ว้นนี้นำเสนอเรื่อง การแก้สมการลอการิทึม หรือเรียนสั้นๆ ว่าการแก้สมการล็อก การที่จะแก้สมการล็อกได้ก็

จำเป็นต้องอาศัยสมบัติของลอการิทึม มาช่วยในการแก้คับ...ดูตัวอย่างกันเลย

1.จงหาค่าของ x จากสมการต่อไปนี้

1)\(\ln x =10\)

วิธีทำ จากโจทย์  \(\ln x =10\)

เนื่องจาก \(\ln x =\frac{\log x}{\log e} \) จึงได้ว่า

\(\ln x =10\)

\(\frac{\log x}{\log e}=10\)

\(\log x =10\log e\)

\(\log x=\log e^{10}\)  ทำการปลด log คับ จะได้

\(x=e^{10}\)


2)\(\log x=-2\)

วิธีทำ ข้อนี้ไม่ยากน่ะ...ต้องนำคุณสมบัติของล็อกมาใช้ให้เป็นประโยชน์

จากโจทย์

\(\log x=-2\)

\(\log x=-2\log 10 \)  อย่าลืมน่ะ log10=1 ดังนั้นจะเอา log10 มาคูณกับอะไรก็ได้ ค่าไม่เปลี่ยนแปลงคับ

\(\log x=\log 10^{-2}\) ปลดล็อกคับ จะได้

\(x=10^{-2}=\frac{1}{10^{2}}=0.01\)


3)\(\log 2x =\log 2 +5\)

วิธีทำ ดูน่ะไม่ยาก...ใช้สมบัติของล็อกล้วนๆเลย ใครไม่รู้ว่าใช้ยังไง...ใช้ข้อไหนรีบกลับไปดูเลยน่ะ...ตามนี้ สมบัติของลอการิทึม

จากโจทย์

\(\log 2x =\log 2 +5\)

\(\log 2 +\log x=\log 2+5\)

\(\log x=\log 2 -\log 2 +5\)

\(\log x=5\)

\(\log x=5\log 10\)

\(\log x=\log 10^{5}\)  ปลดล็อก

\(x=10^{5}\)


2.จงแก้สมการต่อไปนี้

1)\(x^{2}2^{x}-2^{x}=0\)

วิธีทำ ข้อนี้มีวิธีการทำหลายวิธี...วิธีที่ผมจะแสดงให้ดูเป็น...วิธีแวบแรกที่ผมคิดออกน่ะ...ส่วนใครจะทำวิธีอื่นก็ได้น่ะ

จากโจทย์

\begin{array}{lcl}x^{2}2^{x}-2^{x}&=&0\\2^{x}(x^{2}-1)&=&0\end{array}

ดังนั้นจะได้

\(2^{x}=0\)  หรือ \(x^{2}-1=0\)

พิจารณา

\(2^{x}=0\)  จะเห็นว่าสมการนี้เป็นไปไม่ได้เพราะ \(2^{x}>0\) เสมอ

พิจาณณา

\begin{array}{lcl}x^{2}-1&=&0\\x^{2}&=&1\\x&=&\pm 1\end{array}

ข้อนี้ตอบ \(x=\pm 1\)


2)\(4x^{3}e^{-3x}-3x^{4}e^{-3x}=0\)

วิธีทำ จากโจทย์

\(4x^{3}e^{-3x}-3x^{4}e^{-3x}=0\)   ...ดึงตัวร่วมคับ

\(e^{-3x}(4x^{3}-3x^{4})=0\) จากตรงนี้สองพจน์คูณกันแล้วได้ศูนย์...จึงได้ว่า...

