โจทย์ความน่าจะเป็น ม.5

ความน่าจะเป็น เป็นเรื่องที่ค่อนข้างยาก แต่ถ้าเราหัดทำโจทย์บ่อยๆเราก็จะเข้าใจและทำได้ ไม่ยากนัก วันนี้

ผมจะรวบรวมโจทย์ความน่าจะเป็นที่ไม่ยากไป ไม่ง่ายไปมายกตัวอย่างให้ผู้สนใจลองอ่านทำความเข้าใจกันดูคับ

1. มีคน 10 คน ซึ่งใน 10 คนนี้ มีปารมีและภูผารวมอยู่ด้วย ถ้าจัดคน 10 คน นั่งเป็นวงกลม จงหาความน่าจะเป็นที่ปารมีและภูผาจะนั่งติดกัน

วิธีทำ  ทบทวนสูตรในการหาค่าความน่าจะเป็นก่อน   \(P(E)=\frac{n(E)}{n(S)}\)

n(S)  คือ จำนวนวิธีทั้งหมดที่จะจัดคน 10 คนนั่งเป็นวงกลม

n(E)  คือ จำนวนวิธีจัดคนนั่งเป็นวงกลมโดยที่ปารมีและภูผาจะต้องนั่งติดกัน

ดังนั้น

n(S)=(10-1)!=9!    จัดของเป็นวงกลมใช้สูตร (n-1)!

n(E)= (9-1)! 2!=8!2!  แนวคิดคือจับปารมีและภูผามัดรวมกันเป็นหนึ่งมัดเดียวกัน ฉนั้นจะเหลือสิ่งของ 9 สิ่งมาจัดเป็นวงกลมได้ (9-1)! วิธี และปารมี กับ ภูผา สามารถนำมาสลับที่กันอีกสองวิธีหรือก็คือ 2! นั่นเอง

ดังนั้นข้อนี้ตอบ

\(P(E)=\frac{8!2!}{9!}\)=\(\frac{2}{9}\)

ความน่าจะเป็นที่ปารมีและภูผาจะนั่งติดกันคือ \(\frac{2}{9}\)


2.กล่องใบหนึ่งมีบัตร 5 ใบ ซึ่งเขียนหมายเลข 1,2,3,4,5 กำกับไว้ ถ้าหยิบบัตรจากกล่องใบนี้พร้อมกัน 3 ใบ จงหาความน่าจะเป็นที่ผลรวมของแต้มบนบัตรมากกว่า 10

วิธีทำ 

n(S) คือ จำนวนวิธีทั้งหมดในการหยิบบัตร 5 ใบโดยหยิบพร้อมกันครั้งละ 3 ใบ ดังนั้น

\(n(S)=C_{5,3}=\frac{5!}{(5-3)!3!}=10\)

n(E) คือ จำนวนวิธีที่บัตร 3 ใบที่หยิบมาพร้อมกันผมรวมของหมายเลขในบัตรมากกว่า 10 ดังนั้น

n(E)={(3,4,5) ,(4,5,2)}=2

ดังนั้นข้อนี้ตอบ

\(P(E)=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}\)

ความน่าจะเป็นที่ผลรวมของแต้มมากกว่า 10 คือ \(\frac{1}{5}\)


3.นักเรียนชาย 4 คน นักเรียนหญิง 4 คน ยืนเรียงแถวหน้ากระดาน จงหาความน่าจะเป็นที่นักเรียนชายและนักเรียนหญิงจะยื้นสลับกัน

วิธีทำ 

n(S) คือ จำนวนวิธีจัดคน 8 คนยืนสลับที่กัน

n(S)=8!

n(E)  คือ จำนวนวิธีจัดคนให้ยืนโดยที่หญิง ชาย ยืนสลับกัน

n(E)=4!4!2

ดังนั้นข้อนี้ตอบ

\(P(E)=\frac{4!4!2}{8!}\)


4.กล่องใบหนึ่งมีลูกแก้วขนาดเดียวกัน 13 ลูก เป็นสีแดง 6 ลูก สีขาว 4 ลูก และสีเหลือง 3 ลูก โดยที่ลูกแก้วทุกลูกแตกต่างกัน ถ้าสุ่มหยิบลูกแก้วออกมา 3 ลูก จงหาความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกแก้วสีต่างกันทั้ง 3 ลูก

