ทฤษฎีบทเศษเหลือ(Remainder Theorem)

ทฤษฎีบทเศษเหลือนี้พูดง่ายๆก็คือเป็นทฤษฎีที่ช่วยในการหาเศษจากการหารของพหุนาม  เช่น ถ้าเรา

ต้องการหาเศษจากการหารพหุนาม \(2x^{2}-5x+6\) ด้วย \(x-3\)  ถ้าเราตั้งหารยาวตรงๆ เพื่อที่จะหาเศษนั้นมันจะยุ่งยากและยาวมาก...เพื่อเลี่ยงความยุ่งยากนี้เราก็มีเครื่องมือๆหนึ่ง....ซึ่งก็คือ ทฤษฎีบทเศษเหลือ เพื่อช่วยในการหาเศษจากการหารพหุนามนั้นเองคับ....มาดูรายละเอียดของทฤษฎีนี้กันเลยคับ

ทฤษฏีบทเศษเหลือ(Remainder Theorem

เศษจากการหารพหุนาม \(P(x)\) ด้วย \(x-a\) คือ \(P(a)\)

อ่านทฤษฎีนี้แล้วอาจจะงงๆใช่ป่าวคับ...จริงๆแล้วไม่ยากเลย...เพื่อความไม่งงเราไปดูตัวอย่างการนำทฤษฎีนี้ไปใช้กันเลยคับ

1.จงใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือหาเศษเหลือที่ได้จากการหารพหุนามในแต่ละข้อต่อไปนี้

1.1\(x^{3}+4x^{2}-x-3\)    หารด้วย \(x-4\)

วิธีทำ พยายามดูให้เข้าใจน่ะคับ...เป็นการนำทฤษฎีบทเศษเหลือมาใช้น่ะคับ ไม่ยากคับ

ให้ \(P(x)=x^{3}+4x^{2}-x-3\)     พูดง่ายๆก็คือ P(x) คือตัวตั้ง  x-a ก็คือตัวหาร ซึ่งในที่นี้ก็คือ x-4 แสดงว่า a คือ 4   เขาให้หาเศษเหลือ ซึ่งเศษเหลือก็คือ P(a) หรือว่า P(4) นั้นเองคับ ไปหากันเลย

จากที่เราให้

\(P(x)=x^{3}+4x^{2}-x-3\)      จะได้

\(P(4)=4^{3}+4(4)^{2}-4-3\)

\(=64+4(16)-4-3\)

\(=64+64-7\)

\(=121\)

ดังนั้นถ้าเอาพหุนาม \(x^{3}+4x^{2}-x-3\)     หารด้วย \(x-4\)    จะเหลือเศษ   \(121\)

1.2  \(5x^{3}-3x^{2}+7x+6\)    หารด้วย \(x+2\)

วิธีทำ ให้ \(P(x)=5x^{3}-3x^{2}+7x+6\)

ต่อไปหา a คับว่า a คือตัวอะไร หลายคนเห็น x+2 คิดว่า a=2 แน่นอน...ผิดคับ a ไม่ใช่ 2  น่ะคับ แต่ว่า a=-2 คับ

วิธีการหา a ก็คือ จาก   \(x+2=x-(-2) \)    เมือเอา x-(-2) เป็นเทีบบกับ x-a จะเห็นว่า a คือ -2 นั่นเองคับ

\(P(-2)=5(-2)^{3}-3(-2)^{2}+7(-2)+6\)

\(=5(-8)-3(4)-14+6\)

\(=-40-12-14+6\)

\(=-60\)

ดังนั้น ถ้าเอาพหุนาม\(5x^{3}-3x^{2}+7x+6\)    หารด้วย   \(x+2\)   จะเหลือเศษ    \(-60\)

ทำให้ดูเป็นไกด์ไลน์แค่นี้น่ะ  ไม่ยากเลยเรื่องนี้เป็นเรื่องง่ายๆคับ...พยายามทำแบบฝึกหัดเองเยอะๆ แล้วจะเก่งเองมาดูตัวอย่างกันต่อ กันเลยดีกว่า รู้สึกว่าเรื่องนี้เคยนำมาออกข้อสอบ o-net ด้วยน่ะคับ ลองดูกันเลยคับ

2. จงหาค่าของ \(k\)ที่เป็นไปตามเงื่อนไขในแต่ละข้อต่อไปนี้

2.1\(x-5\)   หาร   \( x^{3}-3x^{2}+kx-20 \)   ลงตัว

โจทย์ข้อนี้น่ะคับ จะหาคำตอบได้ก็ต้องใช้ความรู้เรื่องทฤษฏบทเศษเหลือมาช่วยคับ...นำมาช่วยยังไงไปดูกันเลยคับ

วิธีทำ ให้ \(P(x)=x^{3}-3x^{2}+kx-20\)

จากโจทย์เขาบอกว่าหารลงตัว นั่นคือแสดงว่า

\(P(5)=5^{3}-3(5)^{2}+k(5)-20=0\)

จะได้  \(5^{3}-3(5)^{2}+k(5)-20=0\)    แก้สมการนี้เพื่อหาค่าของ   \(k\)

\(125-75+5k-20=0\)

\(5k+30=0\)

\(k=\frac{-30}{5}\)

\(k=-6\)

ดังนั้น \(k=-6\)

2.2 \(x-6\) หาร \(x^{3}-8x^{2}+19x+k \)    แล้วได้เศษเหลือเป็น \(15\)

วิธีทำ  ข้อนี้ต้องใช้ความรู้เรื่องทฤษฎีบทเศษเหลือมาช่วยน่ะ ถึงจะหาคำตอบได้ง่าย

ให้ \(P(x)=x^{3}-8x^{2}+19x+k\)

หารแล้วเหลือเศษเป็น \(15\) นั่นคือ

\(P(6)=6^{3}-8(6)^{2}+19(6)+k=15 \)

จะได้

\(6^{3}-8(6)^{2}+19(6)+k=15 \)

\(216-288-114+k=15\)

\(42+k=15\)

\(k=15-42\)

\(k=-27\)

ดั้งนั้น \(k=-27\)

จากตัวอย่างที่ยกให้ดูสองข้อเป็นการนำความรู้เรื่องทฤษฎีบทเศษเหลือไปประยุกต์ใช้น่ะคับ...นอกจากนั้นแล้วทฤษฎีบทเศษเหลือนี้ยังสามารถนำไปใช้ในการแยกตัวประกอบของพหุนามได้ด้วยน่ะ...

คลิปด้านล่างสำหรับคนที่ขี้เกียจอ่านคับ ผมเป็นคนหนึ่งที่ขี้เกียจอ่านแต่ชอบฟังมากกว่า ก็ลองฟังดูน่ะ คลิปข้างล่างนี้นอกจากจะหาเศษเหลือแล้วผมยังแสดงวิธีการแยกตัวประกอบพหุนามโดยใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือด้วย ยังไงก็ลองฟังดูแล้วกันคับ

 

ติดต่อเรา wisanu.kkung@gmail.com