หลังจากที่เราได้รู้จักกับคำว่า ฟังก์ชันแล้วแต่เจ้าตัวฟังก์ชันนั้นสามารถแบ่งออกเป็นหลายประเภทตามแต่ลักษณะการแบ่งของเราว่าจะแบ่งแบบไหน วันนี้เราจะมารู้จักฟังก์ชันประเภทนี้คือ

  • ฟังก์ชันจาก A ไป B 
  • ฟังก์ชันจาก A ไปทั่วถึง B
  • ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งจาก A ไป B
  • ฟังก์ชันเพิ่มฟังชันลด  

แต่ก่อนอื่นเรามารู้จักอันนี้ก่อนครับ ก็คือ ฟังก์ชันจาก A ไป B

ฟังก์ชันจาก A  ไป B

f เป็นฟังก์ชันจาก A  ไป B ก็ต่อเมื่อ f เป็นฟังก์ชันที่มีโดเมนคือเซต A และเรนจ์เป็นสับเซตของเซต B  ซึ่ง ถ้า f เป็นฟังก์ชันจาก A  ไป B  จะเขียนแทนด้วย   \(f: A \rightarrow B\)

ยกตัวอย่างเช่น

ผมกำหนดให้  \(A=\{1,2,3\}\)     และ     \(B=\{4,5,6\}\)

\(f=\{(1,4),(2,5),(3,4\}\)   จะเห็นว่า     \(D_{f}=\{1,2,3\}\)  ซึ่งโดเมนของ f  เท่ากับเซต A   และ  \(R_{f}=\{4,5\}\)     ซึ่งเรนจ์ของ f  เป็นสับเซตของ B  อย่างนี้เราจะเรียกว่า f เป็นฟังก์ชันจาก A  ไป  B  ซึ่งเขียนแทนด้วย  \(f:A \rightarrow B\)

ตัวอย่างการทำแบบฝึกหัด

1.  กำหนด \(A=\{1,2\}\)    และ   \(B=\{3\}\)   ฟังก์ชันจาก A  ไป B ได้แก่

วิธีทำ อย่าลืมไปดูความหมายของ ฟังก์ชันจาก A ไป B นะ ก่อนทำโจทย์ข้อนี้ จึงได้ว่าฟังก์ชันจาก A ไป B มีดังนี้

\(f=\{(1,3),(2,3)\}\)

มีแค่ฟังก์ชันเดียวที่เป็นฟังก์ชันจาก A  ไป B

2. กำหนด  \(A=\{1,2\}\)    และ   \(B=\{3,4\}\)     ฟังก์ชันจาก A  ไป  B  ได้แก่

วิธีทำ  ฟังก์ชันจาก  A  ไป  B   ได้แก่

\(f_{1}=\{(1,3),(2,3)\}\)

\(f_{2}=\{(1,4),(2,4)\}\)

\(f_{3}=\{(1,3),(2,4)\}\)

\(f_{4}=\{(1,4),(2,3)\}\)

3. กำหนด \(A=\{1,2,3\}\)    และ   \(B=\{a,b\}\)    ฟังก์ชันจาก A  ไป  B  ได้แก่

วิธีทำ  \(f_{1}=\{(1,a),(2,a),(3,a)\}\)

\(f_{2}=\{(1,b),(2,b),(3,b)\}\)

\(f_{3}=\{(1,a),(2,a),(3,b)\}\)

\(f_{4}=\{(1,a),(2,b),(3,a)\}\)

\(f_{5}=\{(1,b),(2,a),(3,a)\}\)

\(f_{6}=\{(1,b),(2,b),(3,a)\}\)

\(f_{7}\{(1,b),(2,a),(3,b)\}\)

\(f_{8}\{(1,a),(2,b),(3,b)\}\)

ฟังก์ชันจาก A  ไปทั่งถึง B

f เป็นฟังก์ชันจาก A  ไปทั่วถึง B ก็ต่อเมื่อ f เป็นฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นเซต A และเรนจ์เป็นเซต B เขียนแทนด้วย  \(f:A\overset{ทั่วถึง}\rightarrow B\) ถ้าฟังความหมายแล้วอาจจะงงดูแผนภาพด้านล่างประกอบครับ

ฟังก์ชันทั่วถึง

ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งจาก A  ไป B

 f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งจาก  A  ไป  B  ก็ต่อเมื่อ f  เป็นฟังก์ชันจาก A ไป  B ซึ่งถ้า   \(y \in R_{f}\)     แล้วมี    \(x\in D_{f}\)    เพียงตัวเดียวเท่านั้นที่ทำให้    \((x,y) \in  f\)      เขียนแทนด้วย  \(f:A\overset{1-1}{\rightarrow} B\)    ฟังแล้วอาจจะงงๆสำหรับฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งจาก A  ไป  B  ต้องไปดูแผนภาพกันครับ

ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง

ฟังก์ชันเพิ่ม  ฟังก์ชันลด

สำหรับฟังก์ชันเพิ่มฟังก์ชันลด จะขออธิบายง่ายๆอย่างนี้แล้วกันครับ

สมมติให้  f  เป็นฟงก์ชันและกำหนดให้  \(f(x)=2x+1\)

ผมกำหนดให้ 

\(x_{1}=4\)

\(x_{2}=8\)

จะเห็นว่า   \(x_{1}<x_{2}\)

ต่อไปจะเห็นว่า

\(f(x_{1})=2(4)+1=9\)

\(f(x_{2})=2(8)+1=17\)

