ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน เป็นค่าที่บ่งบอกถึงการกระจายของข้อมูล  ถ้าค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานหาออกมาแล้วมี

ค่ามากนั้่นหมายความว่า ข้อมูลชุดนั้นมีการกระจายกันมาก ถ้าเป็นคะแนนสอบของนักเรียนก็บ่งบอกว่านักเรียนได้คะแนนต่างกัน  แต่ถ้าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานหาออกมาแล้วมีค่าน้อย นั้นหมายความว่าข้อมูลชุดนั้นเป็นข้อมูลที่เกาะกลุ่มกันอยู่ เป็นข้อมูลที่มีค่าใกล้เคียงกัน ถ้าเป็นเป็นคะแนนสอบของนักเรียนก็แสดงว่านักเรียนได้คะแนนไล่เลี่ยกันไม่ห่างกันมาก

ผมจะยกตัวอย่างการหาค่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ให้ดูเป็นตัวอย่างน่ะครับ ไม่ยากครับ

ตัวอย่างที่ 1 คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์นักเรียนจำนวน 10 คน ของโรงเรียนแห่งหนึ่ง เป็นดังนี้

28 , 29, 30 , 32 , 34 , 36 , 37 , 38 , 38 , 38   จงหาค่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดนี้

วิธีทำ

เราใช้สัญลักษณ์แทนคำว่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน คือ S.D.  (Standard Deviation)

สูตรในการหาค่าของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานคือ

\( S.D.=\) \(     \sqrt      \frac{  \sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^{2}}{n}   \)

จากสูตรในการหา ค่า S.D. เราจะเห็น สัญลักษณ์ \(\bar{x}\) ซึ่งก็คือ ค่าเฉลี่ยเลขคณิตนั่้นเอง  ดังนั้นก่อนที่เราจะหาค่า S.D. ได้ เราต้องหาค่าเฉลี่ยให้ได้ก่อน

\( n\) คือจำนวนของข้อมูลว่ามีข้อมูลทั้งหมดกี่ตัว ในโจทย์ข้อนี้ มีข้อมูล 10 ตัว ดังนั้น \(n=10\)

\(x_i\) คือ ข้อมูลแต่ละตัว ซึ่งมี 10 ตัว นั่นคือ มี \(x_1 \) ถึง \(x_10\)

จากโจทย์จะได้ว่า

\( x_1 =28\)

\(x_2=29\)

\(x_3=30\)

\(x_4=32\)

\(x_5=34\)

\(x_6=36\)

\(x_7=37\)

\(x_8=38\)

\(x_9=38\)

\(x_{10}=38\)

ข้างบนที่ผมเขียนน่ะครับ เป็นการเขียนอธิบายสูตรน่ะครับ เผื่อบางคนอ่านแล้วไม่เข้าใจ ก็เลยเขียนอธิบาย ซะยืดยาวเลย สำหรับคนที่เข้าใจแล้ว ก็ผ่านได้ครับ แต่ผมชอบเขียนอธิบายให้อ่านยาวๆ ผมชอบเขียนยาว ๆ ซึ่งบางคนอ่านแล้วอาจจะงง ก็ผ่านไปเลย น่ะครับ ไม่ต้องอ่าน เดี๋ยวงง 555

เอาละมาสู่ขั้นตอนในการหาค่า  S.D. กันเลยดีกว่า

ขั้นแรก ต้องหาค่า \(\bar{x}\) ก่อน

\(\bar{x} = \) \(\frac{28+29+30+32+34+36+37+38+38+38}{10}\)

\(\bar{x}=34\)

จานั้นนำข้อมูลที่โจทย์ให้มา ไปเขียนลงในตาราง ผมขอเรียกตารางนี้ว่าตารางส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานแล้วกันครับ

\(x_i\)(ข้อมูลแต่ละตัว) \(x_i - \bar{x}\)(นำข้อมูลแต่ละตัวลบออกด้วยค่าเฉลี่ย) \((x_i - \bar{x})^{2}\)(นำข้อมูลในสดมภ์ที่สองมายกกำลังสอง)
\(28\) \(28-34=-6\) \((-6)^{2}=36\)
\(29\) \(29-34=-5\) \((-5)^{2}=25\)
\(30\) \(30-34=-4\) \((-4)^{2}=16\)
\(32\) \(32-34=-2\) \((-2)^{2}=4\)
\(34\) \(34-34=0\) \((0)^{2}=0\)
\(36\) \(36-34=2\) \((2)^{2}=4\)
\(37\) \(37-34=3\) \((3)^{2}=9\)
\(38\) \(38-34=4\) \((4)^{2}=16\)
\(38\) \(38-34=4\) \((4)^{2}=16\)
\(38\) \(38-34=4\) \((4)^{2}=16\)
รวม \(\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^{2}=142\)

