Print
Parent Category: ความรู้เกี่ยวกับคณิตศาสตร์
Category: ความรู้คณิตศาสตร์ม.5
Hits: 30458

วันนี้วันที่ 17 สิงหาคม 2558 อากาศร้อนในบ้านพักไม่สิไม่ใช่บ้านแต่เป็นห้องเล็กแต่ใหญ่กว่ารูหนูและคอกหมู อากาศร้อนมากแต่ก็ช่างมันเหอะ ขณะที่พิมพ์อยู่นี้ก็ฟังเพลงไปด้วย สร้างอารมณ์ในการทำงาน ทำไปฟังไปก็ดีเหมือนกัน พงษ์สิทธิ์ คลำผี โรงเรียนของหนู มีครูหนึ่งคน ครูผู้เสียสละตนอดทนอยู่ห่างไกลความสบาย ฟังท่อนนี้รู้สึกเศร้ายังไงไม่รู้ แต่ก็จะมานั่งเศร้าไปทำไมต่างคนต่างก็มีหน้าที่ ต่างคนต่างทำหน้าที่ของตัวเองให้ดีที่สุดทุกอย่างก็ดีเองแหละว่าไหมทุกคน วันนี้เดียวพาทุกคนหาค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติน่ะคับเอาเป็นว่าเดียวผมพิมพ์ลงไปก่อน แล้วค่อยตามด้วยวิดีโอ ทั้งอ่านทั้งฟังเลยคับจะได้เข้าใจ

แต่ผมไม่หวังให้คนที่เข้ามาอ่านบทความของผมเข้าใจหรอกน่ะ เข้าใจก็ดีไม่เข้าใจก็คอมเม้นต์ได้ ผมจะขอเขียนตามอารมณ์แล้วกัน...คับ..จะพยายามเขียน...ให้อ่านรุ้เรื่อง....เดียวอาจจะมีข้อสอบ Pat 1 ที่เป็นในส่วนของฟังก์ชันตรีโกณมาให้ดูด้วยว่าแต่ละปีเขาออกข้อสอบเรื่องนี้อย่างไรบ้าง....

ก่อนที่จะหาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติได้อย่างน้อยเราต้องรู้ค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมพื้นฐานต่อไปนี้ครับ

มุม \(sin\theta\) \(cos\theta\) \(\tan\theta\)
\(\frac{\pi}{6}or30^{\circ}\) \(\frac{1}{2}\) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) \(\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\)
\(\frac{\pi}{4}or45^{\circ}\) \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) \(1\)
\(\frac{\pi}{3}or60^{\circ}\) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) \(\frac{1}{2}\) \(\sqrt{3}\)

1. จงหาค่าของฟังก์ชันตรีโกณิมิติทุกฟังก์ชันของมุมที่กำหนดให้ต่อไปนี้

ในข้อนี้ผมจะพาหาค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติโดยไม่ต้องเปิดวงกลมหนึ่งหน่วยแต่ต้องจำมุมพื้นฐาน 3 มุมด้านบนให้ได้นะคับ

1)\(\frac{8\pi}{3}\)

ให้เราแยก \(\frac{8\pi}{3}\)  ออกมาแบบนี้ครับ \(\frac{8\pi}{3}=3\pi-\frac{\pi}{3}\) ดังนั้นข้อนี้ เราหาค่าอันนี้นี่เองครับ

\begin{array}{lcl}sin\frac{8\pi}{3}&=&sin(3\pi -\frac{\pi}{3})\\&=&sin\frac{\pi}{3}\\&=&\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}

\begin{array}{lcl}cos\frac{8\pi}{3}&=&cos(3\pi -\frac{\pi}{3})\\&=&-cos\frac{\pi}{3}\\&=&-\frac{1}{2}\end{array}

