ความน่าจะเป็น เป็นเรื่องที่ค่อนข้างยาก แต่ถ้าเราหัดทำโจทย์บ่อยๆเราก็จะเข้าใจและทำได้ ไม่ยากนัก วันนี้

ผมจะรวบรวมโจทย์ความน่าจะเป็นที่ไม่ยากไป ไม่ง่ายไปมายกตัวอย่างให้ผู้สนใจลองอ่านทำความเข้าใจกันดูคับ

1. มีคน 10 คน ซึ่งใน 10 คนนี้ มีปารมีและภูผารวมอยู่ด้วย ถ้าจัดคน 10 คน นั่งเป็นวงกลม จงหาความน่าจะเป็นที่ปารมีและภูผาจะนั่งติดกัน

วิธีทำ  ทบทวนสูตรในการหาค่าความน่าจะเป็นก่อน   \(P(E)=\frac{n(E)}{n(S)}\)

n(S)  คือ จำนวนวิธีทั้งหมดที่จะจัดคน 10 คนนั่งเป็นวงกลม

n(E)  คือ จำนวนวิธีจัดคนนั่งเป็นวงกลมโดยที่ปารมีและภูผาจะต้องนั่งติดกัน

ดังนั้น

n(S)=(10-1)!=9!    จัดของเป็นวงกลมใช้สูตร (n-1)!

n(E)= (9-1)! 2!=8!2!  แนวคิดคือจับปารมีและภูผามัดรวมกันเป็นหนึ่งมัดเดียวกัน ฉนั้นจะเหลือสิ่งของ 9 สิ่งมาจัดเป็นวงกลมได้ (9-1)! วิธี และปารมี กับ ภูผา สามารถนำมาสลับที่กันอีกสองวิธีหรือก็คือ 2! นั่นเอง

ดังนั้นข้อนี้ตอบ

\(P(E)=\frac{8!2!}{9!}\)=\(\frac{2}{9}\)

ความน่าจะเป็นที่ปารมีและภูผาจะนั่งติดกันคือ \(\frac{2}{9}\)


2.กล่องใบหนึ่งมีบัตร 5 ใบ ซึ่งเขียนหมายเลข 1,2,3,4,5 กำกับไว้ ถ้าหยิบบัตรจากกล่องใบนี้พร้อมกัน 3 ใบ จงหาความน่าจะเป็นที่ผลรวมของแต้มบนบัตรมากกว่า 10

วิธีทำ 

n(S) คือ จำนวนวิธีทั้งหมดในการหยิบบัตร 5 ใบโดยหยิบพร้อมกันครั้งละ 3 ใบ ดังนั้น

\(n(S)=C_{5,3}=\frac{5!}{(5-3)!3!}=10\)

n(E) คือ จำนวนวิธีที่บัตร 3 ใบที่หยิบมาพร้อมกันผมรวมของหมายเลขในบัตรมากกว่า 10 ดังนั้น

n(E)={(3,4,5) ,(4,5,2)}=2

ดังนั้นข้อนี้ตอบ

\(P(E)=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}\)

ความน่าจะเป็นที่ผลรวมของแต้มมากกว่า 10 คือ \(\frac{1}{5}\)


3.นักเรียนชาย 4 คน นักเรียนหญิง 4 คน ยืนเรียงแถวหน้ากระดาน จงหาความน่าจะเป็นที่นักเรียนชายและนักเรียนหญิงจะยื้นสลับกัน

วิธีทำ 

n(S) คือ จำนวนวิธีจัดคน 8 คนยืนสลับที่กัน

n(S)=8!

n(E)  คือ จำนวนวิธีจัดคนให้ยืนโดยที่หญิง ชาย ยืนสลับกัน

n(E)=4!4!2

ดังนั้นข้อนี้ตอบ

\(P(E)=\frac{4!4!2}{8!}\)


4.กล่องใบหนึ่งมีลูกแก้วขนาดเดียวกัน 13 ลูก เป็นสีแดง 6 ลูก สีขาว 4 ลูก และสีเหลือง 3 ลูก โดยที่ลูกแก้วทุกลูกแตกต่างกัน ถ้าสุ่มหยิบลูกแก้วออกมา 3 ลูก จงหาความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกแก้วสีต่างกันทั้ง 3 ลูก