จะเห็นว่า   \(f(x_{1})<f(x_{2})\)   ดัวย อย่างนี้เรียกว่าฟังก์ชันเพิ่ม ครับ ก็คือถ้า  \(x_{1}<x_{2}\) แล้ว \(f(x_{1})<f(x_{2})\)   ด้วยเรียกว่าฟังก์ชันเพิ่ม  ในขณะเดียวกันถ้า   \(x_{1}>x_{2}\)   แล้ว  \(f(x_{1})>f(x_{2})\)    อย่างนี้ก็คือว่าเป็นฟังก์ชันเพิ่มเหมือนกันครับ พูดง่ายๆก็คือมันไปในทิศทางเดียวกัน มากก็มากทั้งคู่  น้อยก็น้อยทั้งคู๋   แต่ถ้าอีกอันน้อยแต่พอไปดูอีกอันหนึ่งกลับมากไม่ไปในทิศทางเดียวกันจะเป็นฟังก์ชันลดครับ จำไว้เลย

มาทำแบบฝึกหัดเพิ่มเติมดีกว่าครับ

4. กำหนด \(A=\{1,2,3\}\)   และ    \(B=\{a,b,c\}\)    และ

\(f_{1}=\{(1,a),(2,b),(3,a)\}\)

\(f_{2}=\{(1,a),(2,b),(3,c)\}\)

\(f_{3}=\{(1,a),(2,a),(3,b)\}\)

\(f_{4}=\{(a,1),(b,2),(c,3)\}\)

\(f_{5}=\{(a,2),(b,1),(c,2)\}\)

\(f_{6}=\{(a,1),(b,1),(c,1)\}\)

\(f_{7}=\{(1,1),(2,2),(3,3)\}\)

\(f_{8}=\{(a,a),(b,b),(c,c)\}\)

จงพิจารณาฟังก์ชันที่กำหนดให้ว่าฟังก์ชันใดบ้างที่เป็น

1. ฟังก์ชันจาก A ไป B 

ตอบ  ไปดูนิยามของฟังก์ชันจาก A ไป B นะครับว่าเป็นอย่างไร ก็คือ การที่ฟังก์ชันนั้นๆจะเป็นฟังก์ชันจาก   A   ไป B  โดเมนของฟังก์ชันนั้นต้องเท่ากับ A  และเรนจ์ของฟังก์ชันนั้นต้องเป็นสับเซตของ B  ซึ่งจะเห็นว่าจาก

\(f_{1}=\{(1,a),(2,b),(3,a)\}\)

\(D_{f_{1}}=\{1,2,3\}=A\)

\(R_{f_{1}}=\{a,b,a\} \subset B\)

ดังนั้น  \(f_{1}\)   เป็นฟังก์ชันจาก A  ไป B

\(f_{2}=\{(1,a),(2,b),(3,c)\}\)

\(D_{f_{2}}=\{1,2,3\}=A\)

\(R_{f_{2}}=\{a,b,c\}\subset B\)

ดังนั้น  \(f_{2}\)  เป็นฟังก์ชันจาก  A  ไป  B

มีอีกนะแต่ผมทำให้ดูเป็นตัวอย่างเพียงเท่านี้

2. ฟังก์ชันจาก A  ไปทั่วถึง B

ตอบ จะเป็นเป็นฟังก์ชันจาก A  ไปทั่งถึง B  นั้นโดเมนของฟังก์ชันต้องเท่ากับ A  และเรนจ์ของฟังก์ชันต้องเท่ากับ B

จาก   \(f_{2}=\{(1,a),(2,b),(3,c)\}\)

จะเห็นว่า    \(D_{f_{2}}=\{1,2,3\}=A\)    และ  \(R_{f_{2}}=\{a,b,c\}=B\)     ดังนั้น  \(f_{2}\)  เป็นฟังก์ชัันจาก A  ไปทั่วถึง  B

3. ฟังก์ชันจาก A  ไปทั่วถึง A

ตอบ จะเห็นว่าข้อนี้ โดเมนของฟังก์ชันและเรนจ์ของฟังก์ชันต้องเป็นเซต  A นะ

จาก \(f_{7}=\{(1,1),(2,2),(3,3)\}\)

จะเห็นว่า   \(D_{f_{7}}=\{1,2,3\}=A\)   และ   \(R_{f_7}=\{1,2,3\}\)   ดังนั้น    \(f_{7}\)   ฟังก์ชันจาก A  ไปทั่วถึง A

4.  ฟังก์ชัน 1-1 จาก B ไป A

ตอบ ข้อนี้โดเมนของฟังก์ชันต้องเป็นเซต B   และเรนจ์ของฟังก์ชันต้อง

 จาก   \(f_{4}=\{(a,1),(b,2),(c,3)\}\)

จะเห็นว่า  \(D_{f_{4}}=\{a,b,c\}=B\)    และเรนจ์ของเอฟสี่ถูกจับคู่เพียงครั้งเดียวอ่านตรงนี้อาจจะงง ดูตรงนี้ต่อนะจะเห็นว่า \(f_{5}=\{(a,2),(b,1),(c,2)\}\)   เอฟห้านี้เป็นฟังก์ชันจาก B ไป A  แต่ไม่ใช่ฟังก์ชัน 1-1 จาก B ไป A เพราะจะเห็นว่า (a,2) และ (c,2)  ตรงนี้ก็คือมีเส้นโยงไปหา 2 สองเส้นไม่ใช่หนึ่งต่อหนึ่งแล้วเห็นไหม