การให้เหตุผลเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยมและรูปสี่เหลี่ยม

เรื่องนี้เป็นเรื่องเกี่ยวกับ การหาเหตุผลต่างๆ เพื่อมาพิสูจน์ข้อความต่างๆที่ต้องการพิสูจน์ว่าเป็นจริงหรือไม่

อย่างไร  ซึ่งเหตุผลต่างๆที่จะนำมาพิสูจน์นั้น จะอยู่ในรูปของ  นิยาม ทฤษฎีบทหรือสัจพจน์   ซึ่งวันนี้ผมจะนำเสนอเกี่ยวกับความหมายหรือคำจำกัดความของคำต่างๆเหล่านี้ว่ามีความหมายอย่างไร

นิยาม คือ ข้อตกลงหรือกฎกติกาที่เราตกลงร่วมกันและถ้าพูดถึงคำๆนี้แล้วจะเข้าใจตรงกันหมดว่ามันหมายถึงสิ่งนี้น่ะ  ยกตัวอย่างเช่น  ผมให้นิยาม  คำว่า คนหล่อ คือคนที่มีแฟนมาแล้วไม่ต่ำกว่า 5  คน  ถ้าผมเคยมีแฟนมาแล้ว 6 คนแสดงว่าผมก็คือคนหล่อ ตามนิยามนั่นเอง

ทฤษฎีบท คือ สิ่งที่ได้รับการพิสูจน์ไว้แล้วว่าจริงและสามารถนำไปใช้ในการอ้างอิงใช้เป็นเหตุผลในการพิจสูจน์ข้อความอื้นๆได้

สัจพจน์ คือ ข้อความหรือสิ่งที่เห็นได้ชัดเจนว่าเป็นจริงโดยไม่ต้องมีการพิสูจน์ เช่น ดวงอาทิตย์ขึ้นทางทิศตะวันออก ตกทางทิศตะวันตก อันนี้เป็นสัจพจน์เป็นสิ่งที่เป็นจริงเห็นได้ชัดเจนโดยไม่ต้องมีการพิสูจน์

ซี่งในการพิสูจน์ข้อความต่างๆในบทนี้ จำเป็นต้องเข้าใจทฤษฎีบทต่างๆที่เกี่ยวข้องกับเรื่องที่เราจะพิสูจน์ซึ่งผมจะนำเสนอให้ได้อ่านทำความเข้าใจกัน  ไปดูทฤษฎีบทแรกกันคับ

ทฤษฎีบท 1 ถ้า เส้นตรงสองเส้นตัดกัน แล้ว มุมที่อยู่ตรงข้ามกันจะมีขนาดเท่ากัน

หลัง คำว่า "ถ้า" เขาเรียกว่า เหตุ ส่วนหลังคำว่า "แล้ว" เขาเรียกว่า ผล คือถ้ามีเหตุการณ์เส้นตรงสองเส้นตัดกัน แล้วผลสรุปที่ตามมาก็คือ มุมตรงข้ามที่เกิดขี้นจะมีขนาดเท่ากัน  ดูรูปประกอบน่ะคับ

ต่อไปผมจะยกตัวอย่างการพิสูจน์ โดยการนำทฤษฎีบท 1 นี้ไปช่วยในการพิสูจน์คับ

ตัวอย่างที่ 1 จากรูป กำหนดให้ \(\hat{1}=\hat{4}\) จงพิสูจน์ว่า \(\hat{3}+\hat{2}=180^{\circ}\)

วิธีทำ การทำข้อนี้ไม่ยากคับ เขาให้เราพิสูจน์ให้ได้ว่า \(\hat{3}+\hat{2}=180^{\circ}\)

วิธีการพิสูจน์ก็ไมยากคับ จากรูปจะได้ว่า

\(\hat{3}+\hat{4}=180^{\circ}\) เหตุผลเพราะมุมตรงมีขนาด 180 องศา

เนื่องจาก มุม 1= มุม 4 อันนี้โจทย์กำหนดให้มา เราก็แทนมุม 4 ด้วยมุม 1 จะได้

\(\hat{3}+\hat{1}=180^{\circ}\)

