Print
Parent Category: ความรู้เกี่ยวกับคณิตศาสตร์
Category: ความรู้คณิตศาสตร์ม.5
Hits: 41254

สวัสดีคับทุกคนหลังจากที่หายไปนานกับความขี้เกียจวันนี้ก็กู้ตัวเองออกจากความขี้เกียจได้แล้วเป็นการเอาชนะครั้งยิ่งใหญ่และช่วงนี้ก็ไม่ค่อยจะมีเวลาด้วยต้องคอยตามแก้งานให้คนอื่นไม่ใช่งานผมเลย แต่ต้องมารับแก้ไขให้ บอกไว้เลยคับถ้าให้เลือกทำงานกับคนสองคน คนแรกคื่อ คนโง่   คนที่สองคือฉลาดแต่เห็นแก่ตัวสุดๆ ผมเลือกทำกับคนโง่ดีกว่า คนเห็นแก้ตัวอย่าไปยุ่งกับเขาเลยคับพวกนี้อยู่ด้วยมีความล่มจม  

คนพวกนี้ฉลาดแต่ความฉลาดไม่ได้ทำให้ชาติบ้านเมื่องดีขึ้นเลย เพราะมันกินบ้านกินเมืองนั้นเอง.....เรามีเข้าสู่บทเรียนกันดีกว่าคับ  มาดูบทนิยามของสังยุค หรือภาษาอังกฤษใช้คำว่า Conjugate ของจำนวนเชิงซ้ิอนกันดีกว่า

บทนิยาม

ถ้าให้ \(z\) เป็นจำนวนเชิงซ้อนและ  \(z=a+bi\)  เมื่อ    \(a,b\) เป็นจำนวนจริงใดๆ

สังยุค(Conjugate)ของ  \(z\) เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์     \(\quad \overline{z} \quad\)    ซึ่ง

\(\quad \overline{z}=a-bi\)

มาดูตัวอย่างกันคับ

ตัวอย่าง จงหาสังยุคของจำนวนเชิงซ้อนที่กำหนดให้ในแต่ละข้อต่อไปนี้

\( 1) z_{1}=3+4i\)  สังยุคของแซดหนึ่งหรือก็คือ \(\overline{z_{1}}\) จะมีค่าเป็น

ตอบ\(\overline{z_{1}}=3-4i\)

\(2)z_{2}=-3+4i\)

ตอบ\(\overline{z_{2}}=-3-4i\)

\(3)z_{3}=5-7i\)

ตอบ\(\overline{z_{3}}=5+7i\)

\(4)z_{4}=-8-3i\)

ตอบ \(\overline{z_{4}}=-8+3i\)

\(5)z_{5}=7i\)

ตอบ \(\overline{z_{5}}=-7i\)

\(6)z_{6}=-5i\)

ตอบ\(\overline{z_{6}}=5i\)

\(7)z_{7}=5\)

ตอบ \(\overline{z_{7}}=5\)


มาทำแบบฝึกหัดเกี่ยวกับสังยุคจำนวนเชิงซ้อนเพิ่มเติมกันครับ

1. กำหนดให้ \(z_{1}=2-i\)  และ  \(z_{2}=-3+2i\)  จงหา

1)  \(\overline{z_{1}}\)

วิธีทำ เนื่องจาก \(z_{1}=2-i\)  ดังนั้น

\(\overline{z_{1}}=2+i\)

2)  \(z_{1}z_{2}\)

วิธีทำ  เริ่มทำเลยนะครับ

\begin{array}{lcl}z_{1}z_{2}&=&(2-i)(-3+2i)\\&=&(2)(-3)+(2i)(-i)+(-i)(-3)+(2)(2i)\\&=&-6-2i^{2}+3i+4i\\&=&-6+2+7i\\&=&-4+7i\end{array}

3) \(\overline{z_{1}z_{2}}\)  

วิธีทำ    เริ่มทำเลยครับผม

\begin{array}{lcl}\overline{z_{1}z_{2}}&=&\overline{(2-i)(-3+2i)}\\&=&\overline{(2-i)}\quad\overline{(-3+2i)}\\&=&(2+i)(-3+2i)\\&=&(2)(-3)+(i)(2i)+(i)(-3)+(2)(2i)\\&=&-6+2i^{2}-3i+4i\\&=&-8+i\end{array}

4)  \(\overline{z_{1}+z_{2}}\)

วิธีทำ เริ่มทำกันเลย

\begin{array}{lcl}\overline{z_{1}+z_{2}}&=&\overline{z_{1}}+\overline{z_{2}}\\&=&\overline{(2-i)}+\overline{-3+2i}\\&=&(2+i)+(-3-2i)\\&=&2-3+i-2i\\&=&-1-i\end{array}

เป็นตัวอย่างการหาสังยุคของจำนวนเชิงซ้อนคับ ไม่ยากเข้าใจนิยามก็ทำได้อยู่แล้วซึ่งสังยุคนี้สามารถนำไปหาผลหารของจำนวนเชิงซ้ิอนได้ซึ่งผมจะยกตัวอย่างให้ดูต่อไป....คับ  สิ่งที่เราต้องรู้อีกอย่างคือสมบัติที่สำคัญของสังยุคซึ่งผมจะยกตัวอย่างในส่วนที่สำคัญและนำไปใช้ในการทำข้อสอบ PAT 1 บ่อยมาดูดีกว่าว่ามีอะไรบ้าง

สมบัติของสังยุคของจำนวนเชิงซ้อน

ให้ \(z,z_{1},z_{2}\quad\) เป็นจำนวนเชิงซ้อนใดๆ

\(1) z+\overline{z}=2Re(z)\) ใช่บ่อยในข้อสอบ PAT 1

\( 2)\overline{\overline{z}}=z\)

\( 3)\overline{z_{1}+z_{2}}=\overline{z_{1}}+\overline{z_{2}}\)

\(4)\overline{z_{1}-z_{2}}=\overline{z_{1}}-\overline{z_{2}}\)

\(5)\overline{z_{1}z_{2}}=\overline{z_{1}}\overline{z_{2}}\)

\(6)\overline{\left(\frac{z_{1}}{z_{2}}\right)}=\frac{\overline{z_{1}}}{\overline{z_{2}}}\)

\(7)\overline{z^{n}}=(\overline{z})^{n}\)

วันนี้พอแค่นี้ก่อนปวดตาเดี่ยวมีตัวอย่างเพิ่มเติมอีกคอยติดตามตอนต่อไป....