วิธีทำ

\(n(S)=\binom{13}{3}=\frac{13!}{(13-3)!3!}=286\)

\(n(E)=\binom{6}{1}\binom{4}{1}\binom{3}{1}=72\)

\(P(E)=\frac{72}{286}\) 


5.ชายคนหนึ่งมีเสื้ออยู่ 5 ตัว เป็นเสื้อสีขาว 3 ตัว สีฟ้า 2 ตัว และมีกางเกงขายาว 4 ตัว เป็นกาเกงสีขาว 1 ตัว สีเทา 3 ตัว ถ้าชายคนนี้แต่งตัวออกจากบ้านโดยไม่เจาะจงแล้ว จงหาความน่าจะเป็นที่ชายคนนี้จะสวมเสื้อและกางเกงสีต่างกัน

วิธีทำ 

n(S) คือจำนวนวิธีในการแต่งตัวทั้งหมด มีเสื้อให้เลือก 5  ตัว และมีกางเกงให้เลือก  4 ตัว ดังนั้นจำนวนวิธีในการแต่งตัวมีทั้งหมดคือ \(5\times 4 =20 \)  วิธี  อันนี้ใช้กฎการคูณในการคิด

นั่นคือ  n(S)=20

n(E) คือจำนวนวิธีที่ชายคนนี้แต่งตัวโดยเสื้อและกางเกงสีต่างกัน จะแบ่งการคิดออกเป็น 2 กรณี

กรณี 1  คือชายคนนี้แต่งตัวโดยใส่เสื้อสีขาว

เพราะฉะนั้นเขาเลือกใส่เสื้อได้ 3  วิธีแต่กางเกงเขาห้ามเป็นสีขาวฉนั้นเขาต้องใส่กางเกงเทาเลือกได้ 3 วิธีเพราะกางเกงสีเทามีสามตัว จำนวนวิธีทั้งหมดในการแต่งตัวแบบนี้คือ  \(3\times 3=9\)

กรณี 2  คือชายคนนี้แต่งตัวโดยใส่เสื้อสีฟ้า

เพราะฉะนั้นเขาเลือกใส่เสื้อได้ 2 วิธีและกางเกงเขาใส่กางเกงสีขาวก็ได้ สีเทาก็ได้ทำได้ 4 วิธีเพราะฉะนั้นจำนวนวิธีในการแต่งตัวแบบนี้คือ \( 2\times 4=8\)

ดังนั้น n(E)=9+8=17

ความน่าจะเป็นที่ชายคนนี้จะสวมเสื้อและกางเกงสีต่างกันคือ \(P(E)=\frac{17}{20}\)


6.ตะกร้าใบหนึ่งมีส้ม มังคุดและมะม่วงรวมกัน 10 ลูก โดยที่จำนวนส้มเป็นสองเท่าของจำนวนมังคุดและมีมะม่วง 1 ลูก โดยที่ผลไม้ทุกลูกแตกต่างกัน ถ้าหยิบผลไม้อย่างไม่เจาะจงจากตะกร้าใบนี้จำนวน 3 ลูก จงหาความน่าจะเป็นที่จะหยิบได้ผลไม้ชนิดละ 1 ลูก

วิธีทำ  มะม่วงมีจำนวน 1 ลูก มังคุดไม่รู้มีกี่ลูกให้มังคุดมีจำนวน x ลูก ฉะนั้นส้มมีจำนวนเป็น 2x

ผลไม้รวมกันมีจำนวน 10 ลูก จะได้ว่า 1+x+2x=10  , x=3 นั่นคือมังคุดมีจำนวน 3 ลูก ส้ม 6ลูก

จึงได้ว่า

\(n(S)=\binom{10}{3}=240\)

\(n(E)=\binom{1}{1}\binom{3}{1}\binom{6}{1}=18\)

ความน่าจะเป็นที่จะหยิบได้ผลไม้ชนิดละหนึ่งลูก คือ \(P(E)=\frac{18}{240}=\frac{3}{40}\) 