ต่อไปหาค่า \(tan\frac{8\pi}{3}\) ซึ่ง \(tan\frac{8\pi}{3}=\frac{sin\frac{8\pi}{3}}{cos\frac{8\pi}{3}}\)  จึงได้ว่า

\begin{array}{lcl}tan\frac{8\pi}{3}&=&\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{-\frac{1}{2}}\\&=&\frac{\sqrt{3}}{2}\times (-2)\\&=&-\sqrt{3}\end{array}

ต่อไปหาค่าของ \(\cot\frac{8\pi}{3}\)  ซึ่งเรารู้ว่าฟังก์ชันคอตหรือชื่อเต็มของมันคือ โคเซแคนต์ (cosecant) คือส่วนกลับของฟังก์ชันแทน (tangent) นั่นก็คือ

\begin{array}{lcl}\cot\frac{8\pi}{3}&=&\frac{1}{\tan\frac{8\pi}{3}}\\&=&\frac{1}{-\sqrt{3}}\\&=&-\frac{1}{\sqrt{3}}\\&=&-\frac{\sqrt{3}}{3}\end{array}

ต่อไป

\begin{array}{lcl}\sec\frac{8\pi}{3}&=&\frac{1}{\cos \frac{8\pi}{3}}\\&=&\frac{1}{-\frac{1}{2}}\\&=&-2\end{array}

ต่อไป

\begin{array}{lcl}cosec \frac{8\pi}{3}&=&\frac{1}{\sin\frac{8\pi}{3}}\\&=&\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\\&=&\frac{2}{\sqrt{3}}\\&=&\frac{2\sqrt{3}}{3}\\&=&\frac{2}{\sqrt{2}}\\&=&\sqrt{2}\end{array}

 


2) \(\frac{17\pi}{4}\)

เนื่องจาก \(\frac{17\pi}{4}=4\pi+\frac{\pi}{4}\)  ดังนั้น

\begin{array}{lcl}\sin\frac{17\pi}{4}&=&\sin(4\pi+\frac{\pi}{4})\\&=&\sin\frac{\pi}{4}\\&=&\frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}

ต่อไป

\begin{array}{lcl}\cos\frac{17\pi}{4}&=&cos(4\pi+\frac{\pi}{4})\\&=&\cos\frac{\pi}{4}\\&=&\frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}

ต่อไป

\begin{array}{lcl}\tan\frac{17\pi}{4}&=&\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}\\&=&1\end{array}

ต่อไป

\begin{array}{lcl}\cot\frac{17\pi}{4}&=&\frac{1}{\tan\frac{17\pi}{4}}\\&=&1\end{array}

ต่อไป

\begin{array}{lcl}\sec\frac{17\pi}{4}&=&\frac{1}{\cos\frac{17\pi}{4}}\\&=&\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}}\\&=&\frac{2}{\sqrt{2}}\\&=&\sqrt{2}\end{array}

ต่อไป

\begin{array}{lcl}cosec\frac{17\pi}{4}&=&\frac{1}{\sin\frac{17\pi}{4}}\\&=&\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}}\\&=&\sqrt{2}\end{array}


3) \(-\frac{28\pi}{3}\)

เนื่องจาก \(-\frac{28\pi}{3}=-9\pi-\frac{\pi}{3}\) จะได้

\begin{array}{lcl}\sin(-\frac{28\pi}{3})&=&\sin(-9\pi -\frac{\pi}{3})\\&=&\sin\frac{\pi}{3}\\&=&sin\frac{\pi}{3}\\&=&\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}

ต่อไป

\begin{array}{lcl}\cos(-\frac{28\pi}{3})&=&\cos(-9\pi -\frac{\pi}{3})\\&=&-\cos\frac{\pi}{3}\\&=&-\frac{1}{2}\end{array}

ต่อไป

\begin{array}{lcl}\tan(-\frac{28\pi}{3})&=&\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{-\frac{1}{2}}\\&=&\frac{\sqrt{3}}{2}\times -2\\&=&-\sqrt{3}\end{array}

