ก่อนจะเข้าสู่เรื่องการแก้สมการที่เกี่ยวข้องกับจำนวนเชิงซ้อน ผมก็ขอเกริ่นนำนิดหนึ่งเพื่อความเข้าใจก่อนที่จะมีจำนวนเชิงซ้อนเกิดขึ้นมาเนียะ แต่ก่อนนั้นมีแค่สิ่งที่เรียกว่าจำนวนจริงเท่านั้น แต่ติดปัญหาตรงที่ว่า ถ้าเราต้องการแก้สมการ
\(x^{2}+1=0\)
\(x^{2}=-1\) ซึ่งเราจะเห็นว่าไม่มีจำนวนจริงใดเลยที่ยกกำลังสองแล้วได้ -1 เพื่อแก้ปัญหานี้นักคณิตศาสตร์ก็เลยสร้างระบบจำนวนขึ้นมาอีกระบบหนึ่งเรียกว่า จำนวนเชิงซ้อน(Complex Number) ซึ่งจำนวนเชิงซ้อนนี้เรียกได้ว่าเป็นพ่อทุกสถาบันเพราะจำนวนจริง(Real Number) ที่เคยใหญ่ก็ยังเป็นแค่สับเซตของจำนวนเชิงซ้อน
จากสมการ \(x^{2}=-1\)
นักคณิตศาสตร์ก็เลยกำหนดร่วมกันว่าถ้าอย่างนั้นให้ \(x=\sqrt{-1}\) แล้วกันซึ่งเพื่อให้เกิดความแตกต่างก็เลยใช้ตัวแปรใหม่ไม่ใช้ x แล้ว เลยกำหนดสัญลักษณ์ดังนี้
ให้ \(i=\sqrt{-1}\) เรียกเจ้า i นี้ว่า หน่วยจินตภาพ(Imaginary Unit)
และเรียกจำนวนเต็มลบที่อยู่ภายใต้เครื่องหมายกรณฑ์ เช่น
\(\sqrt{-4}\)
\(\sqrt{-9}\)
\(\sqrt{-11}\)
ว่า จำนวนจินตภาพ (Imaginary Number)มาดูนิยามเกี่ยวกับจำนวนจินตภาพที่สำคัญ
นิยาม
ให้ a เป็นจำนวนจริงบวกกำหนด \(\sqrt{-a}=\sqrt{a}i\)
ตัวอย่างเช่น
\(\sqrt{-4}=\sqrt{4}i=2i\)
\(\sqrt{-9}=\sqrt{9}i=3i\)
\(\sqrt{-11}=\sqrt{11}i\)
เกริ่นนำมาก็ยาวมาก คิดว่าคงยังไม่หลับกันน่ะคับมาดูการแก้สมการกันเลยดีกว่าคับ
1.จงหาเซตคำตอบของสมการต่อไปนี้
1) \(x^{2}=-4 \) การแก้ก็ง่ายๆเลยคับคล้ายกับการแก้สมการในระบบจำนวนจริง
จะได้ \(x=\pm\sqrt{-4}\)
\(x=\pm\sqrt{4}i\)
\(x=\pm 2i \)
2) \(x^{2}+48=0\)
ทำเหมือนกันกับข้อที่ 1 ครับ
\(x^{2}+48=0\)
\(x^{2}=-48\)
\(x=\pm\sqrt{-48}\)
\(x=\pm\sqrt{48}i\)
\(x=\pm\sqrt{16\times 3}i\)
\(x=\pm 4\sqrt{3}i\)
3) \(x^{2}-2x+40=0\)
จะเห็นว่าข้อที่ 3 นี้เป็นสมการกำลังสอง (quadratic equation)
การแก้สมการกำลังสองถ้าแยกตัวประกอบได้ก็แยกไป แต่ถ้าแยกไม่ได้วิธีที่นิยมทำกันคือ ใช้สูตร ซึ่งในข้อนี้ผมจะใช้สูตร พวกเรายังจำสูตรกันได้ไหมเอ่ย ถ้าเรามีสมการกำลังสอง ซึ่งอยู่ในรูป \(ax^{2}+bx+c=0\) สามารถหาคำตอบของสมการกำลังสองนี้โดยใช้สูตร
\(x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\)
แทนค่า a,b,c ลงไปในสมการข้างต้นเลยคับ จากโจทย์จะเห็นว่า
a=1,b=-2,c=40 แทนค่าลงไปจะได้
\(x=\frac{-(-2)\pm\sqrt{(-2)^{2}-4(1)(40)}}{2(1)}\)
\(x=\frac{2\pm\sqrt{4-160}}{2}\)
\(x=\frac{2\pm\sqrt{-156}}{2}\)
\(x=\frac{2\pm\sqrt{156}i}{2}\)
เพียงแค่นี้คิดว่าคงพอมองเห็นภาพน่ะ ทำต่อเองในคับถอดรูทของ 156 และถ้าตัดทอนได้ก็ตัดทอนต่อ
4) \(3z^{2}+5z+3=0\) มองเป็นสมการกำลังสองธรรมดา ไม่มีอะไรยุ่งยากที่แยกตัวประกอบได้ก็แยกถ้าไม่ได้ก็ใช้สูตรไปเลยคับ
\(z=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\) แทนค่าลงไปเลยพี่น้อง a=3,b=5,c=3 จะได้
\(z=\frac{-5\pm\sqrt{5^{2}-4(3)(3)}}{2(3)}\)
\(z=\frac{-5\pm\sqrt{25-36}}{6}\)
\(z=\frac{-5\pm\sqrt{-11}}{6}\)
\(z=\frac{-5\pm\sqrt{11}i}{6} \quad Ans\)
