• ฝึกทำโจทย์คณิตศาสตร์ (83)

    83. ค่าของ \(\cot^{2}\frac{\pi}{6}-2\cos^{2}\frac{\pi}{3}-\frac{1}{2}cosec^{2}\frac{\pi}{4}+\frac{4}{3}\cos^{2}\frac{\pi}{6}\) เท่ากับข้อใด

    1. \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
    2. \(\frac{5}{2}\)
    3. \(2\)
    4. \(-\frac{1}{2}\)
    5. \(-\frac{3}{2}\)

    วิธีทำ ข้อนี้ไม่ยากหาตรงๆได้เลย

    \(\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}\) ดังนั้น \(\cos^{2}\frac{\pi}{6}=(\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}=\frac{3}{4}\)

    \(cosec \frac{\pi}{4}=\frac{1}{\sin\frac{\pi}{4}}=\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}\) ดังนั้น \(cosec^{2}\frac{\pi}{4}=(\frac{2}{\sqrt{2}})^{2}=\frac{4}{2}=2\)

    \(\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}\) ดังนั้น \(\cos^{2}\frac{\pi}{3}=(\frac{1}{2})^{2}=\frac{1}{4}\)

    \(\cot\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{\frac{1}{2}}=\sqrt{3}\) ดังนั้น \(\cot^{2}\frac{\pi}{3}=(\sqrt{3})^{2}=3\)

    เมื่อเราหาค่าของฟังก์ชันตรีโกณได้หมดแล้วก็เอาไปแทนในโจทย์ เพื่อบวก ลบ คูณ หารกันเลยคับ

    \begin{array}{lcl}\cot^{2}\frac{\pi}{6}-2\cos^{2}\frac{\pi}{3}-\frac{1}{2}cosec^{2}\frac{\pi}{4}+\frac{4}{3}\cos^{2}\frac{\pi}{6}&=&3-2(\frac{1}{4})-\frac{1}{2}(2)+\frac{4}{3}(\frac{3}{4})\\&=&3-\frac{1}{2}-1+1\\&=&\frac{5}{2}\quad\underline{Ans}\end{array}

  • ฝึกทำโจทย์คณิตศาสตร์ (85)

    85. ค่าของ \(\frac{(\sin\theta-\cos\theta)^{2}-1}{\tan\theta-\sin\theta\cos\theta}\) ตรงกับข้อใดต่อไปนี้

    1. \(\cot\theta\)
    2. \(2\cot\theta\)
    3. \(2\)
    4. \(\frac{1}{\tan^{2}\theta}\)
    5. \(2\cot^{2}\theta\)

    วิธีทำ ข้อนี้สิ่งที่ต้องรู่คือ

    \(\sin^{2}\theta +\cos^{2}\theta =1\) ดังนั้น \(sin^{2}\theta =1-\cos^{2}\theta\)

    \(\cot\theta=\frac{\cos\theta}{\sin\theta}\)  

    \(\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\)

    เอาละมาเริ่มทำกันเลย

    \begin{array}{lcl}\frac{(\sin\theta + \cos\theta )^{2}-1}{\tan\theta -\sin\theta\cos\theta}&=&\frac{\sin^{2}+2\sin\theta\cos\theta +\cos^{2}\theta -1}{\tan\theta -\sin\theta\cos\theta}\\&=&\frac{2\sin\theta\cos\theta +\sin^{2}\theta +\cos^{2}\theta  - 1}{\tan\theta -\sin\theta\cos\theta}\\&=&\frac{2\sin\theta\cos\theta +1-1}{\tan\theta -\sin\theta\cos\theta}\\&=&\frac{2\sin\theta\cos\theta}{\tan\theta -\sin\theta\cos\theta}\\&=&\color{red}{\frac{\cos\theta}{\cos\theta}}\times \frac{2\sin\theta\cos\theta}{tan\theta -\sin\theta\cos\theta}\\&=&\frac{2\sin\theta\cos^{2}\theta}{\sin\theta-\sin\theta\cos^{2}\theta}\\&=&\frac{\sin\theta(2\cos^{2}\theta)}{\sin\theta(1-\cos^{2}\theta)}\\&=&\frac{2\cos^{2}\theta}{1-\cos^{2}\theta}\\&=&\frac{2\cos^{2}\theta}{\sin^{2}\theta}\\&=&2\cot^{2}\theta\quad\underline{Ans}\end{array}