ต่อไป

\begin{array}{lcl}\cot(-\frac{28\pi}{3})&=&\frac{1}{\tan(-\frac{28\pi}{3})}\\&=&-\frac{1}{\sqrt{3}}\\&=&-\frac{\sqrt{3}}{3}\end{array}

ต่อไป

\begin{array}{lcl}sec(-\frac{28\pi}{3})&=&\frac{1}{\cos(-\frac{28\pi}{3})}\\&=&\frac{1}{-\frac{1}{2}}\\&=&-2\end{array}

ต่อไป

\begin{array}{lcl}cosec(-\frac{28\pi}{3})&=&\frac{1}{\sin (-\frac{28\pi}{3})}\\&=&\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\\&=&\frac{2}{\sqrt{3}}\\&=&\frac{2\sqrt{3}}{3}\end{array}


4) \(150^{\circ}\)

เนื่องจาก \(150^{\circ}=180^{\circ}-30^{\circ}\)  ดังนั้นมุมนี้ตกอยู่ในควอร์ดเร็นที่ 2 ค่าไซน์กับค่าของโคแซค เป็นบวกนอกนั้นเป็นลบครับจะได้

\(\sin(150^{\circ})=\sin(180^{\circ}-30^{\circ})=\sin30^{\circ}=\frac{1}{2}\)

\(\cos(150^{\circ})=\cos(180^{\circ}-30^{\circ})=-\cos30^{\circ}=-\frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(\tan(150^{\circ})=\frac{\frac{1}{2}}{-\frac{\sqrt{3}}{2}}=-\frac{1}{\sqrt{3}}\)

\(\cot (150^{\circ})=-\sqrt{3}\)

\(\sec(150^{\circ})=\frac{1}{\cos(150^{\circ})}=\frac{1}{-\frac{\sqrt{3}}{2}}=-\frac{2}{\sqrt{3}}\)

\(cosec(150^{\circ})=\frac{1}{\sin(150^{\circ})}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2\)


5) \(120^{\circ}\)

เนื่องจาก \(120^{\circ}=180^{\circ}-60^{\circ}\) ดังนั้น

\(\sin(120^{\circ})=\sin(180^{\circ}-60^{\circ})=\sin 60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(\cos(120^{\circ})=\sin(180^{\circ}-60^{\circ})=-\cos 60^{\circ}=-\frac{1}{2}\)

\(\tan(120^{\circ})=-\sqrt{3}\)

\(\cot (120^{\circ})=-\frac{1}{\sqrt{3}}\)

\(\sec(120^{\circ})=-2\)

\(cosec(120^{\circ})=\frac{2}{\sqrt{3}}\)


6) \(315^{\circ}\)

เนื่องจาก \(315^{\circ}=360^{\circ}-45^{\circ}\) ดังนั้น

\(\sin(315^{\circ})=\sin(360^{\circ}-45^{\circ})=-\sin(45^{\circ})=-\frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\cos(315^{\circ})=\cos(360^{\circ}-45^{\circ})=\cos(45^{\circ})=\frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\tan(315^{\circ})=-1\)

\(\cot(315^{\circ})=-1\)

\(\sec 315^{\circ}=\frac{2}{\sqrt{2}}\)

\(cosec 315^{\circ}=-\frac{2}{\sqrt{2}}\)


7) \(-315^{\circ}\)

เนื่องจาก \(-315^{\circ}=-360^{\circ}+45^{\circ}\)  ดังนั้น

\(\sin(-315^{\circ})=\sin(-360^{\circ}+45^{\circ})=\sin 45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\cos(-315^{\circ})=\cos(-360^{\circ}+45^{\circ})=\cos45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\tan(-315^{\circ})=1\)

\(\cot(-315^{\circ})=1\)

\(sec(-315^{\circ})=\frac{2}{\sqrt{2}}\)

