สับเซต(subset)  ถ้าเราดูตามศัพท์ในภาษาอังกฤษ คำว่า sub ก็คือส่วนย่อย ส่วนเล็กๆ หน่วยย่อย ดังนั้น subset ก็คือเซตที่เป็นเซตย่อยๆของอีกเซตหนึ่งนั่นเอง แต่ที่นี้เรามาดูนิยามในทางคณิตศาสตร์บ้างว่า subset มันคืออะไร

นิยาม เซต A เป็นสับเซตของเซต B ก็ต่อเมื่อสมาชิกทุกตัวของ A เป็นสมาชิกของเซต B เขียนแทนด้วย  \(A\subset B\)

มาดูตัวอย่างกันเลยดีกว่า

ตัวอย่าง ให้ \(A=\{2,3,\}\) และ \(B=\{2,3,4\}\) เซต A เป็นสับเซตของเซต B หรือไม่

วิธีทำ จะเห็นว่าสมาชิกทุกตัวของเซต A เป็นสมาชิกของเซต B ดังนั้นจะได้ว่า \(A\subset B\)

แต่สมาชิกบางตัวของ B ไม่ได้เป็นสมาชิกของ A เราจะได้อีกว่า \(B\nsubseteq A\)

(เซตB ไม่เป็นสับเซตของเซต A)

---

ตัวอย่าง  ให้ \(A=\{\{1,2\},3,4\}\)  และ \( B=\{1,2,3,4\}  \)  เซต A เป็นสับเซตของเซต B หรือไม่

วิธีทำ  จะเห็นว่าสมาชิกของเซต A ได้แก่

\(\{1,2\} \in  A\)

\(3\in A\)

\(4\in A\)

สมาชิกของเซต B ได้แก่

\(1\in B\)

\(2\in B\)

\(3\in B\)

\(4\in B\)

ซึ่งจะเห็นว่ามีสมาชิกบางตัวของเซต A คือ \(\{1,2\}\) ไม่เป็นสมาชิกของ B

ดังนั้น \(A\nsubseteq B\)

---

ตัวอย่าง ให้ \(C=\{1,2,3\}\) จงหาสับเซตทั้งหมดของเซต C

วิธีทำ จะเห็นได้ว่า

เซตที่มีสมาชิก 1 ตัวและเป็นสับเซตของ C ได้แก่

\(\{1\} \subset C\)

\(\{2\} \subset C\)

\(\{3\} \subset C\)

เซตที่มีสมาชิก 2 ตัวและเป็นสับเซตของ C ได้แก่

\(\{1,2\} \subset C\)

\(\{1,3\} \subset C\)

\(\{2,3\} \subset C\)

เซตที่มีสมาชิก 3 ตัวและเป็นสับเซตของ C ได้แก่

\(\{1,2,3\} \subset C\)

อีกเซตหนึ่งที่ีเป็นสับเซตของทุกเซตเลยก็คือ เซตว่าง

\(\phi \subset C\)

ดังนั้นสับเซตทั้งหมดของ C คือ \(\phi ,\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\},\{1,2,3\}\)

*** จำเอาไปใช้ได้เลยนะครับเซตว่างเป็นสับเซตของทุกเซต

ดังนั้นจากข้อนี้ เซต C มีสับเซตทั้งหมดจำนวน 8 ตัว

วิธีการง่ายๆในการหาจำนวนสับเซตทั้งหมดของเซตใดๆคือใช้สูตร \(2^{n}\)

เมื่อ n คือจำนวนสมาชิกของเซตที่เราต้องการหาสับเซต  อย่างเช่นในข้อนี้

C  มีจำนวนสมาชิกทั้งหมด 3  ตัว ดังนั้นจำนวนสับเซตทั้งหมดของ C คือ \(2^{3}=8\)  ตัว

ข้อควรทราบ

1. เซตว่างเป็นสับเซตของทุกเซต \(\phi \subset A\)

2. เซตทุกเซตเป็นสับเซตของตัวเอง    \(A\subset A\)

3. เซตที่มีสมาชิก n ตัว จะมีสับเซตทั้งสิ้น \(2^{n}\)  ตัว

ตัวอย่าง กำหนด \(D=\{a,b,c\}\)

ข้อต่อไปนี้ข้อใดถูกข้อใดผิด

1) \(a \in D\)   ข้อนี้ถูกครับ เพราะสมาชิกของ D มีสามตัวคือ \(a,b,c\)

2) \(\{c\} \in D\)  ข้อนี้ผิดครับ  เพราะ \( \{c\}\subset D\) เป็นสับเซตไม่ใช่สมาชิก

3) \(b \notin D\)  ข้อนี้ผิด เพราะ b เป็นสมาชิกของเซต D

4) \(\{a\}\subset D\)  ข้อนี้ถูก

5) \(\{a\} \in D\)  ข้อนี้ผิด ถ้าจะให้ถูกต้องบอกว่า \(a \in D\)  ต้องไม่มีปีกกา

6) \(\{a,b,c\} \subset D\)  ข้อนี้ถูก

7) \(\{a,c\} \subset D\)  ข้อนี้ก็ถูก

ตัวอย่าง กำหนดให้ \(E=\{\{1\},2,3,\{4,5\}\}\)

ข้อต่อไปนี้ข้อใดถูก และข้อใดผิด

1) \(\{1\}\subset E\)  ข้อนี้ผิด ถ้าจะให้ถูกต้องบอกว่า \(\{\{1\}\}\subset E\)

2) \(\{\{4\}\}\subset E\)  ข้อนี้ผิดครับ

3)\(2\in E\)  ข้อนี้ถูก

4) \(\{4\}\in E\) ข้อนี้ผิด

5)\(\{1\} \in E\) ถูกต้องครับข้อนี้

6) \(\{\{1\}\} \subset E\) ข้อนี้ถูก

7)\( \{4,5\}\in E\)  ข้อนี้ถูก

8) \(\{2,3\}\in E\)  ข้อนี้ผิด  ถ้าจะให้ถูกต้องบอกว่า \(2,3 \in E\)

9) \( 3 \in E\)  ข้อนี้ถูก