7.ถ้าความน่าจะเป็นที่นายธงชัยจะสอบผ่านวิชาคณิตศาสตร์และวิชาภาษาอังกฤษเป็น 0.6 และ 0.5 ตามลำดับ และความน่าจะเป็นที่จะผ่านอย่างน้อย 1 วิชา เป็น 0.8 จงหาความน่าจะเป็นที่นายธงชัยจะสอบผ่านทั้งสองวิชานี้

วิธีทำ ถ้าวาดแผนภาพเวน-ออยเลอร์ช่วยจะดูง่ายนะข้อนี้

ให้ x คือความน่าจะเป็นที่นายธงชัยสอบผ่านทั้งสองวิชาดังนั้นจะได้ตามรูป

โจทย์บอกว่าความน่าจะเป็นที่จะสอบผ่านอย่างน้อย 1 วิชา คือ 0.8 ความหมายของประโยคนี้คือสอบผ่านหนึ่งวิชาก็ได้หรือสอบผ่านทั้งสองวิชาก็ได้ ดังนั้นเราจึงได้ว่า

(0.6-x)+x+(0.5-x)=0.8

1.1-x=0.8

      x=0.3

นั่นก็คือความน่าจะเป็นที่นายธงชัยจะสอบผ่านทั้งสองวิชาคือ 0.3  นั่นเอง

8.มีนักเรียนกลุ่มหนึ่งจำนวน 120 คน ในจำนวนนี้พบว่ามีนักเรียนทีี่ชอบเรียนวิชาคณิตศาสตร์ 60 คน มีนักเรียนที่ชอบเรียนวิชาภาษาอังกฤษจำนวน 50 คน และมีนักเรียนที่ชอบเรียนทั้งสองวิชา 20 คน ถ้าสุ่มเลือกนักเรียนจากกลุ่มนี้มา 1 คน แล้วจงหาความน่าจะเป็นที่นักเรียนคนที่เลือกมาจะ

1) ชอบเรียนอย่างน้อย 1 วิชา

2) ไม่ชอบเรียนทั้งสองวิชา

3) ชอบเรียนคณิตศาสตร์แต่ไม่ชอบเรียนวิชาภาษาอังกฤษ

วิธีทำ วาดแผนภาพเวน-ออย์เลอร์  เหมือนข้อที่ผ่านมา จะได้

จากโจทย์จะได้ว่าชอบเรียนคณิตศาสตร์อย่างเดียว 40 คน

ชอบเรียนภาษาอังกฤษอย่างเดียว 30 คน

ชอบเรียนทั้งวิชาคณิตและอังกฤษจำนวน 20 คน

ดังนั้นมีคนที่รักในการเรียนทั้งหมด 40+30+20=90 คน แต่นักเรียนมีทั้งหมด 120 คน ดังนั้นจะได้ว่ามีนักเรียนจำนวน 120-90=30 คนที่ไม่ชอบเรียนวิชาอะไรเลยถ้าดูจากแผนภาพก็คือตัวเลขที่อยู่ข้างนอกวงกลมนั่นเอง

1)ความน่าจะเป็นที่สุ่มนักเรียนมา 1 คนแล้วชอบเรียนอย่างน้อยหนึ่งวิชาคือ

ต้องเข้าใจคำว่าชอบเรียนอย่างน้อยหนึ่งวิชาก่อนนะครับก็คือชอบเรียนหนึ่งวิชาก็ได้ชอบเรียนสองวิชาก็ได้หรือชอบเรียนทั้งสองวิชาก็ได้ นั้นคือมีจำนวน 40+30+20=90 คน นั่นเอง

ดังนั้นความน่าจะเป็นสุ่มนักเรียนมา 1 คนแล้วนักเรียนที่สุ่มเลือกมาชอบเรียนอย่างน้อย 1 วิชาเท่ากับ

\(P(E)=\frac{90}{120}=\frac{3}{4}\)

2)ความน่าจะเป็นที่สุ่มนักเรียนมา 1 คนแล้วไม่ชอบเรียนทั้งสองวิชา

คนที่ชอบเรียนทั้งสองวิชามี 20 คนนะคับ ดังนั้นข้อนี้ตอบ

\(P(E)=\frac{30}{120}=\frac{1}{4}\)

