การแก้สมการติดรูท

การแก้สมการติดรูท วันนี้เรามาแก้สมการติดรูทกันดีกว่า เห็นว่าออกสอบ PAT 1 เยอะก็เลยมาเรียนรู้กันเอาไว้ดีกว่า เผื่อมีประโยชน์ในการทำข้อสอบ PAT 1 บ้าง การแก้สมการมีหลักการแก้ง่ายๆคือ

1.พยายามกำจัดเครื่องหมายรูทออกโดยการยกกำลังสองทั้งสองข้างของสมการ บางครั้งอาจต้องยกกำลังสองมากกว่าหนึ่งครั้ง

2.เมื่อรูทหายไปแล้วก็แก้สมการธรรมดาตามที่เราเคยเรียนมาเพื่อหาค่าตัวแปร

3.เมื่อได้คำตอบแล้ว ต้องตรวจสอบคำตอบทุกครั้งด้วย เพราะก็แก้สมการโดยการยกกำลังสองอาจทำให้ได้คำตอบปลอมเกิดขึ้น

เรามาดูวิธีการทำกันเลยดีกว่า

จงแก้สมการต่อไปนี้

1.\(\sqrt{2x+1}+7=10\)

วิธีทำ \(\sqrt{2x+1}+7=10\)

\(\sqrt{2x+1}=10-7\)

\((\sqrt{2x+1})^2=3^{2}\)

\(2x+1=9\)

\(x=\frac{9-1}{2}\)

\(x=4\)

ตรวจคำตอบ \(\sqrt{2(4)+1}+7=10\)

3+7=10

10=10   สมการเป็นจริง

ข้อนี้ x=4  ง่ายๆไม่ยากคับ

 

2.\(\sqrt{1-x^{2}}=1-x\)

\(\sqrt{1-x^{2}}=1-x\)

\((\sqrt{1-x^{2}})^{2}=(1-x)^{2}\)

\(1-x^{2}=1-2x+x^{2}\)

\(2x^{2}-2x=0\)

\(2x(x-2)=0\)

x=0 หรือ x=2

ตรวจคำตอบ

\(\sqrt{1-2^{2}}=1-2\)

\(\sqrt{1-4}=-1\)  สังเกตว่าข้างในรูทติดลบซึ่งแสดงว่าไม่จริง

อีกอันหนึ่ง

\(\sqrt{1-0^{2}}=1-0\)

\(\sqrt{1}=1\)

1=1   สมการเป็นจริง

ข้อนี้ตอบ x=0

3.\(\sqrt{x-3}+2=x-3\)

\(\sqrt{x-3}=x-3-2\)

\(\sqrt{x-3}=x-5\) ต่อไปยกกำลังสองทั้งสองข้าง

\((\sqrt{x-3})^{2}=(x-5)^{2}\)

\(x-3=x^{2}-10x+25\)

\(0=x^{2}-10x+25-x+3\)

\(0=x^{2}-11x+28\)

\(x^{2}-11x+28=0\)

\((x-7)(x-4)=0\)

จะได้  x=7  หรือ x=4  ตรวจสอบคำตอบเองน่ะคับข้อนี้

4. \(\sqrt{x^{2}-9}=2x-6\)

\((\sqrt{x^{2}-9})^{2}=(2x-6)^{2}\)

\(x^{2}-9=4x^{2}-24x+36\)

\(x^{2}-9-4x^{2}+24x-36=0\)

\(-3x^{2}+24x-45=0\)

\(x^{2}-8x+15=0\)

\((x-3)(x-5)=0\)

จะได้  x=3  หรือ x=5  ตรวจสอบคำตอบเองน่ะคับ

ข้อต่อไปเพิ่มความยากขึ้นหน่อยหนึ่ง ข้อนี้จะใช้เทคนิคการเปลี่ยนตัวแปร เพื่อทำให้การแก้สมการดูง่ายขึ้น มาลองทำกันเลยคับ

5. \(\sqrt{x^{2}+x+2}=2x^{2}+2x-2\)

ข้อนี้ถ้ายกกำลังสองทั้งสองข้างเลยยากแน่เพราะจะเห็นว่าทางขวามือของสมการมีสามพจน์ยกกำลังสองยาก ดังนั้นวิธีการคือใช้เทคนิคเปลี่ยนตัวแปรโดยให้

\(A=\sqrt{x^{2}+x+2}\)  จะได้

\(A=2x^{2}+2x-2\)  ให้เป็นสมการที่ 1  ซึ่งจะเห็นว่ายังมีตัวแปร x เหลืออยู่ต้องทำให้ตัวแปร x ให้อยู่ในรูปของ A ให้หมด

จาก

\(A=\sqrt{x^{2}+x+2}\)  ลองยกกำลังสองทั้งสองข้าง

\(A^{2}=x^{2}+x+2\)

\(A^{2}-2=x^{2}+x\)

\(2A^{2}-4=2x^{2}+2x\)

จะเห็นว่า \(2x^{2}+2x\) ถ้าเขียนให้อยู่ในรูปของ A จะได้  \(2A^{2}-4\)  นำค่าที่ได้นี้ไปแทนในสมการที่ 1 จะได้

\(A=2A^{2}-4-2\)

\(2A^{2}-A-6=0\)

\((2A+3)(A-2)=0\)

จะได้  \(A=\frac{-3}{2}\)  หรือ  \(A=2\)

เนื่องจากตอนแรกเราให้ \(A=\sqrt{x^{2}+x+2}\)

\(A=\frac{-3}{2}\)   จะได้

\(\sqrt{x^{2}+x+2}=\frac{-3}{2}\)  ซึ่งเป็นไปไม่ได้เพราะ  รากที่สองมันมีค่ามากกว่าเท่ากับศูนย์เสมอ ไม่ติดลบ แสดงว่าไม่ต้องทำแล้ว

อีกตัวหนึ่งคือ

\(A=2\)

\(\sqrt{x^{2}+x+2}=2\) ยกกำลังสองทั้งสองข้างคับจะได้

\(x^{2}+x+2=4\)

\(x^{2}+x-2=0\)

\((x+2)(x-1)=0\)

จะได้  x=-2  หรือ  x=1  ตรวจสอบคำตอบเองน่ะคับ

นี่คือ การสมการติดรูทโดยเทคนิคการเปลี่ยนตัวแปร  ออกข้อสอบ PAT 1 เยอะเหมือนกันคับ

วันนี้พอแค่นี้ก่อน ต่อไปจัดเป็นคลิปครับรอติดตามได้เลยคับ

ติดต่อ 0988281419 หรือ wisanu.kkung@gmail.com