5) \(x^{2}-x-6=0\)
จาก \(x^{2}-x-6=0\) จะได้
\((x-3)(x+2)=0\) จะได้
\(x-3=0\quad หรือ \quad x+2=0\)
\(x=3 \quad หรือ \quad x=-2\) ตรวจสอบคำตอบเองน่ะ
6) \(x^{6}-1=0 \) เอกภพสัมพัทธ์คือจำนวนเชิงซ้อนน่ะคับ
\((x^3)^{2}-1^{2}=0\) ใช้ผลต่างกำลังสองได้น่ะ
\( (x^{3}-1)(x^{3}+1)=0\)
\((x^{3}-1^{3})(x^{3}+1^{3})=0\) ใช้ผลต่างและผลบวกกำลังสามได้น่ะ
\((x-1)(x^{2}+x+1)(x+1)(x^{2}-x+1)=0\) จะได้
\(x-1=0\quad\) หรือ \(x^{2}+x+1=0\quad\) หรือ \( x+1=0\quad\) หรือ \( x^{2}-x+1=0\)
จะได้
\(x-1=0 \)
\(x=1\) ได้แล้วคำตอบตัวแรก
หรือ
\(x^{2}+x+1=0\quad \) หาคำตอบตัวนี้จำเป็นต้องใช้สูตร
\(x=\frac{-1\pm\sqrt{1^{2}-4(1)(1)}}{2(1)}\)
\(x=\frac{-1\pm\sqrt{-3}}{2}\)
\(x=\frac{-1\pm\sqrt{3}i}{2}\) ได้แล้วคำตอบตัวที่สองและสาม
หรือ
\(x+1=0 \)
\(x=-1\) ได้แล้วคำตอบตัวที่สี่
หรือ
\(x^{2}-x+1=0 \quad\) หาคำตอบตัวนี้จำเป็นต้องใช้สูตร
\(x=\frac{-(-1)\pm\sqrt{(-1)^{2}-4(1)(1)}}{2(1)}\)
\(x=\frac{1\pm\sqrt{-3}}{2}\)
\(x=\frac{1\pm\sqrt{3}i}{2}\) ได้แล้วคำตอบตัวที่ห้าและหก สรุปข้อนี้มี 6 คำตอบคับ ถ้าเขียนเป็นเซตก็คือ
\(x=\{1,-1,\frac{1+\sqrt{3}i}{2},\frac{1-\sqrt{3}i}{2},\frac{-1+\sqrt{3}i}{2},\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}\}\)
7)\((x+1)^{2}+49=0\)
\((x+1)^{2}-(7i)^{2}=0\)
\((x+1-7i)(x+1+7i)=0\)
\(x+1-7i=0 \quad หรือ \quad x+1+7i=0\)
\(x=7i-1,x=-1-7i\)
2. จงหาจำนวนจริง \(a\) และ \(b\) ในข้อต่อไปนี้
1) \(2a-3bi=4+6i\)
วิธีทำ การทำข้อนี้ก็ใช้นิยามการเท่ากับของจำนวนเชิงซ้อนในการทำครับก็คือ
\(a+bi=c+di\) ก็ต่อเมื่อ \(a=c\) และ \(b=d\)
ดังนั้นข้อนี้
จาก \(2a-3bi=4+6i\) จะได้
\(2a=4\)
\(a=\frac{4}{2}=2\)
และ
\(-3b=6\)
\(b=\frac{6}{-3}\)
\(b=-2\)
ดังนั้น a=2 ,b=-2
2) \(2a+bi=10\)
วิธีทำ
\(2a+bi=10+0i\) จะได้
\(2a=10\)
\(a=\frac{10}{2}=5\)
และ
\(b=0\)
ดังนั้น \(a=5,b=0\)
3) \((a+bi)(2+5i)=3-i\)
วิธีทำ จัดสมการก่อนครับ
\begin{array}{lcl}(a+bi)(2+5i)&=&3-i\\2a+5bi^{2}+2bi+5ai&=&3-i\\2a-5b+(2b+5a)i&=&3-i\end{array}
ดังนั้น จากตรงนี้เราจะได้ว่า
\(2a-5b=3\) ให้เป็นสมการที่ 1
และ
\(2b+5a=-1\) ให้เป็นสมการที่ 2
ลองแก้ระบบสมการนี้ดูครับ
เอา 5 คูณเข้าสมการที่ 1 จะได้
\(5(2a-5b)=5\times 3\)
\(10a-25b=15\) ให้สมการนี้เป็นสมการที่ 3
เอา 2 คูณเข้ากับสมการที่ 2 จะได้
\(2(2b+5a)=2\times -1\)
\(4b+10a=-2\) ให้สมการนี้เป็นสมการที่ 4
ต่อไปเอาสมการที่ 3 และสมการที่ 4 มาลบกันครับจะได้
\begin{array}{lcl}(10a-25b)-(4b+10a)&=&15-(-2)\\10a-25b-4b-10a&=&17\\-29b&=&17\\b&=&-\frac{17}{29}\end{array}
แทน b ด้วย \(-\frac{17}{29}\) ในสมการที่ 1 เพื่อหาค่า \(a\) จะได้
จากสมการที่ 1 คือ
\(2a-5b=3\)
\(2a-5(-\frac{17}{29})=3\)
\(2a+\frac{85}{17}=3\)
\(2a=3-\frac{85}{17}\)
\(2a=\frac{51-85}{17}\)
\(2a=\frac{-34}{17}\)
\(2a=-2\)
\(a=-1\)
นั่นคือ
\(a=-1\quad b=-\frac{17}{29}\)