หลักจากที่ไม่ได้อัพเดทเว็บไซด์มาระยะหนึ่งวันนี้ก็ได้ฤกษ์ยาม ยังอยู่ที่เรื่องของฟังก์ชันตรีโกณมิติน่ะจ๊ะ ในหัวข้อย่อยคือ ผกผันของฟังก์ชันตรีโกณมิติ เป็นพื้นฐานน่ะจ๊ะ ดูพื้นฐานเบื้องต้นให้เข้าใจก่อน และค่อยต่อยอดน่ะทุกคนจริงๆแล้วไม่ยากดอก ง่ายๆ ฟังจากใน youtube น่ะ ผมอัพโหลดลงเมื่อตะกี๊(2/09/2558)เวลา
หกโมงเย็นกว่าๆหรืออาจจะเป็นทุ่มหนึ่งแต่ช่างมันเถอะ ดูแล้วเข้าใจไม่เข้าใจอย่างไรก็เม้นบอกหน่อยแล้วกันจะได้แก้ไข และอาจจะมีตัวอย่างเพิ่มเติมเร็วนี้แต่วันนี้เอาแค่ในวิดีโอก่อน แล้วกัน เหนื่อยแล้ว ดูผ่าน pc หรือ laptop น่ะ สมาร์ทโฟนอาจดูไม่ได้
มาดูการทำแบบฝึกหัดเพิ่มเติมดีกว่า เป็นแบบฝึกหัดเกี่ยวกับผกผันของฟังก์ชันตรีโกณมิติแต่ก่อนทำแบบฝึก
หัดสิ่งที่ควรรู้คือ
\(-\frac{\pi}{2}\leq\arcsin x\leq\frac{\pi}{2}\) คือค่าของอาร์คไซน์ต้องอยู่ในช่วงนี้เท่าน้นน่ะ
\(0\leq \arccos x \leq \pi \) อาร์คคอสต้องอยู่ในช่วงนี้น่ะ
\(-\frac{\pi}{2}<\arctan x < \frac{\pi}{2}\) อาร์คแทน ต้องอยู่ในช่วงนี้น่ะ
1.จงหาค่าต่อไปนี้
\(1)\quad \arcsin 0\)
วิธีทำ ข้อนี้ไม่ยากคับ เพื่อความง่ายต้องกำหนดก่อน
ให้ \(arcsin 0 = y\) ให้อาร์คไซน์ 0 เท่ากับตัวแปรอะไรสักอย่างหนึ่ง เป็นตัวแปร y หรือตัวแปร \(\theta \) อะไรก็ได้หนึ่งตัวต่อไปก็เปลี่ยนสมการ คือเปลี่ยนจาก arcsin x =y เปลี่ยนให้เป็น sin y= x ซึ่งถ้าเปรียบเทียบกันดูจะเห็นว่า x คือเลข 0 นั่นเอง ดังนั้นเราจะได้ว่า
\(arcsin 0 = y\) เปลี่ยนเป็น
\(sin y =0\) อย่าลืมเงื่อนไขน่ะคับ y ต้องอยู่ในช่วงนี้ \(-\frac{\pi}{2}\leq y \leq \frac{\pi}{2}\) ต่อไปเราก็หาค่า y คับ ไซน์ของมุมอะไรเอ่ยมีค่าเป็น 0 โดยที่มุมนั้นอยู่ในช่วง \(-\frac{\pi}{2}\leq y \leq \frac{\pi}{2}\) ซึ่งเราจะเห็นว่า
\(sin 0 =0 \)
ดังนั้นเราจะได้ว่า y=0
จากที่เราให้ \(arcsin 0 = y\) จะได้
\(arcsin 0 = 0\)
ตอบ 0 งงดูที่คลิปน่ะจ๊ะ
\( 2)\quad \arccos 1 \)
วิธีทำ ให้ \(arccos 1 =y \) จะได้
\(\cos y=1\) โดยที่ \(0\leq y \leq \pi\)
เนื่องจาก \(\cos \frac{\pi}{2}=1\)
ดังนั้น \(y=\frac{\pi}{2}\)
ตอบ \(\frac{\pi}{2}\)
\( 3) \quad \arcsin (-1) \)
วิธีทำ ให้ \( \quad \arcsin (-1)=y \) จะได้
\( \sin y= -1\) เมื่อ \( -\frac{\pi}{2}\leq y \leq \frac{\pi}{2}\)
เนื่องจาก \( \sin (-\frac{\pi}{2})= -1\)
ดังนั้น \(y=-\frac{\pi}{2}\)
ตอบ \(-\frac{\pi}{2}\)
\( 4) \arctan \frac{\sqrt{3}}{3}\)
วิธีทำ ให้ \( \arctan \frac{\sqrt{3}}{3}=y\) จะได้
\(\tan y=\frac{\sqrt{3}}{3}\) เมื่อ \(-\frac{\pi}{2}< y <\frac{\pi}{2}\)
เนื่องจาก \(\tan \frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}\)
ดังนั้น \( y=\frac{\pi}{6}\)
ตอบ \( \frac{\pi}{6}\)
\( 5) \arcsin (-\frac{\sqrt{2}}{2})\)
วิธีทำ ให้ \( \arcsin (-\frac{\sqrt{2}}{2})=y\)
จะได้ \(sin y= -\frac{\sqrt{2}}{2}\) เมื่อ \(-\frac{\pi}{2}\leq y \leq \frac{\pi}{2}\)
เนื่องจาก \(\sin-\frac{\pi}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}\)
ดังนั้น \(y=-\frac{\pi}{4}\)
ตอบ \(-\frac{\pi}{4}\)
\( 6) \cos [\arcsin (-\frac{\sqrt{3}}{2})]\)
วิธีทำ หาค่าตัวที่อยู่ในวงเล็บใหญ่ก่อนน่ะคับ คือหาค่านี้ก่อน \(\arcsin-\frac{\sqrt{3}}{2}\)
ให้ \(\arcsin-\frac{\sqrt{3}}{2}=y\) จะได้