 นำค่าในตารางส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ไปแทนใน สูตรการหาค่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน นี้

\( S.D.=\) \(     \sqrt      \frac{  \sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^{2}}{n}   \)

โดย \(\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^{2}=142\)

และ

\(n=10\)

จะได้

\( S.D.=\) \(     \sqrt      \frac{142}{10}   \)

\(S.D.=\sqrt{14.2}\)

\(S.D. \approx 3.8 \)


9.ให้ \(x_{1},x_{2},x_{3},\cdots ,x_{5}\) เป็นข้อมูลชุดหนึ่งที่มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 6 ถ้า \(\displaystyle\sum_{i=1}^{5}(x_{i}-4)^{2}=30\) จงหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดนี้

วิธีทำ เราก็หาคำตอบจากสิ่งที่โจทย์กำหนดให้นั่นแหละครับ โจทย์บอกว่าค่าเฉลี่ยเท่ากับกับ 6 นั่นก็คือ

\(\bar{X}=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{5}x_{i}}{5}=6\quad\cdots  (1)\)

จากสมการที่\((1)\) จะได้ว่า

\(\displaystyle\sum_{i=1}^{5}x_{i}=30\quad\cdots  (2)\)

และโจทย์ยังให้อันนี้เรามาอีกก็คือ \(\displaystyle\sum_{i=1}^{5}(x_{i}-4)^{2}=30\) เราเอาอันนี้มากระจายจะได้

\begin{array}{lcl}\displaystyle\sum_{i=1}^{5}(x_{i}-4)^{2}&=&30\\\displaystyle\sum_{i=1}^{5}(x_{i}^{2}-8x_{i}+16)&=&30\\\displaystyle\sum_{i=1}^{5}x_{i}^{2}-8\displaystyle\sum_{i=1}^{5}x_{i}+\displaystyle\sum_{i=1}^{5}16&=&30\\\displaystyle\sum_{i=1}^{5}x_{i}^{2}-8(30)+(16)(5)&=&30\\\displaystyle\sum_{i=1}^{5}x_{i}^{2}&=&190\end{array}

สิ่งที่เราหามาข้างบนก็เพื่อนำมาแทนค่าในสูตรของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานก็คือสูตรนี้

\[S.D.=\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{5}x_{i}^{2}}{N}-(\bar{X})^{2}}\]

ทำต่อเลยคับจะได้

\begin{array}{lcl}S.D.&=&\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{5}x_{i}^{2}}{N}-(\bar{X})^{2}}\\&=&\sqrt{\frac{190}{5}-6^{2}}\\&=&\sqrt{2}\quad\underline{Ans}\end{array}


10. ถ้า \(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{10}\) เป็นข้อมูลชุดหนึ่งซึ่ง \(\displaystyle\sum_{i=1}^{10}(x_{i}-M)^{2}\) มีค่าน้อยที่สุดเท่ากับ \(M^{2}\) เมื่อ \(M=15\)  จงหาค่าของ \(\displaystyle\sum_{i=1}^{10}(2x_{i}+5)\) และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดนี้

วิธีทำ สิ่งที่เราต้องรู้ข้อนี้ก็คือสมบัติของค่าเฉลี่ยเลขคณิตก็คือ ถ้า \(\displaystyle\sum_{i=1}^{10}(x_{i}-M)^{2}\) มีค่าน้อยที่สุดแล้ว เราจะได้ว่า \(M\) คือค่าเฉลี่ยเลขคณิต นั่นก็คือ

\[\bar{X}=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{10}x_{i}}{10}=M=15\quad\cdot (1)\]

จากสมการที่ \((1)\) เราจึงได้ว่า

\[\displaystyle\sum_{i=1}^{10}x_{i}=10\times 15=150\quad\cdots (2)\]

