ฟังก์ชัน หรือ ภาษาอังกฤษใช้คำว่า Function คำว่าฟังก์ชันนั้นเชื่อว่านักเรียนทุกคนที่เรียนในระบบ หรือนอกระบบถ้าได้เรียนคณิตศาสตร์คงเคยได้ยินคำนี้ คำว่าฟังก์ชัน หลายคนอาจจะยังไม่เข้าใจความหมายของฟังก์ชันอย่างแท้จริง มันนี้ผมจะอธิบายคำว่าฟังก์ชัน ให้ทุกคนได้เข้าใจ โดยใช้ภาษาแบบบ้านๆ ส่วนภาษาในทางคณิตศาสตร์นั้นทุกคนคงได้ยินได้ฟังมามากแล้ว วันนี้ขออธิบายความหมายของฟังก์ชันแบบ บ้านๆแล้วกันครับ

จุดกำเนิดของฟังก์ชัน มาจากความสัมพันธ์  สมมติ ผมมีความสัมพันธ์ 2  แบบ  

แบบที่ 1 ให้ชื่อว่าความสัมพันธ์ r ซึ่งผมกำหนดให้  \(r=\{(1,2),(3,4),(5,6),(7,8)\}\)

แบบที่ 2  ให้ชื่อว่าความสันพันธ์ s ซึ่งกำหนดใด้ \(s=\{(1,2),(1,3),(4,5),(6,7)\}\)

ดูรูปประกอบ

                                    แบบที่ 1

                                     แบบที่ 2

จากรูปความสัมพันธ์  แบบที่ 1 สมาชิกของโดเมนทุกตัวจับคู่กับสมาชิกในเรนจ์เพียงแค่ตัวเดียว ความสัมพันธ์แบบนี้เรียกว่า  ฟังก์ชัน จำไว้เลย

แต่

ความสัมพันธ์ แบบที่ 2 มีสมาชิกของโดเมนบางตัวคือ 1 ไปจับคู่กับสมาชิกในเรนจ์เกินหนึ่งตัว ความสัมพันธ์แบบที่ 2 นี้เป็นได้แค่ความสัมพันธ์แต่ไม่ใช่ฟังก์ชัน

นี่คือความหมายของฟังก์ชันแบบบ้านๆ ง่ายๆ ดูที่คู่อันดับของความสัมพันธ์ถ้าโดเมนมันไปจับคู่เกินหนึ่งตัวในเรนจ์ความสัมพันธ์นั้นจะไม่เป็นฟังก์ชัน นะ

ตัวอย่าง 1  ความสัมพันธ์ต่อไปนี้เป็นฟังก์ชันหรือไม่

1) \(\{(1,2),(2,3),(3,4),(4,5)\}\)

เป็นฟังก์ชันเพราะสมาชิกในโดเมนจับคู่กับเรนจ์เพียงตัวเดียวพูดง่ายๆคือสมาชิกในโดเมนไม่ซ้ำกัน

2) \(\{(1,a),(2,b),(3,c),(4,d)\}\)

เป็นฟังก์ชัน

3) \(\{(1,a),(2,a),(3,a),(4,a),(5,a)\}\)

เป็นฟังก์ชัน ถึงแม้ว่าสมาชิกในเรนจ์ซ้ำกัน แต่โดเมนห้ามซ้ำกันก็พอ

4) \(\{(1,2),(2,4),(3,6),(1,8)\}\)

ไม่เป็นฟังก์ชันเพราะมีสมาชิกในโดเมนซ้ำกันคือ 1

5) \(\{(2,3),(2,4),(2,5)\}\)

ข้อนี้ไม่เป็นฟังก์ชันชัดเจนเลย สมาชิกในโดเมนซ้ำกันสุดๆ

6) \(\{(x,y)\in A \times A |y=x^{2}\} \)

โดยที่ \(\quad\) \(A=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}\)

ข้อนี้ดูเงื่อนไขดีๆนะ เอา x มายกกำลังสองแล้วได้ค่า y   ฉะนั้นจะได้คู่อันดับ (-1,1) เพราะ \((-1)^{2}=1\)

(0,0)  เพราะ \(0^{2}=0\)  

(1,1)  เพราะ \(1^{2}=1\)

ดังนั้นเซตนี้ถ้าเขียนแบบแจกแจงสมาชิกก็จะได้

\(\{(-1,1),(0,0),(1,1) \}\)

นั่นคือ เห็นชัดเจนว่าเป็นฟังก์ชัน

7) \(\{(x,y) \in A \times A |x+y=6 \}\)

โดยที่ \(\quad\) \(A=\{1,2,3,4,5\}\)

ข้อนี้มาดูเงื่อนไขคือ บวกกันแล้วได้ 6 ก็จะมี \(\quad\) \( (1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)\)

ดังนั้นเซตนี้ถ้าเขียนแบบแจกแจงสมาชิกก็จะได้

\(\{(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)\}\)

นั่นคือ เห็นชัดเจนว่าเป็นฟังก์ชัน

8) \(\{(x,y)\in A\times A|x=y^{2}\};A=\{-2,-1,0,1,2\}\)

ข้อนี้มาดูเงื่อนไข วายกำลังสองแล้วได้เอ็กซ์ ก็จะมีคู่อันดับ (1,-1)  เพราะ \((-1)^{2}=1\)

(1,1)  เพราะ  \(1^{2}=1\)

(0,0)  เพราะ \(0^{2}=0\)

ดังนั้นเซตนี้ถ้าเขียนแบบแจกแจงสมาชิกก็จะได้

\(\{(1,-1) ,(1,1) ,(0,0)\}\) \(\quad\) จะเห็นว่ามีโดเมนคือเลข 1 ซ้ำกัน

นั่นคือ ความสัมพันธ์นี้ไม่เป็นฟังก์ชัน