\(cosec(-315^{\circ})=\frac{2}{\sqrt{2}}\)


8) \(930^{\circ}\)

เนื่องจาก \(930^{\circ}=900^{\circ}+30^{\circ}\) ดังนั้น

\(\sin(900^{\circ}+30^{\circ})=-\sin(30^{\circ})=-\frac{1}{2}\)

\(\cos(900^{\circ}+30^{\circ})=-\cos(30^{\circ})=-\frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(\tan(930^{\circ})=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

\(\cot(930^{\circ})=\sqrt{3}\)

\(\sec(930^{\circ})=-\frac{2}{\sqrt{3}}\)

\(cosec(930^{\circ})=-2\)


9)\(-480^{\circ}\)

เนื่องจาก \(-480^{\circ}=-540^{\circ}+60^{\circ}\) ดังนั้น  จะเห็นว่ามุมนี้ตกอยู่ในควอร์เร็นต์ที่ 3นะคับ

\(sin(-480^{\circ})=\sin(-540^{\circ}+60^{\circ})=-\sin 60^{\circ}=-\frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(\cos(-480^{\circ})=\cos(-540^{\circ}+60^{\circ})=-\cos60^{\circ}=-\frac{1}{2}\)

\(\tan(-480^{\circ})=\sqrt{3}\)

\(\cot(-480^{\circ})=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\)

\(\sec(-480^{\circ})=-2\)

\(cosec(-480^{\circ})=-\frac{2}{\sqrt{3}}\)


10) \(-840^{\circ}\)

เนื่องจาก \(-840^{\circ}=-900^{\circ}+60^{\circ}\) ดังนั้น

\(\sin(-840^{\circ})=\sin(-900^{\circ}+60^{\circ})=-\sin60^{\circ}=-\frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(\cos(-840^{\circ})=\cos(-900^{\circ}+60^{\circ})=-\cos60^{\circ}=-\frac{1}{2}\)

\(\tan(-840^{\circ})=\sqrt{3}\)

\(\cot(-840^{\circ})=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\)

\(\sec(-840^{\circ})=2\)

\(cosec(-840^{\circ})=\frac{2}{\sqrt{3}}\)


11) \(-390^{\circ}\)

เนื่องจาก \(-390^{\circ}=-360^{\circ}-60^{\circ}\) ดังนั้น

\(sin(-390^{\circ})=\sin(-360^{\circ}-60^{\circ})=-\sin60^{\circ}=-\frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(\cos(-390^{\circ})=\cos(-360^{\circ}-60^{\circ})=\cos60^{\circ}=\frac{1}{2}\)

\(\tan(-390^{\circ})=-\sqrt{3}\)

\(\cot(-390^{\circ})=-\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\)

\(\sec(-390^{\circ})=2\)

\(cosec(-390^{\circ})=-\frac{2}{\sqrt{3}}\)


2.จงหาค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติต่อไปนี้

1. \(\cos\frac{\pi}{2}-\sin\frac{5\pi}{3}+\tan\frac{9\pi}{4}-\cos\frac{5\pi}{6}+\tan\frac{7\pi}{6}\)

ดูตามน่ะค่อยๆอ่าน

\(=\cos\frac{\pi}{2}-\sin(2\pi-\frac{\pi}{3})+\frac{\sin(2\pi+\frac{\pi}{4})}{\cos(2\pi+\frac{\pi}{4})}-\cos(\pi-\frac{\pi}{6})+\frac{sin(\pi+\frac{\pi}{6})}{cos(\pi+\frac{\pi}{6})}\)

\(=0-(-\frac{\sqrt{3}}{2})+1-(-\frac{\sqrt{3}}{2})+\frac{1}{\sqrt{3}}\)

\(=\frac{\sqrt{3}}{2}+1+\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{\sqrt{3}}\)

\(=\sqrt{3}+1+(\frac{1}{\sqrt{3}}\times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})\)

