จำนวนเชิงซ้อน(Complex Number)

ระบบจำนวนที่เรารู้จักกันและได้เรียนรู้ในชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 คือระบบจำนวนจริง(Real Number) แต่ระบบ

จำนวนจริงยังไม่สามารถตอบคำถามบางข้อได้เช่นถ้าเราต้องการแก้สมการพหุนาม

\( x^{2}+1=0\)

\(x^{2}=-1\)

ซึ่งเราจะเห็นว่าไม่มีจำนวนจริงใดเลยที่ยกกำลังสองแล้วมีค่าเป็นลบหนึ่ง

ดังนั้นนักคณิตศาสตร์จึงแก้ปัญหานี้โดยสร้างระบบจำนวนขึ้นอีกระบบคือ ระบบจำนวนเชิงซ้อน ซึ่งเราจะได้เรียนรู้กันในชั้น ม.5 นี้

สิ่งแรกที่เราต้องรู้เกี่ยวกับจำนวนเชิงซ้อนคือ นิยามของจำนวนเชิงซ้อน มาดูนิยามกันเลยคับ

นิยาม จำนวนเชิงซ้อน คือ คู่อันดับ (a,b) เมื่อ a และ b นั้นเป็นสมาชิกของจำนวนจริงซึ่งการบวก การคูณและการเท่ากันของจำนวนเชิงซ้อนนั้นกำหนดดังนี้

กำหนดให้ a,b,c,d เป็นจำนวนจริงใดๆ

1)\((a,b)=(c,d)\  ก็ต่อเมื่อ \  a=c \  และ \  b=d \)

2)\((a,b)+(c,d)=(a+c,b+d) \)

3)\((a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc) \)

นี่คือนิยามเกี่ยวกับจำนวนเชิงซ้อน และข้อกำหนดเกี่ยวกับการคูณการบวก การเท่ากันของจำนวนเชิงซ้อนซึ่งเราจำเป็นต้องจำให้ได้

ตัวอย่าง กำหนดจำนวนเชิงซ้อน \(z_{1}=(4,3) \ และ \  z_{2}= (2,5) \) จงหา \(z_{1}+z_{2},z_{1}\cdot z_{2}\)

วิธีทำ การทำข้อนี้ก็ทำตามข้อกำหนดในนิยามเลยคับ

\(z_{1}+z_{2}=(4,3)+(2,5)=(4+2,3+5)=(6,8)\)

\(z_{1}\cdot z_{2}=(4,3)\cdot (2,5)=\left((4)(2)-(3)(5),(4)(5)+(3)(2)\right)=(-7,26)\)

นี่คือการบวกและการคูณกันของจำนวนเชิงซ้อนซึ่งไม่ยากทำตามนิยามได้เลยคับ

ต่อไปมาดูนิยามเพิ่มเติมของจำนวนเชิงซ้อน

 

นิยาม กำหนดจำนวนเชิงซ้อน z=(a,b) เมื่อ a,b เป็นจำนวนจริง

เรียน a ว่าส่วนจริง(real part) เขียนแทนด้วย Re(z)

เรียก b ว่าส่วนจินตภาพ (imaginary part) เขียนแทนด้วย Im(z)

ตัวอย่าง กำหนดจำนวนเชิงซ้อน \(z_{1}=(2,-4) \ จงหา\) \( Re(z_{1}) \) และ  \(Im(z_{1}) \)

วิธีทำ ง่ายๆเลยคับตามนิยามข้างบนน่ะ

\(Re(z_{1})=2\)

\(Im(z_{1})=-4\)

 

ติดต่อ 0988281419 หรือ wisanu.kkung@gmail.com