ต่อไปโจทย์บอกว่า \(\displaystyle\sum_{i=1}^{10}(x_{i}-M)^{2}\) มีค่าเท่ากับ \(M^{2}\) ดังนั้นจะได้สมการนี้ออกมาคือ

\begin{array}{lcl}\displaystyle\sum_{i=1}^{10}(x_{i}-M)^{2}&=&M^{2}\\\displaystyle\sum_{i=1}^{10}(x_{i}-15)^{2}&=&15^{2}\\\displaystyle\sum_{i=1}^{10}(x_{i}^{2}-30x_{i}+225)&=&225\\\displaystyle\sum_{i=1}^{10}x_{i}^{2}-30\displaystyle\sum_{i=1}^{10}x_{i}+\displaystyle\sum_{i=1}^{10}225&=&225\\\displaystyle\sum_{i=1}^{10}x_{i}^{2}-30(150)+(225)(10)&=&225\\\displaystyle\sum_{i=1}^{10}x_{i}^{2}&=&2475\end{array}

ตอนนี้เราได้ค่าต่างๆที่คำนวณมา ดังต่อไปนี้

\(\displaystyle\sum_{i=1}^{10}x_{i}=150\)

\(\displaystyle\sum_{i=1}^{10}x_{i}^{2}=2475\)

\(\bar{X}=15\) 

เรานำค่าที่เราได้มานี้มาคำนวณหาคำตอบกันเลยครับจะได้ดังนี้

\begin{array}{lcl}\displaystyle\sum_{i=1}^{10}(2x_{i}+5)&=&2\displaystyle\sum_{i=1}^{10}x_{i}+\displaystyle\sum_{i=1}^{10}5\\&=&2(150)+(5)(10)\\&=&300+50\\&=&350\quad\underline{Ans}\end{array}

ต่อไปหา ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

\begin{array}{lcl}S.D.&=&\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{10}x_{i}^{2}}{N}-(\bar{X})^{2}}\\&=&\sqrt{\frac{2475}{10}-15^{2}}\\&=&\sqrt{22.5}\quad\underline{Ans}\end{array}


11. ค่าเฉลี่ยเลขคณิตและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูล \(x_{1},x_{2},x_{3}\) เป็น 8 และ 3 ตามลำดับ ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูล \(x_{4},x_{5},x_{6}\) เป็น 10 และ \(\displaystyle\sum_{i=1}^{6}x_{i}^{2}=567\)  จงหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูล \(x_{4},x_{5},x_{6}\)

วิธีทำ ข้อนี้เริ่มทำที่โจทย์บอกว่า ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูล \(x_{1},x_{2},x_{3}\) มีค่าเท่ากับ 3  เราจะได้ดังนี้คือ

\begin{array}{lcl}S.D.&=&\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{3}x_{i}^{2}}{N}-(\bar{X})^{2}}\\3&=&\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{3}x_{i}^{2}}{3}-(8)^{2}}\\9&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{3}x_{i}^{2}}{3}-64\\\displaystyle\sum_{i=1}^{3}x_{i}^{2}&=&219\quad\cdots (1)\end{array}

และโจทย์บอกอีกว่า \(\displaystyle\sum_{i=1}^{6}x_{i}^{2}=567\) จะได้ว่า

\begin{array}{lcl}\displaystyle\sum_{i=4}^{6}x_{i}^{2}&=&\displaystyle\sum_{i=1}^{6}x_{i}^{2}-\displaystyle\sum_{i=1}^{3}x_{i}^{2}\\&=&567-219\\&=&384\quad\cdots (2)\end{array}

จากสมการที่ \((1),(2)\) เราสามารถนำไปหาคำตอบได้แล้ว ก็คือ โจทย์ให้หาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูล \(x_{4},x_{5},x_{6}\) จะได้ว่า

\begin{array}{lcl}S.D.&=&\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=4}^{6}x_{i}^{2}}{N}-(\bar{X})^{2}}\\&=&\sqrt{\frac{384}{3}-10^{2}}\\&=&\sqrt{28}\quad\underline{Ans}\end{array}


12.ในการสอบสัมภาษณ์นักเรียน 3 คน ปรากฎว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนเท่ากับ 53  มัธยฐานเท่ากับ 50 และพิสัยเท่ากับ 21 ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยในการสอบครั้งนี้เป็นเท่าใด