\(=\sqrt{3}+1+\frac{\sqrt{3}}{3}\)

\(=\frac{4\sqrt{3}+3}{3}\quad Ans\)


2. \(\sin\frac{5\pi}{6}+\tan\frac{7\pi}{6}-(\cos\frac{3\pi}{4}sin\frac{4\pi}{3})\)

\(=\sin(\pi-\frac{\pi}{6})+\frac{sin(\pi+\frac{\pi}{6})}{cos(\pi+\frac{\pi}{6})}-(cos(\pi-\frac{\pi}{4})sin(\pi+\frac{\pi}{3}))\)

\(=\frac{1}{2}+\frac{(-\frac{1}{2})}{-\frac{\sqrt{3}}{2}}-(-\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot -\frac{\sqrt{3}}{2})\)

\(=\frac{1}{2}+\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{\sqrt{6}}{4}\)

\(=6+\frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{\sqrt{6}}{4}\)

\(=\frac{6+4\sqrt{3}-3\sqrt{6}}{12}\)


3. \(\sin\frac{3\pi}{2}+\tan\pi\cos\frac{\pi}{2}-\cot\frac{5\pi}{6}-\sin\frac{7\pi}{6}\)

\(=(-1)+0-\frac{cos(\pi-\frac{\pi}{6})}{sin(\pi-\frac{\pi}{6})}-sin(\pi+\frac{\pi}{6})\)

\(=-1+0-(-\sqrt{3}-(-\frac{1}{2}\)

\(=-1+\sqrt{3}+\frac{1}{2}\)

\(=\sqrt{3}-\frac{1}{2} \quad Ans\)


4. \(\cos^{2}\frac{\pi}{4}+\sin^{2}\frac{\pi}{6}+\cos^{2}\frac{11\pi}{6}\)

\(=(\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}+(\frac{1}{2})^{2}+(\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}\)

\(=\frac{2}{4}+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}\)

\(=\frac{6}{2}\)

\(=3\quad Ans\)


5.\(\frac{3\tan^{2}135^{\circ}-\sec^{2}300^{\circ}}{2\sin330^{\circ}}\)

\(=\frac{3\tan^{2}(180-45)^{\circ}-\sec^{2}(360-60)^{\circ}}{2\sin(360-30)^{\circ}}\)

\(=\frac{3(-1)^{2}-(2)^{2}}{2(-\frac{1}{2})}\)

\(=\frac{3-4}{-1}\)

\(=1 \quad Ans\)


6. \(\sin\frac{\pi}{3}\cos\frac{\pi}{6}+\cos\frac{\pi}{3}\sin\frac{\pi}{6}+\sin\frac{5\pi}{3}-\tan\frac{5\pi}{3}\)

\(=(\frac{\sqrt{3}}{2})(\frac{\sqrt{3}}{2})+(\frac{1}{2})(\frac{1}{2})+(-\frac{\sqrt{3}}{2}-\sqrt{3})\)

\(=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}-\frac{\sqrt{3}}{2}-\sqrt{3}\)

\(=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}-\frac{2\sqrt{3}}{4}-\frac{4\sqrt{3}}{4}\)

\(=\frac{3+1-2\sqrt{3}-4\sqrt{3}}{4}\)

\(=\frac{4-6\sqrt{3}}{4}\)


7. \(\frac{\tan(-480^{\circ})-\sin(-840^{\circ})}{\cos(-390^{\circ})}\)

ข้อนี้เลื่อนไปดูด้านบนๆนะครับพวกค่า \(\tan(-480^{\circ}\) ผมหาไว้ให้ดูหมดแล้วครับ จะได้

\(=\frac{\sqrt{3}-(-\frac{\sqrt{3}}{2})}{\frac{1}{2}}\)

\(=\frac{\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}\)

\(=\frac{\frac{2\sqrt{3}+\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}\)

\(=3\sqrt{3}\)