3)ความน่าจะเป็นที่สุ่มนักเรียนมา 1 คนแล้วชอบเรียนคณิตศาสตร์แต่ไม่ชอบเรียนวิชาภาษาอังกฤษ

ก็คือชอบเรียนคณิตศาสตร์อย่างเดียว \(P(E)=\frac{40}{120}=\frac{1}{3}\)


9. บ่อปลาแห่งหนึ่งเป็นรูปวงกลม อนุญาตให้เข้าตกปลาได้ครั้งละ 4 คน โดยให้นั่งอยู่รอบบ่อ ถ้าครอบครัวหนึ่งมากัน 7 คน ความน่าจะเป็นที่ผู้เข้าตกปลาครั้งหนึ่งๆจะมีพ่อและแม่รวมอยู่ด้วยเสมอเท่ากับเท่าใด

วิธีทำ ถ้าเราเห็นโจทย์ที่มีลักษณะจัดอะไรสักอย่างรอบบ่อหรืออะไรก็ตามที่เป็นวงกลมรำลึกไว้เลยว่ามันต้องเกี่ยวข้องกับการเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลมแน่ไปอ่านให้เข้าใจก่อนนะครับ

ข้อนี้เขาให้หา ความน่าจะเป็นที่ผู้เข้าตกปลาครั้งหนึ่งๆจะมีพ่อและแม่รวมอยู่ด้วยเสมอ

ดังนั้น  

\(n(S)\)  ของข้อนี้คือจำนวนวิธีทั้งหมดในการจัดคน 4 คนจากทั้งหมด 7 คนไปนั่งตกปลารอบบ่อ เอาละต่อไปเราจะเริ่มหา \(n(S)\) กันเลยครับ

จำนวนวิธีในการเลือกคน 4 คนจากทั้งหมด 7 คนจะเท่ากับ \(C_{7,4}=35\) วิธี  และเลือกแต่ละวิธีในจำนวนทั้งหมด 35 วิธีไปจัดนั่งตกปลารอบบ่อจะได้จำนวนวิธีทั้งสิ้น \(35(3!)\)  งงไหมเอ่ยถ้างงดูนี่

วิธีที่ 1 จัดคน 4 คนนั่งรอบบ่อได้ 3! วิธี

วิธีที่ 2 จัดคน 4 คนนั่งรอบบ่อได้ 3! วิธี

...    ....    ....   ....   ....    ....   ....

วิธีที่ 35 จัดคน 4 คนนั่งรอบบ่อได้ 3! วิธี เช่นกัน

ดังนั้นจำนวนวิธีนั่งการเลือกคน 4 คนจาก 7 คนมานั่งตกปลารอบบ่อมีจำนวนทั้งสิ้น \(35(3!)\)  วิธี

ต่อไปหา \(n(E)\)  ก็คือหาจำนวนวิธีที่การตกปลาครั้งหนึ่งจะมีพ่อและแม่รวมอยู่ด้วยเสมอ

การคิดอันนี้ก็คือใช้หลักการง่ายๆครับมัดให้พ่อกับแม่อยู่รวมกันจากที่มีคนอยู่ 7 คน พ่อกับแม่มัดรวมกันเป็นมัดเดียวกันก็คือเป็นคนคนเดียวกันแล้วครับจะได้ว่ามีคนมาตกปลาเพียง 6 คนนั่นเองครับ ฉะนั้นจำนวนวิธีในการเลือกคน 4 คนจากทั้งหมด 6 คนเท่ากับ \(C_{6,4}=15\)  วิธี และในแต่ละวิธีใน 15 วิธีนำไปจัดให้นั่งตกปลารอบบ่อจะได้จำนวนวิธีทั้งหมด \(15(3!)\) วิธี 