\(e^{-3x}=0\)  หรือ \(4x^{3}-3x^{4}=0\)

พิจารณา
\(e^{-3x}=0\)  เป็นไปไม่ได้ เนื่องจาก \( e^{x}>0\) สำหรับจำนวนจริง x

พิจารณา

\(4x^{3}-3x^{4}=0\)

\(x^{3}(4-3x)=0\)  จะได้ว่า

\( x^{3}=0\) หรือ \(4-3x=0\)

\(x=0\) หรือ \(x=\frac{4}{3}\)

ดังนั้น ข้อนี้ ตอบ \( x=0\) , \(x=\frac{4}{3}\)


3) \(e^{2x}-3e^{x}+2=0\)

วิธีทำ

จากโจทย์...

\(e^{2x}-3e^{x}+2=0\)

\((e^{x}-1)(e^{x}-2)=0\)

จะได้ว่า

\(e^{x}-1=0\)  หรือ \(e^{x}-2=0\)

\(e^{x}=1\)  หรือ \(e^{x}=2\)

\(e^{x}=e^{0}\) หรือ \(\ln e^{x}=\ln 2\)

\(x=0\) หรือ \(x\ln e=\ln 2\) จะได้ \(x=\ln 2\)


4) \(x^{\log x}=100x\)

วิธีทำ \(x^{\log x}=100x\)  การทำข้อนี้ เราต้อง take  log เข้าทั้งสองข้างของสมการน่ะ ใส่ log ลงไปเลยคับก็จะได้

\(\log x^{\log x}=\log 100x \)   ทำต่อคับโดยใช้สมบัติของ log

\(\log x \log x =\log 100 +\log x \)   หนึ่งร้อยคือ สิบยกกำลังสองน่ะ ก็จะได้บรรทัดต่อไปคือ

\((\log x)^{2}=\log 10^{2}+\log x \)  ใช้สมบัติของล็อก ก็จะได้

\((\log x)^{2}=2\log 10+\log x \)      ต่อไปจะเห็นว่า log10=1 น่ะก็จะได้

\((\log x)^{2}=2(1)+\log x \)    ย้ายข้างทำให้ฝั่งขวาของสมการเป็น 0

\( (\log x)^{2} - \log x - 2 = 0 \)   ต่อไปเพื่อให้ง่ายต่อการมอง ผมจะใช้วิธีการที่เรียกว่าการ

แทนค่าด้วยตัวแปรโดยให้ \( A= \log x \)  แทนค่าลงไปก็จะได้

\( A^{2} - A - 2 = 0 \)   ต่อไปเราก็ทำการแยกตัวประกอบคับ

\( (A-2)(A+1)=0\)  ต่อไปเราก็จะได้

\( A-2=0\)  หรือ  \( A+1=0\)

พิจารณา \( A-2=0\)  ก่อน

จะได้

\( A=2\)   แทนค่า A กลับซึ่งเมื่อกี่เราให้   A=logx   เราก็จะได้

\(\log x =2\)  ต่อไปแก้สมการหาค่า x คับ  เนื่องจากว่า log10=1 ดังนั้นผมเอา log10 คูณเข้าทางฝั่งขวาของสมการจะได้

\(log x=2\log 10 \)  ค่าไม่เปลี่ยนน่ะ เพราะเหมือนกับการเอา 1 คูณเข้าทำ่ต่อก็จะได้

\(\log x = \log 10^{2}\)   ต่อไปตัด log ทิ้งก็จะได้

\( x=10^{2}=100\)

ต่อไปพิจารณา\( A+1=0\)

จะได้

\( A=-1 \)  แก้สมการเหมือนกันกับข้างบนน่ะพยายามทำเอง

ด้านล่างนี้เป็นโจทย์เสริมเกี่ยวกับการแก้สมการล็อกคับลองฟังดูเพื่อจะเข้าใจกว่าเดิม


5) \(log_{2}x+4log_{x}2=5\)

วิธีการทำข้อนี้จะเห็นว่ามี log ฐาน2 กับ log ฐาน x ฉนั้นควรที่จะทำฐานให้มันเท่ากันในข้อนี้ผมจะทำเป็นlog ฐาน 2 ก็แล้วกันครับ จะได้

\(log_{2}x+4\cdot \frac{1}{log_{2}x}-5=0\)  เพื่อให้ง่ายต่อการแก้สมการผมจะให้ \(log_{2}x=A  น่ะคับ ก็จะได้ \)

