สวัสดีทุกท่าน วันนี้พอมีเวลาว่างก็เลยมาเขียนบทความสักหน่อย เป็นเรื่องเกี่ยวกับรากที่สองของจำนวนเชิงซ้อนรากที่สองของจำนวนเชิงซ้อน ก็เหมือนกับรากที่สองของจำนวนจริงคับ
ให้ z เป็นจำนวนเชิงซ้อน รากที่สองของ z ก็คือ จำนวนที่ยกกำลังสองแล้วได้ z เห็นไหมเหมือนจำนวนจริงเลยเรามาดูทฤษฎีเกี่ยวกับ รากที่สองของจำนวนเชิงซ้อนกันดีกว่าคับ
|
ทฤษฎีบท ให้ \( z=x+yi \) และ \( r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\) รากที่สองของ z คือ \( \pm\left(\sqrt{\frac{r+x}{2}}+\sqrt{\frac{r-x}{2}}i\right)\) เมื่อ \(y\geq 0 \) \(\pm\left(\sqrt{\frac{r+x}{2}}-\sqrt{\frac{r-x}{2}}i\right)\) เมื่อ \(y<0\) |
นี่คือทฤษฎีที่ใช้ในการหารากที่สองของจำนวนเชิงซ้อน ซึ่งผมคิดว่าหลายคนอ่านแล้วคงจะงง เพื่อให้
ชัดเจนขึ้นจะขอยกตัวอย่างให้เห็นชัดเจน ดูตัวอย่างกันเลยคับ
ตัวอย่างที่ 1 จงหารากที่สองของจำนวนเชิงซ้อน \(-7-24i\)
ใช้ทฤษฎีหาเลยคับไม่ยากคับ
จากจำนวนเชิงซ้อนที่โจทย์ให้มาคือ\(\quad\) \(-7-24i\) \(\quad\) เมื่อนำไปเทียบกับ \(\quad\) \(x+yi\) \(\quad\) จะเห็นว่า
\(x=-7 \ และ \ y= -24 \) \(\quad\) จะเห็นว่า ค่า\(\quad\) \(y<0\) \(\quad\) ดังนั้น สูตรที่ใช้ในการหารากที่สองสูตรที่สอง คือ
\(\pm\left(\sqrt{\frac{r+x}{2}}-\sqrt{\frac{r-x}{2}}i\right)\)
เราต้องหา ค่า r ก่อนคับซึ่ง \(\quad\) \(r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\)
\(r=\sqrt{(-7)^{2}+(-24)^{2}}\)
\(r=\sqrt{49+576}\)
\(r=\sqrt{625}\)
\(r=25\)
แทนค่าลงไปในสูตรได้เลยคับจะได้
\(\pm\left(\sqrt{\frac{r+x}{2}}-\sqrt{\frac{r-x}{2}}i\right)\)
\(\pm\left(\sqrt{\frac{25+(-7)}{2}}-\sqrt{\frac{25-(-7)}{2}}i\right)\)
\(\pm\left(\sqrt{\frac{18}{2}}-\sqrt{\frac{32}{2}}i\right)\)
\(\pm\left(\sqrt{9}-\sqrt{16}i\right)\)
\(\pm\left(3-4i\right)\)
จะได้ว่า รากที่สองของ \(\quad\) \(-7-24i\) \(\quad\) คือ
3-4i และ -3+4i ไม่ยากแต่ก็ไม่ง่าย ต้องหัดทำน่ะคับเวลาสอบจะได้ทำได้
ตัวอย่างที่ 2 จงหารากที่สองของ -16i
จากจำนวนเชิงซ้อนที่กำหนดให้ คือ -16i =0-16i ถ้าเทียบกับ x+yi จะเห็นว่า x=0 และ y=-16 ซึ่งค่า y<0 ดังนั้นสูตรที่เราใช้ในการหารากที่สองคือ
\(\pm\left(\sqrt{\frac{r+x}{2}}-\sqrt{\frac{r-x}{2}}i\right)\)
เราต้องหาค่า r ก่อนคับ \(r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\) \(\quad\) แทนค่าลงไปเลยคับ
\(r=\sqrt{0^{2}+(-16)^{2}}\)
\(r=16\)
แทนค่าลงไปในสูตรอีกคับ
\(\pm\left(\sqrt{\frac{16+0}{2}}-\sqrt{\frac{16-0}{2}}i\right)\)
\(\pm\left(\sqrt{\frac{16}{2}}-\sqrt{\frac{16}{2}}i\right)\)
\(\pm\left(\sqrt{8}-\sqrt{8}i\right)\)
\(\pm(2\sqrt{2}-2\sqrt{2}i)\)
จะได้ว่ารากที่สองของ -16i คือ
\(2\sqrt{2}-2i\) และ \(-\sqrt{2}+\sqrt{2}i\)
ตัวอย่างที่ 3 จงหารากที่สองของ 5+12i
จากโจทย์จะเห็นว่า x=5 และ y=12 ซึ่งมีค่ามากกว่าศูนย์ดั้งนั้นใช้สูตร
\( \pm\left(\sqrt{\frac{r+x}{2}}+\sqrt{\frac{r-x}{2}}i\right)\)
หาค่า r ก่อนนะคับ
\(r=\sqrt{5^{2}+12^{2}}=\sqrt{169}=13\)
เมื่อได้ค่า r=13 แล้วก็นำไปแทนค่าในสูตรเลยคับ จะได้
\( \pm\left(\sqrt{\frac{13+5}{2}}+\sqrt{\frac{13-5}{2}}i\right)\)
\( \pm\left(3+2i\right)\)
จะได้ว่ารากที่สองของ 5+12i คือ 3+2i และ -3-2i
ตัวอย่างเพียงสามข้อก็น่าจะทำให้เห็นภาพการหารากที่สองของจำนวนเชิงซ้อน ที่เหลือก็เป็นหน้าที่ของพวกเราที่ต้องไปฝึกหัดทำเพิ่มเติม ครั้งต่อไปเป็นวิดีโอน่ะครับอย่างไรก็ตามถ้าไม่เข้าใจอย่างไรก็สอบถามที่โพสต์ได้คับ....สวัสดีคับ