดเพิ่มเติมเยอะๆคับ

นิยามของลำดับเรขาคณิต

ให้ \(a_{1},a_{2},a_{3},...a_{n},...\) เป็นลำดับ จะอธิบายเป็นภาษาแบบภาษาพูดบ้านๆน่ะ ถ้าใช้ภาษาคณิตทางการมากไปเดี๋ยวงง

ลำดับที่ผมกำหนดขึ้นมากข้างต้น มันจะเป็นลำดับเรขาคณิต ก็ต่อเมื่อ   \(\frac{a_2}{a_1}=\frac{a_3}{a_2}=\frac{a_4}{a_3}=...=\frac{a_{n+1}}{a_n}\)

ก็คือจับพจน์ที่อยู่ข้างหลังหารด้วยพจน์ที่อยู่ติดกันข้างหน้าจะแล้วได้ค่าเท่ากันตลอดลำดับนั้นจะเป็นลำดับเรขาคณิต

ตัวอย่างเช่น

5,10,20,40,80,160,...

ลำดับนี้เป็นลำดับเรขาคณิต เพราะว่า

\(\frac{10}{5}=2\)

\(\frac{20}{10}=2\)

\(\frac{40}{20}=2\)

\(\frac{80}{40}=2\)

\(\frac{160}{80}=2\)

จะเห็นว่าจับพจน์ที่อยู่ข้างหลังหารด้วยพจน์ที่อยู่ติดกันข้างหน้าจะแล้วได้ค่าเท่ากันตลอดคือ 2 เรียกลำดับแบบนี้ว่า ลำดับเรขาคณิต

จากตัวอย่างผลหารที่หารออกมาคือ 2 เจ้าเลขสองนี้เขาเรียกว่า อัตราส่วนร่วม(common ratio)

ซึ่งแทนด้วยค่า r

ดังนั้น เราสามารถค่า r  ได้โดยเอาพจน์ที่อยู่ข้างหลังหารด้วยพจน์ที่อยู่ข้างหน้าติดกัน หรือถ้าเขียนให้เป็นภาษาคณิตศาสตร์คือ

\(r=\frac{a_{n+1}}{a_n}\)

1. 5,15,45,... จงหาพจน์ทั่วไป

วิธีทำ จากลำดับที่กำหนดให้เราจะเห็นว่าเป็นลำดับเรขาคณิตและมี

\(r=\frac{15}{5}=3\)

เนื่องจากลำดับนีัเป็นลำดับเรขาคณิต ดังนั้น

\(a_{n}=a_{1}r^{n-1}\) แทนค่า r และ \(a_{1}\)  ลงไปเลยครับ

\(a_{n}=5(3)^{n-1} \)

 

2. \( 1,-\frac{1}{2},\frac{1}{4},-\frac{1}{8},...\)

วิธีทำ จากลำดับที่กำหนดให้เป็นลำดับเรขาคณิต

\(r=\frac{-\frac{1}{2}}{1}=-\frac{1}{2}\)

เนื่องจากลำดับที่กำหนดให้เป็นลำดับเรขาคณิต ดังนั้น

\(a_{n}=a_{1}r^{n-1}\) แทนค่า r และ \(a_{1}\)   ลงไป

\(a_{n}=1(-\frac{1}{2})^{n-1}\)

\(a_{n}=(-\frac{1}{2})^{n-1}\)

 

3. กำหนดลำดับ 162,-54,18,... จงหาค่าของ \(a_{7}\)

วิธีทำ เนื่องจากลำดับที่กำหนดให้เป็นลำดับเรขาคณิต

ดังนั้น \(r=-\frac{18}{54}=-\frac{1}{3}\)

พจน์ทั่วไปของลำดับเรขาคณิตคือ

\(a_{n}=a_{1}r^{n-1}\) แทนค่า r และ \(a_{1}\)  ลงไป

\(a_{n}=162(-\frac{1}{3})^{n-1}\)

ดังนั้น

\(a_{7}=162(-\frac{1}{3}^{7-1})\)

\(a_{7}=162(-\frac{1}{3}^{6})\)

\(a_{7}=162(\frac{1}{729})\)

\(a_{7}=\frac{162}{729}\)

\(a_{7}=\frac{2}{9}\)   Ans

4. 243 เป็นลำดับที่เท่าไรของลำดับ \(1,\sqrt{3},3,...\)