ฉะนั้นจำนวนวิธีการนั่งตกปลาที่มีพ่อและแม่รวมอยู่ด้วยเท่ากับ \(15(3!)\) วิธี

ดังนั้น  ความน่าจะเป็นที่ผู้เข้าตกปลาครั้งหนึ่งๆจะมีพ่อและแม่รวมอยู่ด้วยเสมอคือ

\(\frac{15(3!)}{35(3!)}=\frac{3}{7}\)  นั่นเองครับ


10. กล่องใบหนึ่งมีลูกบอลสีขาว 4 ลูก สีแดง 5 ลูก โดยลูกบอลทั้ง 9 ลูกมีขนาดและลัษณะเหมือนกัน สุ่มหยิบลูกบอลจากกล่องใบนี้ 3 ลูก ความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกบอลสีขาวอย่างมาก 2 ลูกมีค่าเท่าใด

วิธีทำ โจทย์แบบนี้กก็คือพวกหยิบลูกบอลสีต่างๆถือว่าเป็นโจทย์ยอดฮิตเลยทีเดียวครับเป็นโจทย์ที่ครูเขาชอบเอาไปออกข้อสอบครับแต่ไม่ยากผมจะทำให้ดูแล้วพวกเราก็สามารถนำไปขยายต่อยอดได้ครับ

โจทย์บอกว่าสุ่มหยิบลูกบอลจากกล่องใบนี้ 3 ลูกแสดงว่า

\(n(S)\)  คือจำนวนวิธีทั้งหมดในการสุ่มหยิบลูกบอล 3 ลูกจากลูกบอลทั้งหมด 9 ลูกจะได้ว่า

\(n(S)=C_{9,3}=\frac{9!}{6!3!}=84\)  วิธี

ส่วน \(n(E)\)  คือจำนวนวิธีในการหยิบได้ลูกบอลสีขาวอย่างมาก 2 ลูก อันนี้ต้องแยกคิดครับคำว่าหยิบได้อย่างมาก 2 ลูกความหมายก็คือหยิบได้ไม่เกิน 2 ลูกนั่นเองครับ ดังนั้น

กรณีที่ 1 กรณีที่หยิบได้ลูกบอลสีขาว 1 ลูก จะได้จำนวนวิธีทั้งหมดคือ

\(C_{4,1}\times C_{5,2}=40\) วิธี  ความหมายของบรรทัดนี้ก็คือหยิบสีขาวมา 1 ลูกจากทั้งหมด 4 ลูกแล้วไปหยิบสีแดงอีก 2 ลูกจากทั้งหมด 5 ลูก

กรณีที่ 2 กรณีที่หยิบได้ลูกบอลสีขาว 2 ลูก จะได้จำนวนวิธีทั้งหมดคือ

\(C_{4,2}\times C_{5,1}=30\) วิธี 

กรณีที่ 3  กรณีที่หยิบไม่ได้ลูกบอลสีขาวเลย นั้นก็คือหยิบได้ลูกบอลสีแดงทั้งหมดคือ

\(C_{5,3}=10\)  วิธี

ดังนั้นในการหยิบจำนวนวิธีหยิบได้ลูกบอลได้เกิน 2 ลูกจะเท่ากับ \(40+30+10=80\) วิธี

ดังนั้นความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกบอลสีขาวอย่างมาก 2 ลูกมีค่าเท่ากับ\(\frac{80}{84}=\frac{20}{21}\)


11. กล่องทึบใบหนึ่งบรรจุลูกบอลสีแดง 4 ลูก สีฟ้า 3 ลูก และสีเหลือง 3 ลูก โดยที่ลูกบอลแต่ละลูกแตกต่างกัน ถ้าสุ่มหยิบลูกบอลออกจากกล่องนี้ 3 ครั้ง โดยหยิบครั้งละ 1 ลูก และใส่คืนก่อนหยิบลูกบอลครั้งต่อไป แล้วความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่หยิบได้ลูกบอลสีแดงจาการสุ่มหยิบลูกบอลครั้งที่ 1 และอีกสองครั้งถัดไปหยิบได้ลูกบอลสีอื่นเท่ากับเท่าใด (A-level 2 มี.ค.66/16)

  1. \(\frac{1}{6}\)
  2. \(\frac{2}{25}\)
  3. \(\frac{4}{27}\)
  4. \(\frac{18}{125}\)
  5. \(\frac{9}{250}\)

