จำนวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขั้ว เป็นร่างๆหนึ่งของจำนวนเชิงซ้อน ซึ่งจะกล่าวไปแล้วจำนวนเชิงซ้อนมีหลายร่าง

มาก ตัวอย่างเช่น

z=(x,y) เป็นร่างที่เป็นคู่อันดับ

z=x+yi ร่างนี้ไม่มีชื่อเรียกแต่ก็เป็นร่างๆหนึ่งของจำนวนเชิงซ้อน

\(z=r(cos\theta+isin\theta)\) เป็นร่างที่เรียกว่าจำนวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขั้ว ซึ่งมีที่ไปที่มาอย่างไร เดี๋ยวไปดูที่วิดีโอ youtube ด้านล่างน่ะคับ ผมได้อธิบายถึงที่มาที่ไปให้ฟังแล้วอย่างไรก็พยายามอ่านทำความเข้าใจและทำแบบฝึกหัดเยอะเพราะว่าเรื่องนี้ชอบนำ้มาออกข้อสอบเข้ามหาลัยบ่อยมากๆ พวกสอบตรงก็เยอะ พยายามอ่านทำความเข้าใจดีๆ ถ้ามีปัญหาอะไรก็ถามได้ที่คอมเม้นต์ด่านล่าง สำหรับวันนี้โชคดีทุกคน...

 

ถ้าใครขี้เกียจดูวิดีโอ การอ่านเอาข้างล่างก็ได้ครับ จะค่อยๆเขียนอธิบายให้ฟังอย่างไรก็พยายามทำแบบฝึกหัดเยอะๆนะครับผม

แบบฝึกหัด

1. จงเขียนจำนวนเชิงซ้อนต่อไปนี้ให้อยู่ในรูปเชิงขั้ว

1)  \(1+i\)

วิธีทำ เริ่มทำเลยนะครับ  จากจำนวนเชิงซ้อนที่โจทย์กำหนดมาให้ คือ \(1+i\)  ซึ่งเราก็จะได้

\(x=1\quad ,  y=1\)  ดังนั้นเรารู้ได้เลยว่าจำนวนเชิงซ้อนนี้อยู่ในควอร์เรนต์ที่ 1 แน่นอน นั่นคือเรายังรู้อีกว่ามุมที่ทำกับจำนวนเชิงซ้อนนี้ต้องไม่เกิน 90 องศาครับนี้คือสิ่งที่เราต้องรู้คร่าว เพื่อนำไปตรวจคำตอบต่อไป    ดูรูปประกอบด้านล่างครับ 

จำนวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขั้ว

ต่อไปก็หาค่า \(r\)  ครับ

จาก

\begin{array}{lcl}r&=&\sqrt{x^{2}+y^{2}}\\r&=&\sqrt{1^{2}+1^{2}}\\r&=&\sqrt{2}\end{array}

ต่อไปหา  \(\theta\)

จาก

\begin{array}{lcl}\tan\theta=\frac{y}{x}\\\tan\theta=\frac{1}{1}\\\tan\theta=1\end{array}

เนื่องจาก \(\tan 45^{\circ}=1\)  ดังนั้น  \(\theta=45^{\circ}\)

ดังนั้นจำนวนเชิงซ้อน

\(1+i\)  สามารถเขียนให้เป็นจำนวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขั้วคือ

\(\sqrt{2}(\cos 45^{\circ}+i\sin 45^{\circ})\quad Ans\)


2)  \(1-i\)

วิธีทำ จากจำนวนเชิงซ้อนที่โจทย์ให้มาคือ \(1-i\)  เราจะได้ว่า  \(x=1\quad, y=-1\)  เนื่องจาก x เป็นบวกและ y เป็นลบเรารู้เลยว่าจำนวนเชิงซ้อนนี้อยู่ในควอดเรนต์ที่ 4  แน่ๆ ดังนั้นมุมจึงมากกว่า 270 องศาแน่ๆ ดูรูปประกอบด้านล่างครับ

จำนวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขั้ว

ต่อไป หาค่า \(r\)  ครับ

จาก

\begin{array}{lc}r&=&\sqrt{x^{2}+y^{2}}\\r&=&\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}\\r&=&\sqrt{2}\end{array}

ต่อไปหาค่า  \(\theta\)  คับ

จาก

\begin{array}{lcl}\tan\theta=\frac{y}{x}\\\tan\theta&=&\frac{-1}{1}\\\tan\theta=-1\end{array}

เนื่องจาก \(\tan 315^{\circ}=-1\)   ดังนั้น  \(\theta=315^{\circ}\)

ดังนั้นจำนวนเชิงซ้อน

\(1-i\)  สามารถเขียนให้เป็นจำนวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขั้วคือ

\(\sqrt{2}(\cos 315^{\circ}+i\sin 315^{\circ})\quad Ans\)


3)  \(-2\sqrt{3}+2i\)

วิธีทำ เนื่องจากจำนวนเชิงซ้อนที่กำหนดมาให้คือ \(-2\sqrt{3}+2i\) เราจะได้ว่า \(x=-2\sqrt{3}\quad,y=2\)   เนื่องจากค่า x เป็นลบและค่า y เป็นบวก ดังนั้นจำนวนเชิงซ้อนนี้ตกอยู่ในควอดเรนต์ที่ 2 นั่นคือมุมที่ทำกับจำนวนเชิงซ้อนนี้ต้องมากกว่า 90 องศาแต่ไม่เกิน 180 องศาแน่ๆ ดูรูปประกอบคร่าวๆด้านล่าง

จำนวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขั้ว

ต่อไปหาค่า \(r\)

จาก

\begin{array}{lcl}r&=&\sqrt{x^{2}+y^{2}}\\r&=&\sqrt{(-2\sqrt{3})^{2}+2^{2}}\\r&=&\sqrt{12+4}\\r&=&\sqrt{16}\\r&=&4\end{array}

ต่อไปหาค่า \(\theta\)

จาก

\begin{array}{lcl}\tan\theta=\frac{y}{x}\\\tan\theta=\frac{2}{-2\sqrt{3}}\\\tan\theta=\frac{-1}{\sqrt{3}}\end{array}

เนื่องจาก  \(\tan 150^{\circ}=\frac{-1}{\sqrt{3}}\)  ดังนั้น  \(\theta=150^{\circ}\)

ดังนั้นจำนวนเชิงซ้อน

 \(-2\sqrt{3}+2i\)   สามารถเขียนให้เป็นจำนวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขั้วคือ

\(4(\cos 150^{\circ}+i\sin 150^{\circ}) \quad Ans\)


4)  \(z=\frac{-3}{1+\sqrt{3}i}\)

วิธีทำ ข้อนี้ก่อนที่จะทำเป็นเชิงขั้วต้องจัดรูปก่อนครับคือทำให้ตัวส่วนไม่ให้ติด i  ก็คือเอาคอนจูเกตของตัวส่วนคูณเข้าทั้งเศษและส่วนครับก็จะได้

\begin{array}{lcl}z&=&\frac{-3}{1+\sqrt{3}i}\\&=&\frac{-3}{1+\sqrt{3}i}\times \frac{1-\sqrt{3}i}{1-\sqrt{3}i}\\&=&\frac{-3+3\sqrt{3}i}{4}\end{array}

ดังนั้นก็คือเราต้องทำ  \(z=\frac{-3+3\sqrt{3}i}{4}\)  ให้เป็นเชิงขั้วนะเองครับ เริ่มทำเลยอันแรกคือ

ต้องหาค่า \(r\)  ก่อนครับ

ซึ่งจากค่า z  เราได้ว่า

\(x=\frac{-3}{4}\quad ,\quad y=\frac{3\sqrt{3}}{4}\)

ดังนั้น

\(r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\) จะได้

\(r=\sqrt{(\frac{(-3)}{4})^{2}+(\frac{3\sqrt{3}}{4})^{2}}\)

\(r=\sqrt{\frac{9}{16}+\frac{27}{16}}\)

\(r=\sqrt{\frac{36}{16}}\)

\(r=\frac{6}{4}\)

\(r=\frac{3}{2}\)

ต่อไปเมื่อได้ค่า  r  แล้วต้องไปหาค่า \(\theta\)  ต่อครับจาก

\(\tan\theta=\frac{y}{x}\)

\(\tan\theta=\frac{\frac{3\sqrt{3}}{4}}{\frac{-3}{4}}\)

\(\tan\theta=-\sqrt{3}\)  

เนื่องจาก ค่า \(x=\frac{-3}{4}\)  เป็นค่าลบและ  \(y=\frac{3\sqrt{3}}{4}\)  มีค่าเป็นบวกดังนั้นจำนวนเชิงซ้อนเราจึงตกอยู่ใน ควอร์ดเร็นท์ที่ 2  ดังนั้น

มุมของเราจึงมีค่าเป็น

\(\theta=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}\)  ใครหามุมยังไม่คล่องลองไปดูในคลิปข้างบนนะครับ

จึงทำให้ได้ว่าจำนวนเชิงซ้อน

\(z=\frac{-3}{1+\sqrt{3}i}\)

สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเชิงขั้วได้คือ

\(z=\frac{3}{2}\left(\cos 120^{\circ}+i\sin 120^{\circ}\right)\)


5)  \(z=i(4+4i)\)  

วิธีทำ  ข้อนี้เอา i  คูณเข้าก่อนเหมือนเดิมครับจะได้

\(z=4i+4i^{2}\)

\(z=4i+4(-1)\)

\(z=4i-4\)

\(z=-4+4i\)

ต่อไปก็ทำให้อยู่ในรูปเชิงขั้วข้อนี้ง่ายครับจากที่เรารู้

\(x=-4,y=4\) แน่นอนครับค่า x เป็นลบ และค่า y เป็นบวกแสดงว่าจำนวนเชิงซ้อนของเราตกอยู่ในควอร์ดเร็นท์ที่ 2 แน่  ต่อไปหาค่า r ครับ จากที่

\(r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\)

\(r=\sqrt{(-4)^{2}+4^{2}}\)

\(r=\sqrt{32}\)

\(r=4\sqrt{2}\)

ต่อไปหามุมครับ จาก

\(\tan\theta=\frac{y}{x}\)

\(\tan\theta=\frac{4}{-4}=-1\)

ดังนั้น  \(\theta=180^{\circ}-45^{\circ}=135^{\circ}\) หรือถ้าเป็นมุมเรเดียนก็คือ \(\theta=\frac{3\pi}{4}\)

นั่นคือเราจะได้ว่าจำนวนเชิงซ้อน

 \(z=i(4+4i)\)  

สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเชิงขั้วได้คือ

\(z=4\sqrt{2}\left(\cos\frac{3\pi}{4}+i\sin\frac{3\pi}{4}\right)\)