วิธีทำ

\(n(S)=\binom{13}{3}=\frac{13!}{(13-3)!3!}=286\)

\(n(E)=\binom{6}{1}\binom{4}{1}\binom{3}{1}=72\)

\(P(E)\frac{72}{286}\) 


5.ชายคนหนึ่งมีเสื้ออยู่ 5 ตัว เป็นเสื้อสีขาว 3 ตัว สีฟ้า 2 ตัว และมีกางเกงขายาว 4 ตัว เป็นกาเกงสีขาว 1 ตัว สีเทา 3 ตัว ถ้าชายคนนี้แต่งตัวออกจากบ้านโดยไม่เจาะจงแล้ว จงหาความน่าจะเป็นที่ชายคนนี้จะสวมเสื้อและกางเกงสีต่างกัน

วิธีทำ 

n(S) คือจำนวนวิธีในการแต่งตัวทั้งหมด มีเสื้อให้เลิือก 5  ตัว และมีกางเกงให้เลือก  4 ตัว ดังนั้นจำนวนวิธีในการแต่งตัวมีทั้งหมดคือ \(5\times 4 =20 \)  วิธี  อันนี้ใช้กฎการคูณในการคิด

นั่นคือ  n(S)=20

n(E) คือจำนวนวิธีที่ชายคนนี้แต่งตัวโดยเสื้อและกางเกงสีต่างกัน จะแบ่งการคิดออกเป็น 2 กรณี

กรณี 1  คือชายคนนี้แต่งตัวโดยใส่เสื้อสีขาว

เพราะฉะนั้นเขาเลือกใส่เสื้อได้ 3  วิธีแต่กางเกงเขาห้ามเป็นสีขาวฉนั้นเขาต้องใส่กางเกงเทาเลือกได้ 3 วิธีเพราะกางเกงสีเทามีสามตัว จำนวนวิธีทั้งหมดในการแต่งตัวแบบนี้คือ  \(3\times 3=9\)

กรณี 2  คือชายคนนี้แต่งตัวโดยใส่เสื้อสีฟ้า

เพราะฉะนั้นเขาเลือกใส่เสื้อได้ 2 วิธีและกางเกงเขาใส่กางเกงสีขาวก็ได้ สีเทาก็ได้ทำได้ 4 วิธีเพราะฉะนั้นจำนวนวิธีในการแต่งตัวแบบนี้คือ \( 2\times 4=8\)

ดังนั้น n(E)=9+8=17

ความน่าจะเป็นที่ชายคนนี้จะสวมเสื้อและกางเกงสีต่างกันคือ \(P(E)=\frac{17}{20}\)


6.ตะกร้าใบหนึ่งมีส้ม มังคุดและมะม่วงรวมกัน 10 ลูก โดยที่จำนวนส้มเป็นสองเท่าของจำนวนมังคุดและมีมะม่วง 1 ลูก โดยที่ผลไม้ทุกลูกแตกต่างกัน ถ้าหยิบผลไม้อย่างไม่เจาะจงจากตะกร้าใบนี้จำนวน 3 ลูก จงหาความน่าจะเป็นที่จะหยิบได้ผลไม้ชนิดละ 1 ลูก

วิธีทำ  มะม่วงมีจำนวน 1 ลูก มังคุดไม่รู้มีกี่ลูกให้มังคุดมีจำนวน x ลูก ฉะนั้นส้มมีจำนวนเป็น 2x

ผลไม้รวมกันมีจำนวน 10 ลูก จะได้ว่า 1+x+2x=10  , x=3 นั่นคือมังคุดมีจำนวน 3 ลูก ส้ม 6ลูก

จึงได้ว่า

\(n(S)=\binom{10}{3}=240\)

\(n(E)=\binom{1}{1}\binom{3}{1}\binom{6}{1}=18\)

ความน่าจะเป็นที่จะหยิบได้ผลไม้ชนิดละหนึ่งลูก คือ \(P(E)=\frac{18}{20}=\frac{3}{40}\) 


7.ถ้าความน่าจะเป็นที่นายธงชัยจะสอบผ่านวิชาคณิตศาสตร์และวิชาภาษาอังกฤษเป็น 0.6 และ 0.5 ตามลำดับ และความน่าจะเป็นที่จะผ่านอย่างน้อย 1 วิชา เป็น 0.8 จงหาความน่าจะเป็นที่นายธงชัยจะสอบผ่านทั้งสองวิชานี้