วิธีทำ ข้อนี้ไม่ยากคับ จะเห็นว่าเป็นการหยิบลูกบอลครั้งละลูก และใส่คือก่อนจะหยิบอีก ดังนั้นแต่ละครั้งที่จะหยิบจะมีลูกบอกรวมกันคือ 10 ลูกตลอด ดังนั้น

\(n(S)=\binom{10}{1}]\times \binom{10}{1}\times\binom{10}{1}=10\times 10\times 10=1000\)

โจทย์ถามหาความน่าจะเป็นที่จะหยิบได้ลูกบอลสีแดงในการหยิบครั้งที่ 1 และครั้งถัดไปได้ลูกบอลสีอื่น

จำนวนวิธีในการหยิบได้ลูกบอลสีแดงคือ \(\binom{4}{1}\)

จำนวนวิธีในการหยิบครั้งที่ 2 โดยได้สีอื่นที่ไม่ใช่สีแดงคือ \(\binom{6}{1}\)

จำนวนวิธีในการหยิบครั้งที่ 3 โดยได้สีอื่นที่ไม่ใช่สิแดงคือ \(\binom{6}{1}\)

ดังนั้น

\(n(E)=\binom{4}{1}\times\binom{6}{1}\times\binom{6}{1}= 4\times 6\times 6=144\)

ดังนั้นความน่าจะเป็นการหยิบที่จะหยิบได้ลูกบอลสีแดงในการหยิบครั้งที่ 1 และอีกสองถังไปหยิบได้ลูกบอลสีอื่นคือ \(P(E)=\frac{144}{1000}=\frac{18}{125}\)


12. ถุงทึบใบหนึ่งมีบัตรอักษรที่แตกต่างกันทั้งหมดอยู่ 12 ใบ ได้แก่ บัตรอักษร A บัตรอักษร B และบัตรอักษร C อย่างละ 4 ใบ ถ้าสุ่มหยิบบัตร 2 ใบออกมาจากถุง โดยหยิบบัตรทีละใบและไม่ใส่คืนก่อนหยิบบัตรใบที่สอง แล้วความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่บัตรแต่ละใบที่หยิบได้จะไม่ใช่บัตรอักษณ A เท่ากับเท่าใด (กสพท คณิต2 , มี.ค.65/25)

  1. \(\frac{14}{33}\)
  2. \(\frac{4}{9}\)
  3. \(\frac{16}{33}\)
  4. \(\frac{2}{3}\)
  5. \(\frac{10}{11}\)

วิธีทำ ข้อนี้ เป็นการหยิบบัตร 2 ใบ และหยิบทีละใบ หยิบแล้วไม่ใส่คืนนะคับ ดังนั้นจำนวนบัตรจะลงลง นั้นคือ 

\(n(S)=\binom{12}{1}\times \binom{11}{1}=12\times 11=132\)

ต่อไปโจทย์ถามหาความน่าจะเป็นบัตรที่หยิบได้ไม่ใช่บัตรอักษร A นั้นก็คือ ตัดบัตรอักษร A ทิ้งไปเลย ก็เหลือบัตรอักษร B และ C ซึ่งรวมแล้วคือมีจำนวนทั้งสิ้น 8 ใบ

ดังนั้น

จำนวนวิธีในการหยิบได้บัตรอักษรอื่นที่ไม่ใช่บัตรอักษร A ครั้งที่ 1 คือ \(\binom{8}{1}\)

จำนวนวิธีในการหยิบได้บัตรอักษรอื่นที่ไม่ใช่บัตรอักษร A ครั้งที่ 2 คือ \(\binom{7}{1}\)

ดังนั้น

\(n(E)=\binom{8}{1}\times \binom{7}{1}=8\times 7=56\)

ข้อนี้ตอบ \(P(E)=\frac{56}{132}=\frac{14}{33}\)

สามารถฝึกทำโจทย์ความน่าจะเป็นเพิ่มเติมได้ที่ลิงค์นี้ต่อได้เลยครับฝึกทำโจทย์ความน่าจะเป็น ม.5