\(A+\frac{4}{A}-5=0\)   บรรทัดนี้จะเห็นว่ามีส่วนคือ A พยายามกำจัดส่วน A ออกโดยการนำ A คูณเข้าทั้่งสองข้างของสมการคับ จะได้

\(A(A+\frac{4}{A}-5)=0(A)\)

\(A^{2}-5A+4=0\)   ต่อไปแยกตัวประกอบคับจะได้

\((A-1)(A-4)=0\)  จะได้ว่า

\((A-1)=0 \quad หรือ  \quad(A-4)=0 \)

\(A=1 \quad หรือ\quad A=4 \)  \(\quad\) เมื่อกี๊เราให้ \(A=log_{2}x\quad แทนค่ากลับจะได้\)

\(log_{2}x=1 \quad หรือ \quad log_{2}x=4\)  \(\quad\)  เปลี่ยนจากสมการล็อกเป็นสมการเลขยกกำลังจะได้

\(x=2^{1} \quad หรือ \quad x=2^{4} \)

ตรวจสอบคำตอบเองน่ะคับ เห็นไหมคับง่ายๆไม่ยาก


6) \((logx)^{2}+5(logx)(log2)+6(log)^{2}=0\)

ข้อนี้ง่ายคับเราจะเห็นว่ามีตัวละครสองตัวคือ  \(logx \quad กับ \quad \log2\)

ดังนั้นเพื่อความง่ายต่อการแก้สมการ ผมจะให้ \( logx=A \quad และ \quad log2=B\)  \(\quad\) จะได้

\(A^{2}+5AB+6B=0\) \(\quad\) แยกตัวประกับจะได้

\((A+2B)(A+3B)=0 \) \(\quad\) จะได้

\((A+2B)=0 \quad หรือ \quad (A+3B)=0\) \(\quad\) แทนค่ากลับจะได้

\(logx+2log2=0 \quad หรือ \quad  logx+3log2=0\)

\(logx=-2log2 \quad หรือ \quad logx=-3log2\)

\(logx=log2^{-2} \quad หรือ \quad logx=log2^{-3}\)

\(x=2^{-2}=\frac{1}{4} \quad หรือ \quad x=2^{-3}=\frac{1}{8}\) \(\quad\)

ไม่ยากน่ะ ไม่เข้าใจถามได้น่ะทุกคน

ต่อไปเรามาลองทำแบบฝึกหัดที่เป็นข้อสอบ Pat ที่เป็นการแก้สมการลอการิทึมบ้างครับ

1. คำขอบของสมการ \(log_{\sqrt{2}}(4-x)=log_{2}(9-4x)+1\) อยู่ในช่วงใดต่อไปนี้ [Pat 1 ก.ค.52/18]

  1. [-10,-6]
  2. [-6,-2)
  3. [-2,2)
  4. [2,6)

วิธีทำ ข้อนี้ถือว่าไม่ยากครับเพราะมองเห็นเลยว่าต้องทำฐานให้เป็นสองก่อนครับและค่อยแก้สมการเริ่มทำเลยนะครับ

\begin{array}{lcl}log_{\sqrt{2}}(4-x)&=&log_{2}(9-4x)+1\\log_{2^\frac{1}{2}}(4-x)&=&log_{2}(9-4x)+log_{2}{2}\\2log_{2}(4-x)&=&log_{2}(9-4x)(2)\\log_{2}(4-x)^{2}&=&log_{2}(18-8x)\\so\\(4-x)^{2}&=&18-8x\\16-8x+x^{2}&=&18-8x\\x^{2}-2&=&0\\x^{2}&=&2\\x&=&\pm\sqrt{2}\\x&\approx &\pm 1.414\end{array}

ซึ่งจะเห็นได้ว่า \(1.414 \quad ,-1.414 \) เป็นสมาชิกในช่วง \([-2,2)\)  นั่นเองครับ


