หลังจากที่เราได้รู้จักกับคำว่า ฟังก์ชันแล้วแต่เจ้าตัวฟังก์ชันนั้นสามารถแบ่งออกเป็นหลายประเภทตามแต่ลักษณะการแบ่งของเราว่าจะแบ่งแบบไหน วันนี้เราจะมารู้จักฟังก์ชันประเภทนี้คือ
- ฟังก์ชันจาก A ไป B
- ฟังก์ชันจาก A ไปทั่วถึง B
- ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งจาก A ไป B
- ฟังก์ชันเพิ่มฟังชันลด
แต่ก่อนอื่นเรามารู้จักอันนี้ก่อนครับ ก็คือ ฟังก์ชันจาก A ไป B
ฟังก์ชันจาก A ไป B
f เป็นฟังก์ชันจาก A ไป B ก็ต่อเมื่อ f เป็นฟังก์ชันที่มีโดเมนคือเซต A และเรนจ์เป็นสับเซตของเซต B ซึ่ง ถ้า f เป็นฟังก์ชันจาก A ไป B จะเขียนแทนด้วย \(f: A \rightarrow B\)
ยกตัวอย่างเช่น
ผมกำหนดให้ \(A=\{1,2,3\}\) และ \(B=\{4,5,6\}\)
\(f=\{(1,4),(2,5),(3,4\}\) จะเห็นว่า \(D_{f}=\{1,2,3\}\) ซึ่งโดเมนของ f เท่ากับเซต A และ \(R_{f}=\{4,5\}\) ซึ่งเรนจ์ของ f เป็นสับเซตของ B อย่างนี้เราจะเรียกว่า f เป็นฟังก์ชันจาก A ไป B ซึ่งเขียนแทนด้วย \(f:A \rightarrow B\)
ตัวอย่างการทำแบบฝึกหัด
1. กำหนด \(A=\{1,2\}\) และ \(B=\{3\}\) ฟังก์ชันจาก A ไป B ได้แก่
วิธีทำ อย่าลืมไปดูความหมายของ ฟังก์ชันจาก A ไป B นะ ก่อนทำโจทย์ข้อนี้ จึงได้ว่าฟังก์ชันจาก A ไป B มีดังนี้
\(f=\{(1,3),(2,3)\}\)
มีแค่ฟังก์ชันเดียวที่เป็นฟังก์ชันจาก A ไป B
2. กำหนด \(A=\{1,2\}\) และ \(B=\{3,4\}\) ฟังก์ชันจาก A ไป B ได้แก่
วิธีทำ ฟังก์ชันจาก A ไป B ได้แก่
\(f_{1}=\{(1,3),(2,3)\}\)
\(f_{2}=\{(1,4),(2,4)\}\)
\(f_{3}=\{(1,3),(2,4)\}\)
\(f_{4}=\{(1,4),(2,3)\}\)
3. กำหนด \(A=\{1,2,3\}\) และ \(B=\{a,b\}\) ฟังก์ชันจาก A ไป B ได้แก่
วิธีทำ \(f_{1}=\{(1,a),(2,a),(3,a)\}\)
\(f_{2}=\{(1,b),(2,b),(3,b)\}\)
\(f_{3}=\{(1,a),(2,a),(3,b)\}\)
\(f_{4}=\{(1,a),(2,b),(3,a)\}\)
\(f_{5}=\{(1,b),(2,a),(3,a)\}\)
\(f_{6}=\{(1,b),(2,b),(3,a)\}\)
\(f_{7}\{(1,b),(2,a),(3,b)\}\)
\(f_{8}\{(1,a),(2,b),(3,b)\}\)
ฟังก์ชันจาก A ไปทั่งถึง B
f เป็นฟังก์ชันจาก A ไปทั่วถึง B ก็ต่อเมื่อ f เป็นฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นเซต A และเรนจ์เป็นเซต B เขียนแทนด้วย \(f:A\overset{ทั่วถึง}\rightarrow B\) ถ้าฟังความหมายแล้วอาจจะงงดูแผนภาพด้านล่างประกอบครับ
ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งจาก A ไป B
f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งจาก A ไป B ก็ต่อเมื่อ f เป็นฟังก์ชันจาก A ไป B ซึ่งถ้า \(y \in R_{f}\) แล้วมี \(x\in D_{f}\) เพียงตัวเดียวเท่านั้นที่ทำให้ \((x,y) \in f\) เขียนแทนด้วย \(f:A\overset{1-1}{\rightarrow} B\) ฟังแล้วอาจจะงงๆสำหรับฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งจาก A ไป B ต้องไปดูแผนภาพกันครับ
ฟังก์ชันเพิ่ม ฟังก์ชันลด
สำหรับฟังก์ชันเพิ่มฟังก์ชันลด จะขออธิบายง่ายๆอย่างนี้แล้วกันครับ
สมมติให้ f เป็นฟงก์ชันและกำหนดให้ \(f(x)=2x+1\)