\(\sin y=-\frac{\sqrt{3}}{2}\) เมื่อ \(-\frac{\pi}{2} \leq y \leq \frac{\pi}{2}\)
เนื่องจาก \( \sin -\frac{\pi}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}\)
ดังนั้น \( y=-\frac{\pi}{3}\)
ตอนนี้เราได้ว่า \(\arcsin -\frac{\sqrt{3}}{2}=-\frac{\pi}{3}\) ต่อไปจึงได้ว่า
\(\cos [\arcsin (-\frac{\sqrt{3}}{2})]=\cos-\frac{\pi}{3}=\cos \frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}\)
ตอบ \(\frac{1}{2}\)
แบบฝึกหัดที่ 2 แบบฝึกหัดนี้ผมเขียนเพิ่มเติมครับ ก็คือจะพาหาค่าฟังก์ชันอาร์ค อาจจะเป็นอาร์คไซน์ อาร์คคอส อาร์คแทน และอื่นๆ บางทีฟังก์ชันอาร์คนี้ อาจจะถูกเรียกชื่อว่าผกผันของฟังก์ชันตรีโกณมิติมันคืออันเดียวกันครับผมไปดูการทำแบบฝึกหัดดีกว่าครับ
1. จงหาค่าแต่ละข้อต่อไปนี้
1) \(arcsin\frac{\sqrt{2}}{2}\)
วิธีทำ ข้อนี้ก็คือหาว่าไซน์ของมุมอะไรเอ๋ยมีค่าเป็นรูทสองส่วนสองครับ
เนื่องจาก \(sin45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)
ดังนั้น \(arcsin\frac{\sqrt{2}}{2}=45^{\circ}\)
2) \(arccos 0\)
วิธีทำ ข้อนี้ก็คือหาว่าคอสของมุมอะไรเอ่ยมีค่าเท่ากับ 0
เนื่องจาก \(cos90^{\circ}=0\)
ดังนั้น \(arccor 0=90^{\circ}\)
3) \(arctan(-\sqrt{3})\)
วิธีทำ ข้อนี้ก็คือหาว่าแทนของมุมอะไรเอ่ยมีค่าเท่าลบรูทสาม
เนื่องจาก \(tan(-60^{\circ})=-\sqrt{3}\)
ดังนั้น \(arctan(-\sqrt{3})=60^{\circ}\)
4) \(arccosec(-1)\)
วิธีทำ ข้อนี้ก็คือหาว่าโคเซคของมุมอะไรเอ่ยมีค่าเท่ากับลบหนึ่ง
เนื่อง \(cosec(-90^{\circ})=-1\)
ดังนั้น \(arccosec(-1)=-90^{\circ}\)
5) \(arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2})\)
วิธีทำ ข้อนี้คือให้หาว่าคอสของมุมอะไรเอ่ยมีค่าเท่าลบรูทสองส่วนสอง
เนื่องจาก \(cos135^{\circ}=-\frac{\sqrt{2}}{2}\)
ดังนั้น \(arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2})=135^{\circ}\)
6) \(arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2})\)
วิธีทำ ข้อนี้คือให้หาว่าไซน์ของมุมอะไรเอ่ยมีค่าเท่ากับลบรูทสองส่วนสอง
เนื่องจาก \(sin(-45^{\circ})=-\frac{\sqrt{2}}{2}\)
ดังนั้น \(arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2})=-45^{\circ}\)
2. จงหาค่าแต่ละข้อต่อไปนี้
1) \(sin(arcsin\frac{1}{3})\)
วิธีทำ ข้อนี้อาจจะดูยากนะแต่มองดีมันก็จะง่าย
จากข้อที่ผ่านๆมาเราจะเห็นว่า ค่าของพวกอาร์คไซน์ อาร์คคอส ก็คือค่าของมุมนั้นเองใช่ไหม ดังนั้นข้อนี้ก็จะทำได้โดยง่ายๆอย่างนี้ครับ จาก
\(sin(arcsin\frac{1}{3})\)
ให้ \(arcsin\frac{1}{3}=\theta\) เอาค่านี้ไปแทนค่าลงในโจทย์ครับจะได้
\(sin\theta\) ข้อนี้พูดง่ายๆก็คือให้หาค่าของไซน์ทีตาครับแล้วจะทำไง เนื่องจากเรามีว่า
\(arcsin\frac{1}{3}=\theta\) ความหมายตรงนี้ก็คือไซน์ของมุมอะไรเอ่ยมีเท่ากับหนึ่งส่วนสามซึ่งมุมอะไรเอ่ยผมให้เป็นทีตา ดังนั้นถ้าเขียนเป็นภาษาคณิตศาสตร์ก็คือ
\(sin\theta=\frac{1}{3}\) ซึ่งตรงกับสิ่งที่เรากำลังหาอย่าลืมนะเรากำลังหาไซน์ทีตาอยู่ ดังนั้นข้อนี้
\(sin(arcsin\frac{1}{3})=\frac{1}{3}\)
หรือถ้าใครจำสูตรได้ก็ใช้สูตรเลยก็ได้ \(sin(arcsinx)=x\) ข้อนี้ x คือ หนึ่งส่วนสาม
อ่านเพิ่มเติมและทำฝึกทำแบบฝึกหัดเพิ่มเติมได้ที่นี่อีกที่ครับ แบบฝึกหัดผกผันฟังก์ชันตรีโกณมิติ