2. ผลบวกของคำตอบทั้งหมดของสมการ \(log_{3}x=1+log_{x}9\) อยู่ในช่วงใดต่อไปนี้ [Pat 1(มี.ค.)/19]

  1. [0,4)
  2. [4,8)
  3. [8,12)
  4. [12,16)

วิธีทำ ข้อนี้ถือว่าไม่ยากเช่นกันครับ ทำเหมือนข้อข้างบนเลยคือทำฐานให้เท่ากัน  แต่เพื่อความเข้าใจง่ายขึ้นเราอาจจะใช้เทคนิคการแทนค่าด้วยตัวแปรมาช่วยก็ได้ครับ  เริ่มทำเลยนะครับ

\begin{array}{lcl}log_{3}x&=&1+log_{x}9\\log_{3}x&=&1+\frac{1}{log_{9}x}\\log_{3}x&=&1+\frac{1}{log_{3^{2}}x}\\log_{3}x&=&1+\frac{1}{\frac{1}{2}log_{3}x}\\log_{3}x&=&1+\frac{2}{log_{3}x}\end{array}

ต่อไปเพื่อให้มันมองง่าย ผมจะให้ \(A=log_{3}x\)  จะได้

\begin{array}{lcl}log_{3}x&=&1+\frac{2}{log_{3}x}\\A&=&1+\frac{2}{A}\\A^{2}&=&A+2\\A^{2}-A-2&=&0\\(A-2)(A+1)&=&0\end{array}

จะได้

\(A-2=0\) หรือ \(A+1=0\)

พิจารณา

\begin{array}{lcl}A-2&=&0\\A&=&2\end{array}

แทนค่ากลับ คือ \(A=log_{3}x\)  จะได้

\begin{array}{lcl}log_{3}x&=&2\\x&=&3^{2}\\x&=&9\end{array}

พิจารณา

\begin{array}{lcl}A+1&=&0\\A&=&-1\end{array}

แทนค่ากลับ คือ \(A=log_{3}x\)  จะได้

\begin{array}{lcl}log_{3}x&=&-1\\x&=&3^{-1}\\x&=&\frac{1}{3}\end{array}

นั่นคือผลบวกของคำตอบคือ \(9+\frac{1}{3}=\frac{28}{3}=9.33\) 

จะเห็นว่า \(9.33\) อยู่ในช่วง \([8,12)\)

คลิปล่าสุดครับลองฟังดู

มาดูการแก้สมการลอการิทึมต่อครับ ข้อนี้เป็นข้อสอบเก่าครับ เป็นข้อสอบ 9 วิชาสามัญครับ ไปดูกันเลยครับ

1. ถ้า \(\log\left[x+27^{\log_{3}2}\right]=1\) แล้ว \(x\) มีค่าเท่าใด( ข้อสอบ 9 วิชาสามัญ ม.ค.55)

วิธีทำ ข้อนี้ไม่ยากครับ ต้องจำสมบัติของลอการิทึมให้ได้ครับ เริ่มทำกันเลย

\begin{array}{lcl}\log\left[x+27^{\log_{3}2}\right]&=&1\\ \log\left[x+3^{3\log_{3}2}\right]&=&1\\\log\left[x+3^{\log_{3}2^{3}}\right]&=&1\\\log\left[x+3^{\log_{3}8}\right]&=&1\\\log\left[x+8\right]&=&1\end{array}

เนื่องจากเรารู้ว่า \(log 10 =1\)  ดังนั้น

\begin{array}{lcl}\log\left[x+8\right]&=&1\\\log\left[2+8\right]&=&1\end{array}

ดังนั้น \(x=2\) นั่นเองครับ ข้อนี้ตอบ 2   นั่นเอง

ลิงค์ตัวอย่างเพิ่มเติมอีกเกี่ยวกับการแก้สมการลอการิทึมครับผมพิมพ์ไว้นานแล้ว ใครต้องการศึกษาเพิ่มเติมก็ไปตามลิงค์นี้เลยครับผม

การแก้สมการลอการิทึม