เนื่องจาก ทฤษฎีบท 1 กล่าวว่า ถ้า เส้นตรงสองเส้นตัดกัน แล้ว มุมตรงข้ามมีขนาดเท่ากัน ดังนั้นตามทฤษฎีบท 1 จะได้ มุม 1=มุม 2 จึงได้ว่า

\(\hat{3}+\hat{2}=180^{\circ}\)  ได้แล้วเสร็จแล้วคับ มุม 3 + มุม 2 =180 องศา

ตัวอย่างนี้เป็นตัวอย่างการนำ ทฤษฎีบท มาอ้างอิงในการพิสูจน์ข้อความต่างๆ คับ เราต้องจำทฤษฎีบทต่างๆให้น่ะ ถ้าจำได้ก็จะพิสูจน์ได้ไม่ยากคับ เป็นตัวอย่างง่ายครับข้อนี้ เดี่ยววันหลังจะเขียนต่อให้น่ะ วันนี้พอแค่นี้ก่อน

เริ่มต่อกันที่่ ทฤษฎีบท 2 กันเลยคับ ช่วงนี้อาจจะเขียนบทความน้อยหน่อยเอาเป็นว่าจะพยายามเจียดเวลามาเขียนให้ได้น่ะคับเริ่มกันเลย

ทฤษฎีบท2 เส้นตรงเส้นหนึ่่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง เส้นตรงคู่นั้นขนานกัน ก็ต่อเมื่อ ขนาดของมุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของเส้นตัดรวมกันเท่ากับ 180 องศา

ก่อนที่จะอธิบายถึงใจความสำคัญของทฤษฎีบทนี้ เราจะเห็นว่าในทฤษฎีบท1 และ ทฤษฎีบท2 เราเจอคำอยู่สองคำ คือ ถ้า...แล้ว....   กับ  ก็ต่อเมื่อ ผมขออธิบายสองคำนี้ให้ทุกคนได้เข้าใจก่อนน่ะคับว่ามันแตกต่างกันอย่างไร

สัญลักษณ์ที่ใช้แทนคำว่า  ถ้า...แล้ว....  คือ \(\rightarrow\) เป็นลูกศรชี้ไปทางขวานั้นเอง ยกตัวอย่างเช่น

\(A\rightarrow B \) อ่านว่า ถ้า A แล้ว B

รวย \(\rightarrow\) เป็นคนดี  อ่านว่า ถ้า รวย แล้ว เป็นคนดี  นั่นก็คือ ถ้า เหตุเกิดคือ รวย สรุปผลได้เลยว่า เป็นคนดี

แต่ในทางกลับกันถ้า เป็นคนดี สรุปผลไม่ได้น่ะว่ารวย คือสรุปผลได้ทางเดียว เป็นจริงทางเดียวคือจากซ้ายไปขวาเท่านั้น

สัญลักษณ์ที่ใช้แทนคำว่า ก็ต่อเมื่อ คือ  \( \leftrightarrow \) เป็นลูกศรที่มีหัวสองทาง สังเกตน่ะแตกต่างจาก ถ้า...แล้ว อย่างไร  คือมันจะเป็นจริงสองทางเลยคือ จากซ้ายไปขวาก็จริง  และ  จากขวาเป็นซ้ายก็จริง ยกตัวอย่างเช่น

รวย \(\leftrightarrow\)เป็นคนดี    อ่านว่า รวย ก็ต่อเมื่อ  เป็นคนดี   นั่นก็คือถ้ารวย สรุปผลได้เลยว่า เป็นคนดีและในทางกลับกัน ถ้าเป็นคนดี สรุปผลได้เลยว่า รวย เป็นจริงทั้งสองทาง ทั้งขาไปและก็ขากลับ

ในทฤษฎีบท2 นี้มีใจความดังนี้ดูประกอบน่ะคับ

ตามทฤษฎีบท2 ใจความของมันก็คือ

\( \overleftrightarrow{AB}\parallel \overleftrightarrow{CD} \leftrightarrow \hat{1}+\hat{2}=180^{\circ} \)   อ่านว่า เส้นตรง AB ขนาน เส้นตรง CD ก็ต่อเมื่อ มุม1+มุม2=180 องศา