ผมกำหนดให้
\(x_{1}=4\)
\(x_{2}=8\)
จะเห็นว่า \(x_{1}<x_{2}\)
ต่อไปจะเห็นว่า
\(f(x_{1})=2(4)+1=9\)
\(f(x_{2})=2(8)+1=17\)
จะเห็นว่า \(f(x_{1})<f(x_{2})\) ดัวย อย่างนี้เรียกว่าฟังก์ชันเพิ่ม ครับ ก็คือถ้า \(x_{1}<x_{2}\) แล้ว \(f(x_{1})<f(x_{2})\) ด้วยเรียกว่าฟังก์ชันเพิ่ม ในขณะเดียวกันถ้า \(x_{1}>x_{2}\) แล้ว \(f(x_{1})>f(x_{2})\) อย่างนี้ก็คือว่าเป็นฟังก์ชันเพิ่มเหมือนกันครับ พูดง่ายๆก็คือมันไปในทิศทางเดียวกัน มากก็มากทั้งคู่ น้อยก็น้อยทั้งคู๋ แต่ถ้าอีกอันน้อยแต่พอไปดูอีกอันหนึ่งกลับมากไม่ไปในทิศทางเดียวกันจะเป็นฟังก์ชันลดครับ จำไว้เลย
มาทำแบบฝึกหัดเพิ่มเติมดีกว่าครับ
4. กำหนด \(A=\{1,2,3\}\) และ \(B=\{a,b,c\}\) และ
\(f_{1}=\{(1,a),(2,b),(3,a)\}\)
\(f_{2}=\{(1,a),(2,b),(3,c)\}\)
\(f_{3}=\{(1,a),(2,a),(3,b)\}\)
\(f_{4}=\{(a,1),(b,2),(c,3)\}\)
\(f_{5}=\{(a,2),(b,1),(c,2)\}\)
\(f_{6}=\{(a,1),(b,1),(c,1)\}\)
\(f_{7}=\{(1,1),(2,2),(3,3)\}\)
\(f_{8}=\{(a,a),(b,b),(c,c)\}\)
จงพิจารณาฟังก์ชันที่กำหนดให้ว่าฟังก์ชันใดบ้างที่เป็น
1. ฟังก์ชันจาก A ไป B
ตอบ ไปดูนิยามของฟังก์ชันจาก A ไป B นะครับว่าเป็นอย่างไร ก็คือ การที่ฟังก์ชันนั้นๆจะเป็นฟังก์ชันจาก A ไป B โดเมนของฟังก์ชันนั้นต้องเท่ากับ A และเรนจ์ของฟังก์ชันนั้นต้องเป็นสับเซตของ B ซึ่งจะเห็นว่าจาก
\(f_{1}=\{(1,a),(2,b),(3,a)\}\)
\(D_{f_{1}}=\{1,2,3\}=A\)
\(R_{f_{1}}=\{a,b,a\} \subset B\)
ดังนั้น \(f_{1}\) เป็นฟังก์ชันจาก A ไป B
\(f_{2}=\{(1,a),(2,b),(3,c)\}\)
\(D_{f_{2}}=\{1,2,3\}=A\)
\(R_{f_{2}}=\{a,b,c\}\subset B\)
ดังนั้น \(f_{2}\) เป็นฟังก์ชันจาก A ไป B
มีอีกนะแต่ผมทำให้ดูเป็นตัวอย่างเพียงเท่านี้
2. ฟังก์ชันจาก A ไปทั่วถึง B
ตอบ จะเป็นเป็นฟังก์ชันจาก A ไปทั่งถึง B นั้นโดเมนของฟังก์ชันต้องเท่ากับ A และเรนจ์ของฟังก์ชันต้องเท่ากับ B
จาก \(f_{2}=\{(1,a),(2,b),(3,c)\}\)
จะเห็นว่า \(D_{f_{2}}=\{1,2,3\}=A\) และ \(R_{f_{2}}=\{a,b,c\}=B\) ดังนั้น \(f_{2}\) เป็นฟังก์ชัันจาก A ไปทั่วถึง B
3. ฟังก์ชันจาก A ไปทั่วถึง A
ตอบ จะเห็นว่าข้อนี้ โดเมนของฟังก์ชันและเรนจ์ของฟังก์ชันต้องเป็นเซต A นะ
จาก \(f_{7}=\{(1,1),(2,2),(3,3)\}\)
จะเห็นว่า \(D_{f_{7}}=\{1,2,3\}=A\) และ \(R_{f_7}=\{1,2,3\}\) ดังนั้น \(f_{7}\) ฟังก์ชันจาก A ไปทั่วถึง A
4. ฟังก์ชัน 1-1 จาก B ไป A
ตอบ ข้อนี้โดเมนของฟังก์ชันต้องเป็นเซต B และเรนจ์ของฟังก์ชันต้อง
จาก \(f_{4}=\{(a,1),(b,2),(c,3)\}\)
จะเห็นว่า \(D_{f_{4}}=\{a,b,c\}=B\) และเรนจ์ของเอฟสี่ถูกจับคู่เพียงครั้งเดียวอ่านตรงนี้อาจจะงง ดูตรงนี้ต่อนะจะเห็นว่า \(f_{5}=\{(a,2),(b,1),(c,2)\}\) เอฟห้านี้เป็นฟังก์ชันจาก B ไป A แต่ไม่ใช่ฟังก์ชัน 1-1 จาก B ไป A เพราะจะเห็นว่า (a,2) และ (c,2) ตรงนี้ก็คือมีเส้นโยงไปหา 2 สองเส้นไม่ใช่หนึ่งต่อหนึ่งแล้วเห็นไหม