บนเส้นจำนวน ถ้าจุด \(P_{1}\)   แทนจำนวนจริง \(x_{1}\)  และจุด  \(P_{2}\) แทนจำนวนจริง \(x_{2}\)  ระยะทางระหว่างจุด \(P_{1}\)   และ  \(P_{2}\)  คือค่าสัมบูณร์ของ \(x_{1}-x_{2}\) เขียนแทนด้วย  \(P_{1}P_{2}\)    หรือ 

\(|P_{1}P_{1}|\)

นั่นคือ

\(P_{1}P_{2}=|\overline{P_{1}P_{2}}|=|x_{1}-x_{2}|\)

บนระบบพิกัดฉาก  ถ้าจุด \((P_{1}(x_{1},y_{1})\) และ \(P_{2}(x_{2},y_{2})\) เป็นจุดใดๆ ที่

\(\overline{P_{1}P_{2}}\) ขนานกับแกน X  หรือขนานกับแกน  Y   จะได้ว่า

\(1)\quad P_{1}P_{2}=|x_{1}-x_{2}|\)    (ขนานกับแกน X)

\(2) \quad P_{1}P_{2}=|y_{1}-y_{2}|\)    (ขนานกับแกน  Y)

หรือสรุปเป็นทฤษฎีทั่วๆไปคือ

ทฤษฎีบท  ถ้า \(P_{1}(x_{1},y_{1}) \)   และ  \(P_{2}(x_{2},y_{2})\)  เป็นจุดบนระนาบ ระยะทางระหว่างจุด

\(P_{1}  และ P_{2} \)  เท่ากับ \(\sqrt{(x_{1}-x_{2})^{2} + (y_{1}-y_{2})^{2}}\)   หน่วย

มาดูตัวอย่างการทำแบบฝึกหัดกันครับ

1. จงหาระยะทางระหว่างจุดต่อไปนี้กับจุดกำเนิด (0,0)

1)  (3,4)

วิธีทำ แทนค่าลงไปในสูตรเลยนะ

จาก

\(=\sqrt{(x_{1}-x_{2})^{2} + (y_{1}-y_{2})^{2}}\)

\(=\sqrt{(3-0)^{2} + (4-0)^{2}}\)

\(=\sqrt{25}\)

\(=5\)

2)  (-1,-3)

วิธีทำ แทนค่าลงไปในสูตรเลยนะ

จาก

\(=\sqrt{(x_{1}-x_{2})^{2} + (y_{1}-y_{2})^{2}}\)

\(=\sqrt{(-1-0)^{2} + (-3-0)^{2}}\)

\(=\sqrt{4}\)

\(=2\)

 2.  จงหาระยะทางระหว่างจุดต่อไปนี้

1)   (2,5)  และ  (9,5)

วิธีทำ แทนค่าลงไปในสูตรเลยนะ

จาก

\(=\sqrt{(x_{1}-x_{2})^{2} + (y_{1}-y_{2})^{2}}\)

\(=\sqrt{(9-2)^{2} + (5-5)^{2}}\)

\(=\sqrt{49+0}\)

\(=7\)

2)  (-4,7)   และ  (6,7)

วิธีทำ แทนค่าลงไปในสูตรเลยนะ

จาก

\(=\sqrt{(x_{1}-x_{2})^{2} + (y_{1}-y_{2})^{2}}\)

\(=\sqrt{(6-(-4))^{2} + (7-7)^{2}}\)

\(=\sqrt{100+0}\)

\(=10\)

3)  (0,s)  และ  (t,0) 

วิธีทำ แทนค่าลงไปในสูตรเลยนะ

จาก

\(=\sqrt{(x_{1}-x_{2})^{2} + (y_{1}-y_{2})^{2}}\)

\(=\sqrt{(t-0)^{2} + (0-s)^{2}}\)

\(=\sqrt{t^{2}+s^{2}}\)

3. ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูดังรูป โดยที่ \(\overline{BC}\) ยาว  8  หน่วย   ถ้าจุด  A มีพิกัดเป็น (-4,0)  จุด B มีพิกัดเป็น  (-1,4)  และพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมคางหมูนี้เท่ากับ  48  ตารางหน่วย จงหา

1)  พิกัดของจุด C

2)  ความยาวของส่วนของเส้นตรง AB

3)  พิกัดของจุด  D

วิธีทำ  จากรูปผมให้ จุด C มีพิกัด (x,y) ซึ่งจะเห็นว่าจุด C มีระยะทางตามแกน Y ยาว 4  หน่วย ดังนั้นจุด C มีพิกัดเป็น

(x,4)

ระยะทางจากจุด B  ไปยัง C มีค่าเท่ากับ 8  หน่วย นั่นคือ

\(\sqrt{(x-(-1))^{2}+(4-4)^{2}}=8\)       ยกกำลังสองทั้งสองข้างเพื่อให้รูทหาย

\((x+1)^{2}+(y-4)^{2}=64\)

\(x^{2}+2x+1=64\)

\(x^{2}+2x-63=0\)      แยกตัวประกอบ

\((x+9)(x-7)=0\)

ดังนั้น

\(x=-9\)   หรือ  \(x=7\)    แต่ความยาวติดลบไม่ได้นะ ดังนั้น  x=7

ฉะนั้นเราได้พิกัด C  คือ (7,4)   ตอบ