วิธีทำ กำหนดให้ \(x_{1},x_{2},x_{3}\) เป็นข้อมูลที่เรียงจากน้อยไปหามาก ดังนั้นจึงได้ว่า \(x_{2}=50\)

และโจทย์บอกว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 53 จึงได้ว่า

\begin{array}{lcl}\frac{x_{1}+50+x_{3}}{3}&=&53\\x_{1}+x_{3}&=&159-50\\x_{1}+x_{3}&=&109\quad\cdots (1)\end{array}

และโจทย์ยังบอกอีกว่าพิสัยเท่ากับ 21 จึงได้ว่า

\(x_{3}-x_{1}=21\quad\cdots (2)\)

ต่อไปเพื่อจะหาค่าของ \(x_{1}\) กับ \(x_{3}\) ต้องเอาสมการที่ \((1)+(2)\) จะได้ว่า

\begin{array}{lcl}(x_{1}+x_{3})+(x_{3}-x_{1})&=&109+21\\x_{3}&=&65\end{array}

และแทนค่า \(x_{3}=65\) ในสมการที่ \((2)\) จะได้ว่า \(x_{1}=44\)

ต่อไปเราต้องหาค่าพวกนี้ก่อน \(|x_{i}-\bar{X}|\) จะได้ว่า

\(|44-53|=9\)

\(|50-53|=3\)

\(|65-53|=12\)

ดังนั้น \(\displaystyle\sum_{i=1}^{3}|x_{i}-\bar{X}|=9+3+12=24\)

ต่อไปหาค่าส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยเลยคับผม

\begin{array}{lcl}M.D.&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{3}|x_{i}-\bar{X}|}{N}\\&=&\frac{9+3+12}{3}\\&=&8\quad\underline{Ans}\end{array}


13. ข้อมูลชุดหนึ่งมี N ตัว มี 1 อยู่ \(X\%\) นอกนั้นเป็น \(0\) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดนี้เท่ากับเท่าใด

วิธีทำ  การทำข้อนี้เดี๋ยวผมจะยกตัวอย่างให้ดูแบบนี้นะคับ สมมติผมมีข้อมูลแบบนี้คือ

\(1,1,1,1,0,0,0,0,0,0\)

จากข้อมูลที่กำหนดให้จะเห็นว่ามีข้อมูล 1 อยู่ \(40\%\)  และได้ว่า

\(\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{10}x_{i}^{2}}{N}=\frac{4}{10}=\frac{40}{100}\)

\(\bar{X}=\frac{4}{10}=\frac{40}{100}\)

ดังนั้นเราจะได้ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลนี้เท่ากับ

\begin{array}{lcl}S.D.&=&\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{10}x_{i}^{2}}{N}-(\bar{X})^{2}}\\&=&\sqrt{\frac{40}{100}-(\frac{40}{100})^{2}}\end{array}

พอเห็นตัวอย่างข้างบนนี้หลายคนน่าจะมองเห็นวิธีการตอบของข้อนี้แล้วนะคับ ว่าจะตอบอย่างไร

ดังนั้นข้อนี้เขาบอกว่ามีข้อมูล 1 อยู่ \(X\%\) จึงทำให้ได้ว่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดนี้เท่ากับ

\begin{array}{lcl}S.D.&=&\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}x_{i}^{2}}{N}-(\bar{X})^{2}}\\&=&\sqrt{\frac{X}{100}-(\frac{X}{100})^{2}}\end{array}

เขียนมาซะยืดยาว เป็นยังไงบ้างครับ อ่านแล้วเข้าใจกันหรือเปล่า ครับ ไม่เข่้าใจยังไงก็คอมเมนต์ได้น่ะครับ เดียวจะพยายามปรับวิธีการเขียนให้ดีขึ้นกว่าเดิมครับ

สามารถทำโจทย์ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเพิ่มเติมตามลิงค์นี้ครับ

โจทย์ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

การหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานความแปรปรวนเมื่ออ่านข้อมูลผิด

โจทย์ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ความแปรปรวน ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลที่ไม่แจกแจงความถี่

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวอย่างที่แจกแจงความถี่

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากรที่แจกแจงความถี่

แบบฝึกหัดเกี่ยวกับการหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

แบบฝึกหัดการหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานและความแปรปรวนเมื่อมีการอ่านข้อมูลผิดพลาด

แบบฝึกหัดเรื่องส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน