ทศนิยมที่ไม่ใช่ทศนิยมซ้ำเราสามารถแปลงเป็นเศษส่วนได้ ตัวอย่าง เช่น
\(0.5=\frac{5}{10} \)
\(0.38=\frac{38}{100} \)
\(1.4=\frac{14}{10} \)
ในทำนองเดียวกันถ้าเรามีทศนิยมซ้ำเราก็สามารถที่จะแปลงเป็นเศษส่วนได้เช่นเดียวกัน ซึ่งมีวิธีการแปลงดังต่อไปนี้
ตัวอย่างที่ 1 จงแปลง \(0.\dot{4}\dot{7} \) ให้อยู่ในรูปเศษส่วน
วิธีทำ ให้ \(N=0.\dot{4}\dot{7} \)
ดังนั้น \(N=0.474747... \quad (1)\)
นำ \(100\) คูณทั้งสองข้างของสมการ \((1)\) จะได้
\(100N=47.474747 \quad(2)\)
นำสมการ \( (2) \) ลบด้วยสมการ \((1)\) จะได้
\(100N-N=(47.474747...)-(0.474747...)\)
\( 99N = 47 \)
\(N=\frac{47}{99}\)
นั่นคือ \(0.\dot{4}\dot{7} \) สามารถเขียนเป็นเศษส่วนได้คือ \(\frac{47}{99}\)
ตัวอย่างที่ 2 จงแปลง \(0.5\dot{6} \) ให้อยู่ในรูปเศษส่วน
วิธีทำ ให้ \(N=0.5\dot{6} \)
ดังนั้น \(N=0.56666...\quad(1)\)
นำ \(10\) คูณเข้าทั้งสองข้างของสมการ \((1)\) จะได้
\(10N=5.6666...\quad (2)\)
นำ \(100\) คูณทั้งสองข้างของสมการ \((1)\) จะได้
\(100N=56.6666...\quad (3)\)
นำสมการ \((3)\) ลบด้วยสมการ \((2)\) จะได้
\(100N-10N=(56.6666)-(5.6666)\)
\(90N=51\)
\(N=\frac{51}{90}\)
\(=\frac{17}{30}\)
นั่นคือ \(0.5\dot{6}=\frac{17}{30} \)
ตัวอย่างที่ 3 จงแปลง \(0.4\dot{5}\dot{7}\) ให้อยู่ในรูปเศษส่วน
วิธีทำ ให้ \(N=0.4\dot{5}\dot{7}\)
ดังนั้น \(N=0.4575757...\quad (1)\)
นำ \(10\) คูณเข้าทั้งสองข้างของสมการ \((1)\) จะได้
\(10N=4.575757...\quad (2)\)
นำ \(1,000\) คูณเข้าทั้งสองข้างของสมการ \((1)\) จะได้
\(1,000N=457.575757...\quad (3)\)
นำสมการ \((3)\) ลบด้วยสมการ \((2)\) จะได้
\(1,000N-10N=(457.575757...)-(4.575757)\)
\(990N=453\)
\(N=\frac{453}{990}\)
\(=\frac{151}{330}\)
นั่นคือ \(0.4\dot{5}\dot{7}=\frac{151}{330}\)
จากตัวอย่างที่กล่าวมาข้างต้นน่ะครับ สามารถสรุปเป็นหลักการง่ายๆในการแปลงทศนิยมซ้ำเป็นเศษส่วนได้ด้งนี้ครับ
กรณีที่ 1 ถ้าเป็นทศนิยมที่ซ้ำทั้งหมด อาจจะซ้ำตัวเดียวหรือหลายตัว (พูดง่ายๆก็คือไม่มีตัวที่ไม่ซ้ำเลย) ยกตัวอย่างเช่น
\(0.\dot{7}\) ซ้ำตัวเดียว
\(0.\dot{5}\dot{4}\) ซ้ำสองตัว
\(0.\dot{2}8\dot{9}\) ซ้ำสามตัว
ถ้าทศนิยมซ้ำอยู่ในรูปแบบนี้ สามารถแปลงเป็นเศษส่วนได้ดังนี้ คือ ให้นำตัวเลขในตำแหน่งทศนิยมซ้ำหารด้วย \(9\) โดยจำนวนของเลข \(9\) เท่ากับตำแหน่งของการซ้ำของทศนิยม ตัวอย่างเช่น
\(0.\dot{4}5\dot{3}=\frac{453}{999}\) ต้องมีเลข \(9\) สามตัวเพราะซ้ำสามตำแหน่ง
\(0.\dot{7}=\frac{7}{9}\) มีเลข \(9\) ตัวเดียวเพราะซ้ำหนึ่งตำแหน่ง
\(0.\dot{5}\dot{4}=\frac{54}{99}\) มีเลข \(9\) สองตัวเพราะซ้ำสองตำแหน่ง
\(0.\dot{2}8\dot{9}=\frac{289}{999}\) มีเลข \(9\) สามตัวเพราะซ้ำสามตำแหน่ง
กรณีที่ 2 ถ้าเป็นทศนิยมซ้ำไม่ทุกตำแหน่ง ให้นำตัวเลขในตำแหน่งทศนิยมทั้งที่ซ้ำและไม่ซ้ำลบด้วยตัวเลขทศนิยมในตำแหน่งที่ไม่ซ้ำ หารด้วย \(9\) โดยจำนวนของเลข \(9\) เท่ากับตำแหน่งของทศนิยมซ้ำและเติม \(0\) เป็นจำนวนเท่ากับตำแหน่งของทศนิยมที่ไม่ซ้ำ เช่น
\(0.45\dot{5}\dot{6}=\frac{4556-45}{9900}\)
\(0.5\dot{6}=\frac{56-5}{90}\)
\(0.444\dot{5}=\frac{4445-444}{9000}\)
\(0.4\dot{5}\dot{7}=\frac{457-4}{990}\)
เทคนิค สำหรับการเปลี่ยนทศนิยมซ้ำเป็นเศษส่วน
ข้างบนเป็นสูตรลัด เทคนิคในการทำทศนิยมซ้ำให้เป็นเศษส่วน ลองๆอ่านดูเข้าใจไม่ยาก เดี่ยวผมจะเพิ่มตัวอย่างให้อ่านอีก เพื่อความหลากหลาย
1. จงเปลี่ยนทศนิยมซ้ำให้เป็นเศษส่วน
1) \(12.\dot{5}\)
วิธีทำ
\begin{array}{lcl}12.\dot{5}&=&\frac{125-12}{9}\\&=&\frac{113}{9}\end{array}
2) \(16.1\dot{5}\)
วิธีทำ
\begin{array}{lcl}16.1\dot{5}&=&\frac{1615-161}{90}\\&=&\frac{1454}{90}\end{array}
3) \(2.78\dot{1}\)
วิธีทำ
\begin{array}{lcl}2.78\dot{1}&=&\frac{2781-278}{900}\\&=&\frac{2503}{900}\end{array}
4) \(4.\dot{4}\dot{3}\)
วิธีทำ
\begin{array}{lcl}4.\dot{4}\dot{3}&=&\frac{443-4}{99}\\&=&\frac{439}{99}\end{array}
5) \(4.5\dot{4}\dot{3}\)
วิธีทำ
\begin{array}{lcl}4.5\dot{4}\dot{3}&=&\frac{4543-45}{990}\\&=&\frac{4498}{990}\end{array}
6) \(2.89\dot{2}\dot{1}\)
วิธีทำ
\begin{array}{lcl}2.89\dot{2}\dot{1}&=&\frac{28921-289}{9900}\\&=&\frac{28632}{9900}\end{array}
7) \(3.\dot{4}5\dot{6}\)
วิธีทำ
\begin{array}{lcl}3.\dot{4}5\dot{6}&=&\frac{3456-3}{999}\\&=&\frac{3453}{999}\end{array}
8) \(34.5\dot{3}5\dot{8}\)
วิธีทำ
\begin{array}{lcl}34.5\dot{3}5\dot{8}&=&\frac{345358-345}{9990}\\&=&\frac{345013}{9990}\end{array}