วิธีทำ เนื่องจากลำดับที่กำหนดให้เป็นลำดับเรขาคณิต

โดยที่ \(r=\frac{\sqrt{3}}{1}=\sqrt{3}\)

\(a_{1}=1\)

พจน์ทั่วไปของลำดับเรขาคณิตคือ \(a_{n}=a_{1}r^{n-1}\) 

แทนค่า r และ \(a_{1}\)   ลงไปในพจน์ทั่วไปเลยครับ จะได้

\(a_{n}=1(\sqrt{3})^{n-1}\)

เขาถามว่า 243 เป็นพจน์ที่เท่าไรของลำดับนี้ ดังนั้น จะได้

\(243=1(\sqrt{3})^{n-1}\)

\(3^{5}=3^{\frac{1}{2}\times (n-1)}\)    รากที่สองของสามคือ สามกำลังหนึ่งส่วนสอง

\(3^{5}=3^{\frac{n-1}{2}}\)     อย่าลืมนะ 243 เท่ากับ สามยกกำลังห้า

ฐานเท่ากันแล้วคือ 3 ดังนั้นจะได้เลขชี้กำลังเท่ากันคือ

\(5=\frac{n-1}{2}\)

\(5\times 2=n-1\)

\(10+1=n\)

\(n=11\)   Ans  243 เป็นพจน์ที่ 11 ของลำดับนี้

5. จงหาว่าลำดับ \(5,5\sqrt{2},10,...,40\)   มีจำนวนกี่พจน์

วิธีทำ ข้อนี้ไม่ยาก ข้อสอบในห้องเรียนชอบถามเพราะเป็นการทดสอบความเข้าใจพื้นฐานของความรู้เรื่องลำดับเรขาคณิต

แน่นอนคับลำดับนี้เป็นลำดับเรคณิต โดยมี \(r=\frac{5\sqrt{2}}{5}=\sqrt{2}\)  และ  \(a_{1}=5\)

พจน์ทั่วไปของลำดับเรขาคณิตคือ \(a_{n}=a_{1}r^{n-1}\)

ข้อนี้เขาต้องการรู้ว่าลำดับมีกี่พจน์ เราก็ต้องไปหาว่า 40 ซึ่งเป็นพจน์สุดท้ายของลำดับนี้เป็นพจน์ที่เท่าไร ก็คือ แทน \(a_{n}=40\)   ลงไปในพจน์ทั่วไป จะได้

\(40=5\sqrt{2}^{(n-1)}\)

\(\frac{40}{5}=\sqrt{2}^{(n-1)}\)

\(8=2^{\frac{1}{2}(n-1)}\)   รูทสองมีค่าเท่ากับสองยกกำลังหนึ่งส่วนสอง

\(2^{3}=2^{\frac{1}{2}(n-1)}\)

ดังนั้นจะได้

\(3=\frac{1}{2}(n-1)\)

\(3\times 2=n-1\)

\(6=n-1\)

\(6+1=n\)

\(n=7\)

 Ans ดังนั้น 40 เป็นพจน์ที่ 7 ของลำดับนี้และเป็นพจน์สุดท้ายด้วยดังนั้นลำดับนี้มี 7 พจน์นั่นเอง

6. ลำดับเรขาคณิตชุดหนึ่ง มีผลบวกและผลคูณของสามพจน์แรกเท่ากับ 6 และ -64 ตามลำดับ จงหาสามพจน์แรกของลำดับนีั

วิธีทำ การทำข้อนี้เราต้องกำหนดพจน์สามพจน์ขึ้นมาก่อนตามที่โจทย์บอกมา

ซึ่งถ้าให้พจน์แรกคือ a  พจน์ที่สองต้องเป็น ar และพจน์ที่สามต้องเป็น  \(ar^{2}\)

เพราะลำดับเรขาคณิต พจน์ที่สองเกิดจากการเอาพจน์แรกคูณกับค่าอัตราส่วนร่วมซึ่งก็คือค่า r นั่นเอง

พจน์ที่สาม เกิดจากการเอาพจน์ที่สองคูณกับค่า r เหมือนกัน ดังเราจะได้สามพจน์แรกของลำดับในข้อนี้คือ

\(a,ar,ar^{2}\)   ทำตามในเงื่อนไขที่โจทย์บอกก่อนคือ

\(a+ar+ar^{2}=6\)   สามพจณ์แรกบวกกันเท่ากับ 6

\(a(1+r+r^{2})=6\)   ให้เป็นสมการที่ 1 ดึงตัวร่วมออกคือ a  ถึงตรงนี้เก็บไว้ก่อนไปดูต่อในเงื่อนไขที่สอง