  • รวมสูตรตรีโกณมิติ

    สูตรตรีโกณมิติของผลบวก ผลต่าง ของมุม

    1. \(sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB\)

    2.\(sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB\)

    3.\(cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB\)

    4.\(cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB\)

    5.\(tan(A+B)=\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}\)

    6.\(tan(A-B)=\frac{tanA-tanB}{1+tanAtanB}\)

    7.\(cot(A+B)=\frac{cotBcotA-1}{cotB+cotA}\)

    8.\(cot(A-B)=\frac{cotBcotA+1}{cotB-cotA}\)

    สูตรมุมสองเท่า

    \begin{array}{lcl}1.\quad sin2A&=&2sinAcosA\\&=&\frac{2tanA}{1+tan^{2}A}\end{array}

    \begin{array}{lcl}2.\quad cos2A&=&cos^{2}A-sin^{2}A\\&=&2cos^{2}A-1\\&=&2cos^{2}A-1\\&=&1-2sin^{2}A\\&=&\frac{1-tan^{2}A}{1+tan^{2}A}\end{array}

    \begin{array}{lcl}3.\quad tan2A&=&\frac{2tanA}{1-tan^{2}A}\end{array}

    \begin{array}{lcl}4.\quad cot2A&=&\frac{cot^{2}A-1}{2cotA}\end{array}

    สูตรมุมสามเท่า

    1.\(sin3A=3sinA-4sin^{3}A\)

    2.\(cos3A=4cos^{3}A-3cosA\)

    3.\(tan3A=\frac{3tanA-tan^{3}A}{1-3tan^{2}A}\)

    สูตรมุมครึ่งเท่า

    1. \(sin\frac{A}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-cosA}{2}}\)

    2.\(cos\frac{A}{2}=\pm\sqrt{\frac{1+cosA}{2}}\)

    3.\(\tan\frac{A}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-cosA}{1+cosA}}\)

    สูตรการเปลี่ยนจากผลบวกหรือผลต่าง เป็นผลคูณ

    1.\(sinA+sinB=2sin\frac{A+B}{2}cos\frac{A-B}{2}\)

    2.\(sinA-sinA=2cos\frac{A+B}{2}sin\frac{A-B}{2}\)

    3.\(cosA+cosB=2cos\frac{A+B}{2}cos\frac{A-B}{2}\)

    4.\(cosA-cosB=-2sin\frac{A+B}{2}sin\frac{A-B}{2}\)

    กฎของไซน์

    ในรูปสามเหลี่ยม ABC ใดๆ ถ้า a,b และ c เป็นความยาวของด้านตรงข้ามมุม A,B และ C  ตามลำดับจะได้

    \[\frac{sinA}{a}=\frac{sinB}{b}=\frac{sinC}{c}\]

    กฎของโคไซน์

    ในรูปสามเหลี่ยม ABC ใดๆ ถ้า a,b และ c เป็นความยาวของด้านตรงข้ามมุม A,B และ C  ตามลำดับจะได้

    \(a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cdot cosA\)

    \(b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cdot cosB\)

    \(c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cdot cosC\)

    สูตร co-function

    กำหนดให้มุม \(A+B=90^{\circ}\) จะได้ co-function ที่เท่ากันคือ

    1. \(sinA=cosB\) เช่น 

    • \(sin30^{\circ}=cos60^{\circ}\) เห็นไหม \((60^{\circ}+30^{\circ}=90^{\circ})\)
    • \(sin20^{\circ}=cos70^{\circ}\)

    2. \(secA=cosecB\) เช่น

    \(sec30^{\circ}=cosec60^{\circ}\)

    3. \(tanA=cotB\) เช่น

    \(tan0^{\circ}=cot90^{\circ}\)