จำนวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขั้ว เป็นร่างๆหนึ่งของจำนวนเชิงซ้อน ซึ่งจะกล่าวไปแล้วจำนวนเชิงซ้อนมีหลายร่าง
มาก ตัวอย่างเช่น
z=(x,y) เป็นร่างที่เป็นคู่อันดับ
z=x+yi ร่างนี้ไม่มีชื่อเรียกแต่ก็เป็นร่างๆหนึ่งของจำนวนเชิงซ้อน
\(z=r(cos\theta+isin\theta)\) เป็นร่างที่เรียกว่าจำนวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขั้ว ซึ่งมีที่ไปที่มาอย่างไร เดี๋ยวไปดูที่วิดีโอ youtube ด้านล่างน่ะคับ ผมได้อธิบายถึงที่มาที่ไปให้ฟังแล้วอย่างไรก็พยายามอ่านทำความเข้าใจและทำแบบฝึกหัดเยอะเพราะว่าเรื่องนี้ชอบนำ้มาออกข้อสอบเข้ามหาลัยบ่อยมากๆ พวกสอบตรงก็เยอะ พยายามอ่านทำความเข้าใจดีๆ ถ้ามีปัญหาอะไรก็ถามได้ที่คอมเม้นต์ด่านล่าง สำหรับวันนี้โชคดีทุกคน...
ถ้าใครขี้เกียจดูวิดีโอ การอ่านเอาข้างล่างก็ได้ครับ จะค่อยๆเขียนอธิบายให้ฟังอย่างไรก็พยายามทำแบบฝึกหัดเยอะๆนะครับผม
แบบฝึกหัด
1. จงเขียนจำนวนเชิงซ้อนต่อไปนี้ให้อยู่ในรูปเชิงขั้ว
1) \(1+i\)
วิธีทำ เริ่มทำเลยนะครับ จากจำนวนเชิงซ้อนที่โจทย์กำหนดมาให้ คือ \(1+i\) ซึ่งเราก็จะได้
\(x=1\quad , y=1\) ดังนั้นเรารู้ได้เลยว่าจำนวนเชิงซ้อนนี้อยู่ในควอร์เรนต์ที่ 1 แน่นอน นั่นคือเรายังรู้อีกว่ามุมที่ทำกับจำนวนเชิงซ้อนนี้ต้องไม่เกิน 90 องศาครับนี้คือสิ่งที่เราต้องรู้คร่าว เพื่อนำไปตรวจคำตอบต่อไป ดูรูปประกอบด้านล่างครับ
ต่อไปก็หาค่า \(r\) ครับ
จาก
\begin{array}{lcl}r&=&\sqrt{x^{2}+y^{2}}\\r&=&\sqrt{1^{2}+1^{2}}\\r&=&\sqrt{2}\end{array}
ต่อไปหา \(\theta\)
จาก
\begin{array}{lcl}\tan\theta=\frac{y}{x}\\\tan\theta=\frac{1}{1}\\\tan\theta=1\end{array}
เนื่องจาก \(\tan 45^{\circ}=1\) ดังนั้น \(\theta=45^{\circ}\)
ดังนั้นจำนวนเชิงซ้อน
\(1+i\) สามารถเขียนให้เป็นจำนวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขั้วคือ
\(\sqrt{2}(\cos 45^{\circ}+i\sin 45^{\circ})\quad Ans\)
2) \(1-i\)
วิธีทำ จากจำนวนเชิงซ้อนที่โจทย์ให้มาคือ \(1-i\) เราจะได้ว่า \(x=1\quad, y=-1\) เนื่องจาก x เป็นบวกและ y เป็นลบเรารู้เลยว่าจำนวนเชิงซ้อนนี้อยู่ในควอดเรนต์ที่ 4 แน่ๆ ดังนั้นมุมจึงมากกว่า 270 องศาแน่ๆ ดูรูปประกอบด้านล่างครับ
ต่อไป หาค่า \(r\) ครับ
จาก
\begin{array}{lc}r&=&\sqrt{x^{2}+y^{2}}\\r&=&\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}\\r&=&\sqrt{2}\end{array}
ต่อไปหาค่า \(\theta\) คับ
จาก
\begin{array}{lcl}\tan\theta=\frac{y}{x}\\\tan\theta&=&\frac{-1}{1}\\\tan\theta=-1\end{array}
เนื่องจาก \(\tan 315^{\circ}=-1\) ดังนั้น \(\theta=315^{\circ}\)
ดังนั้นจำนวนเชิงซ้อน
\(1-i\) สามารถเขียนให้เป็นจำนวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขั้วคือ
\(\sqrt{2}(\cos 315^{\circ}+i\sin 315^{\circ})\quad Ans\)
3) \(-2\sqrt{3}+2i\)
วิธีทำ เนื่องจากจำนวนเชิงซ้อนที่กำหนดมาให้คือ \(-2\sqrt{3}+2i\) เราจะได้ว่า \(x=-2\sqrt{3}\quad,y=2\) เนื่องจากค่า x เป็นลบและค่า y เป็นบวก ดังนั้นจำนวนเชิงซ้อนนี้ตกอยู่ในควอดเรนต์ที่ 2 นั่นคือมุมที่ทำกับจำนวนเชิงซ้อนนี้ต้องมากกว่า 90 องศาแต่ไม่เกิน 180 องศาแน่ๆ ดูรูปประกอบคร่าวๆด้านล่าง
ต่อไปหาค่า \(r\)
จาก
\begin{array}{lcl}r&=&\sqrt{x^{2}+y^{2}}\\r&=&\sqrt{(-2\sqrt{3})^{2}+2^{2}}\\r&=&\sqrt{12+4}\\r&=&\sqrt{16}\\r&=&4\end{array}
ต่อไปหาค่า \(\theta\)
จาก
\begin{array}{lcl}\tan\theta=\frac{y}{x}\\\tan\theta=\frac{2}{-2\sqrt{3}}\\\tan\theta=\frac{-1}{\sqrt{3}}\end{array}
เนื่องจาก \(\tan 150^{\circ}=\frac{-1}{\sqrt{3}}\) ดังนั้น \(\theta=150^{\circ}\)
ดังนั้นจำนวนเชิงซ้อน
\(-2\sqrt{3}+2i\) สามารถเขียนให้เป็นจำนวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขั้วคือ
\(4(\cos 150^{\circ}+i\sin 150^{\circ}) \quad Ans\)
4) \(z=\frac{-3}{1+\sqrt{3}i}\)
วิธีทำ ข้อนี้ก่อนที่จะทำเป็นเชิงขั้วต้องจัดรูปก่อนครับคือทำให้ตัวส่วนไม่ให้ติด i ก็คือเอาคอนจูเกตของตัวส่วนคูณเข้าทั้งเศษและส่วนครับก็จะได้
\begin{array}{lcl}z&=&\frac{-3}{1+\sqrt{3}i}\\&=&\frac{-3}{1+\sqrt{3}i}\times \frac{1-\sqrt{3}i}{1-\sqrt{3}i}\\&=&\frac{-3+3\sqrt{3}i}{4}\end{array}
ดังนั้นก็คือเราต้องทำ \(z=\frac{-3+3\sqrt{3}i}{4}\) ให้เป็นเชิงขั้วนะเองครับ เริ่มทำเลยอันแรกคือ
ต้องหาค่า \(r\) ก่อนครับ
ซึ่งจากค่า z เราได้ว่า
\(x=\frac{-3}{4}\quad ,\quad y=\frac{3\sqrt{3}}{4}\)
ดังนั้น
\(r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\) จะได้
\(r=\sqrt{(\frac{(-3)}{4})^{2}+(\frac{3\sqrt{3}}{4})^{2}}\)
\(r=\sqrt{\frac{9}{16}+\frac{27}{16}}\)
\(r=\sqrt{\frac{36}{16}}\)
\(r=\frac{6}{4}\)
\(r=\frac{3}{2}\)
ต่อไปเมื่อได้ค่า r แล้วต้องไปหาค่า \(\theta\) ต่อครับจาก
\(\tan\theta=\frac{y}{x}\)
\(\tan\theta=\frac{\frac{3\sqrt{3}}{4}}{\frac{-3}{4}}\)
\(\tan\theta=-\sqrt{3}\)
เนื่องจาก ค่า \(x=\frac{-3}{4}\) เป็นค่าลบและ \(y=\frac{3\sqrt{3}}{4}\) มีค่าเป็นบวกดังนั้นจำนวนเชิงซ้อนเราจึงตกอยู่ใน ควอร์ดเร็นท์ที่ 2 ดังนั้น
มุมของเราจึงมีค่าเป็น
\(\theta=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}\) ใครหามุมยังไม่คล่องลองไปดูในคลิปข้างบนนะครับ
จึงทำให้ได้ว่าจำนวนเชิงซ้อน
\(z=\frac{-3}{1+\sqrt{3}i}\)
สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเชิงขั้วได้คือ
\(z=\frac{3}{2}\left(\cos 120^{\circ}+i\sin 120^{\circ}\right)\)
5) \(z=i(4+4i)\)
วิธีทำ ข้อนี้เอา i คูณเข้าก่อนเหมือนเดิมครับจะได้
\(z=4i+4i^{2}\)
\(z=4i+4(-1)\)
\(z=4i-4\)
\(z=-4+4i\)
ต่อไปก็ทำให้อยู่ในรูปเชิงขั้วข้อนี้ง่ายครับจากที่เรารู้
\(x=-4,y=4\) แน่นอนครับค่า x เป็นลบ และค่า y เป็นบวกแสดงว่าจำนวนเชิงซ้อนของเราตกอยู่ในควอร์ดเร็นท์ที่ 2 แน่ ต่อไปหาค่า r ครับ จากที่
\(r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\)
\(r=\sqrt{(-4)^{2}+4^{2}}\)
\(r=\sqrt{32}\)
\(r=4\sqrt{2}\)
ต่อไปหามุมครับ จาก
\(\tan\theta=\frac{y}{x}\)
\(\tan\theta=\frac{4}{-4}=-1\)
ดังนั้น \(\theta=180^{\circ}-45^{\circ}=135^{\circ}\) หรือถ้าเป็นมุมเรเดียนก็คือ \(\theta=\frac{3\pi}{4}\)
นั่นคือเราจะได้ว่าจำนวนเชิงซ้อน
\(z=i(4+4i)\)
สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเชิงขั้วได้คือ
\(z=4\sqrt{2}\left(\cos\frac{3\pi}{4}+i\sin\frac{3\pi}{4}\right)\)