ความหมายก็คือ

ถ้า AB ขนานกับ CD แล้วสรุปได้เลยว่า มุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของเส้นตัดรวมกันเท่ากับ 180 องศา

และในทางกลับกัน

ถ้า มุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของเส้นตัดรวมกันเท่ากับ 180 องศา สรุปได้เลยว่า เส้นตรงสองเส้นนั้นขนานกัน(ดูตามรูปน่ะ)

ทฤษฎีบท3 เส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง เส้นตรงคู่นั้นขนานกัน  ก็ต่อเมื่อ มุมแย้งมีขนาดเท่ากัน

ดูภาพประกอบด้านล่างน่ะ

อธิบายทฤษฎีบท3 นี้น่ะคับใจความของมันมีอยู่ว่า ดูรูปประกอบน่ะ

\(\overleftrightarrow{AB}\parallel
\overleftrightarrow{CD} \leftrightarrow \hat{1}=\hat{2}\)(มุมแย้งเท่ากัน)

แปลความหมายคือ

ถ้า เส้นตรง AB ขนานกับ เส้นตรง CD แล้ว ผลสรุปตามคือ มุนแย้งที่เกิดขึ้นจะมีขนาดเท่ากัน ดูรูปประกอบน่ะอันคือขาไป

และในทางกลับกัน

ถ้า ขนาดของมุมแย้งเท่ากัน ผลสรุปก็คือ  เส้นตรงสองเส้นที่ทำให้เกิดมุมแย้งนั้นขนานกันคับ...

เป็นไงบ้างเข้าใจคงอ่านแล้วเข้าใจกัน  พยายามเต็มที่แล้วน่ะที่จะอธิบาย ต่อไปผมจะใช้ทฤษฎีบทที่มีอยู่ที่ได้อธิยายไปแล้วข้างต้นมาพิสูจน์ข้อความในแบบฝึกหัด1.1 คณิตศาสตร์เพิ่มเติม ม.3 เล่ม 2 น่ะพยายามอ่านทำความเข้าใจ และข้อที่เหลือก็ลงมือทำเองน่ะคับ...

ข้อ 2

กำหนดให้ \(\overleftrightarrow{XY}\) ตัด \(\overleftrightarrow{AB}\) และ \(\overleftrightarrow{CD}\) ที่จุด \(E\) และจุด \(F\) ตามลำดับและ\(A\hat{E}X=D\hat{F}Y\)จงพิสูจน์ว่า \(\overleftrightarrow{AB}\)ขนานกับ \(\overleftrightarrow{CD}\)

วิธีทำ ข้อนี้เราจะพิสูจน์ว่าเส้นตรง AB ขนานกับเส้นตรง CD ในทฤษฎีบท3 บอกว่าเส้นตรงสองเส้นขนานกัน ก็ต่อเมื่อ มุมแย้งมีขนาดเท่ากัน ดังนั้นการที่เราจะพิสูจน์ได้ว่า AB ขนานกับ CD เราต้องพิสูจน์ให้ได้ว่า มุมแย้งมีขนาดเท่ากัน ก็คือต้องพิสูจน์ให้ได้ว่า \(B\hat{E}F=E\hat{F}C\)

เริ่มพิสูจน์กันเลยน่ะ

จากรูป

\(F\hat{E}B=A\hat{E}X=D\hat{F}Y=C\hat{F}E\)

ใช้ทฤษฎีบท1 มาช่วยด้วยคือมุมตรงข้ามมีขนาดเท่ากัน และจากตรงนี้จะเห็นว่า

\(F\hat{E}B=C\hat{F}E\) มุมแย้งมีขนาดเท่ากันดังนั้นตามทฤษฎีบท3 เส้นตรง AB ขนานเส้นตรง CD เสร็จแล้วคับพยายามนำทฤษฎีบทที่มีอยู่มาอ้างอิงในการพิสูจน์ให้ได้...น่ะคับ ไม่ยากลองอ่านและทำความเข้าใจดูน่ะ...

ติดต่อ 0988281419 หรือ wisanu.kkung@gmail.com