วิธีทำ ถ้าวาดแผนภาพเวน-ออยเลอร์ช่วยจะดูง่ายนะข้อนี้

ให้ x คือความน่าจะเป็นที่นายธงชัยสอบผ่านทั้งสองวิชาดังนั้นจะได้ตามรูป

โจทย์บอกว่าความน่าจะเป็นที่จะสอบผ่านอย่างน้อย 1 วิชา คือ 0.8 ความหมายของประโยคนี้คือสอบผ่านหนึ่งวิชาก็ได้หรือสอบผ่านทั้งสองวิชาก็ได้ ดังนั้นเราจึงได้ว่า

(0.6-x)+x+(0.5-x)=0.8

1.1-x=0.8

      x=0.3

นั่นก็คือความน่าจะเป็นที่นายธงชัยจะสอบผ่านทั้งสองวิชาคือ 0.3  นั่นเอง

8.มีนักเรียนกลุ่มหนึ่งจำนวน 120 คน ในจำนวนนี้พบว่ามีนักเรียนทีี่ชอบเรียนวิชาคณิตศาสตร์ 60 คน มีนักเรียนที่ชอบเรียนวิชาภาษาอังกฤษจำนวน 50 คน และมีนักเรียนที่ชอบเรียนทั้งสองวิชา 20 คน ถ้าสุ่มเลือกนักเรียนจากกลุ่มนี้มา 1 คน แล้วจงหาความน่าจะเป็นที่นักเรียนคนที่เลือกมาจะ

1) ชอบเรียนอย่างน้อย 1 วิชา

2) ไม่ชอบเรียนทั้งสองวิชา

3) ชอบเรียนคณิตศาสตร์แต่ไม่ชอบเรียนวิชาภาษาอังกฤษ

วิธีทำ วาดแผนภาพเวน-ออย์เลอร์  เหมือนข้อที่ผ่านมา จะได้

จากโจทย์จะได้ว่าชอบเรียนคณิตศาสตร์อย่างเดียว 40 คน

ชอบเรียนภาษาอังกฤษอย่างเดียว 30 คน

ชอบเรียนทั้งวิชาคณิตและอังกฤษจำนวน 20 คน

ดังนั้นมีคนที่รักในการเรียนทั้งหมด 40+30+20=90 คน แต่นักเรียนมีทั้งหมด 120 คน ดังนั้นจะได้ว่ามีนักเรียนจำนวน 120-90=30 คนที่ไม่ชอบเรียนวิชาอะไรเลยถ้าดูจากแผนภาพก็คือตัวเลขที่อยู่ข้างนอกวงกลมนั่นเอง

1)ความน่าจะเป็นที่สุ่มนักเรียนมา 1 คนแล้วชอบเรียนอย่างน้อยหนึ่งวิชาคือ

ต้องเข้าใจคำว่าชอบเรียนอย่างน้อยหนึ่งวิชาก่อนนะครับก็คือชอบเรียนหนึ่งวิชาก็ได้ชอบเรียนสองวิชาก็ได้หรือชอบเรียนทั้งสองวิชาก็ได้ นั้นคือมีจำนวน 40+30+20=90 คน นั่นเอง

ดังนั้นความน่าจะเป็นสุ่มนักเรียนมา 1 คนแล้วนักเรียนที่สุ่มเลือกมาชอบเรียนอย่างน้อย 1 วิชาเท่ากับ

\(P(E)=\frac{90}{120}=\frac{3}{4}\)

2)ความน่าจะเป็นที่สุ่มนักเรียนมา 1 คนแล้วไม่ชอบเรียนทั้งสองวิชา

คนที่ชอบเรียนทั้งสองวิชามี 20 คนนะคับ ดังนั้นข้อนี้ตอบ

\(P(E)=\frac{30}{120}=\frac{1}{4}\)

3)ความน่าจะเป็นที่สุ่มนักเรียนมา 1 คนแล้วชอบเรียนคณิตศาสตร์แต่ไม่ชอบเรียนวิชาภาษาอังกฤษ

ก็คือชอบเรียนคณิตศาสตร์อย่างเดียว \(P(E)=\frac{40}{120}=\frac{1}{3}\)

ติดต่อ 0988281419 หรือ wisanu.kkung@gmail.com