ที่บอกว่าสามพจน์คูณกันได้ -64 ดังนั้นจะได้

\(a\times ar \times ar^{2}=-64\)   คูณกันต่อจะได้

\(a^{3}r^{3}=-64\)

\((ar)^{3}=(-4)^{3}\)

ดังนั้นเราจะได้

\(ar=-4\)

\(a=-\frac{4}{r}\)   ให้เป็นสมการที่ 2 เอาค่า a ที่ได้นี้ไปแทนในสมการที่ 1  เลยนะจะได้

\(-\frac{4}{r}(1+r+r^{2})=6\)   บรรทัดต่อไปเอา r คูณเข้าทั้งสองข้างของสมการจะได้

\(r\times -\frac{4}{r}(1+r+r^{2})=6\times r \)

\(-4(1+r+r^{2})=6r\)

\(-4-4r-4r^{2}=6r\)

\(-4r^{2}-4r-4-6r=0\)

\(-4r^{2}-10r-4=0\)   เอาลบหนึ่งคูณเข้า

\(4r^{2}+10r+4=0\)   เอาสองหารตลอดได้

\(2r^{2}+5r+2=0\)

\((2r+1)(r+2)=0\)

จะได้

\(r=-2 ,r=-\frac{1}{2}\)

จะเห็นว่าตอนนี้เราได้ค่า r แล้ว นำค่า r นี้ไปแทนค่าในสมการที่ 2  จะได้

เมื่อ r=-2 จะได้ค่า a  คือ

\(a=-\frac{4}{-2}=2\)

\(a=2\)

เมื่อ  \(r=-\frac{1}{2}\)  จะได้  a  คือ

\(a=\frac{-4}{-\frac{1}{2}}\)

\(a=-4\times -2\)

\(a=8\)

ข้อนี้โจทย์ถามหาสามพจน์แรกของลำดับ ต้องแบ่งตอบเป็น 2 กรณีเนื่องจาก มี r สองค่า

กรณีที่ 1 เมื่อ r=-2 จะได้ a=2 ดังนั้นลำดับที่ได้คือ

\(a,ar,ar^{2}\)

\(2,(2)(-2),2(-2)^{2}\)

\(2,-4,8\)

กรณีที่ 2  เมื่อ \(r=-\frac{1}{2}\)  จะได้ a=8  ดังนั้นลำดับที่ได้คือ

\(8,-4,2\)

เสร็จแล้วครับข้อนี้ข้อสอบออกแบบนี้เยอะ  ส่วนมาเป็นข้อเขียนด้วย

7. เด็ก 3  คนมีอายุ 1 ,5 และ 13 ปี จงหาว่าอีกกี่ปีอายุของเด็กทั้งสามจึงจะเรียงกันเป็นลำดับเรขาคณิต

วิธีทำ  สมมติให้เวลาผ่านไป x ปีแล้วทำให้อายุของเด็กสามคนนี้เรียงกันเป็นลำดับเรขาคณิต ดังนั้นเราจะได้อายุเมื่อผ่านไป x ปีของเด็กแต่ละคนคือ

1+x,5+x,13+x

ลำดับนี้เป็นลำดับเรขาคณิตดังนั้นเราจะได้

\(\frac{5+x}{1+x}=\frac{13+x}{5+x}\)

\((5+x)(5+x)=(13+x)(1+x)\)

\(x^{2}+10x+25=x^{2}+14x+13\)

\(4x-12=0\)

\(x=\frac{12}{4}\)

\(x=3\)

Ans อีกสามปีอายุของเด็กทั้งสามจะเรียงกันเป็นลำดับเรขาคณิต

อธิบายมาถึงตรงนี้ไม่รู้ว่าเข้าใจกันหรือเปล่า แต่ก็พยายามเขียนเต็มที่แล้ว เมื่อรู้จักนิยามของลำดับเรขาคณิตแล้ว ต่อไป ก็คือหาพจน์ที่ทั่วของลำดับเรขาคณิตกัน คับ  เป็นไฟล์วีดีโอแล้วกันขี้เกียจพิมพ์แล้ว

ติดต่อ 0988281419 หรือ wisanu.kkung@gmail.com