ว้นนี้นำเสนอเรื่อง การแก้สมการลอการิทึม หรือเรียนสั้นๆ ว่าการแก้สมการล็อก การที่จะแก้สมการล็อกได้ก็
จำเป็นต้องอาศัยสมบัติของลอการิทึม มาช่วยในการแก้คับ...ดูตัวอย่างกันเลย
1.จงหาค่าของ x จากสมการต่อไปนี้
1)\(\ln x =10\)
วิธีทำ จากโจทย์ \(\ln x =10\)
เนื่องจาก \(\ln x =\frac{\log x}{\log e} \) จึงได้ว่า
\(\ln x =10\)
\(\frac{\log x}{\log e}=10\)
\(\log x =10\log e\)
\(\log x=\log e^{10}\) ทำการปลด log คับ จะได้
\(x=e^{10}\)
2)\(\log x=-2\)
วิธีทำ ข้อนี้ไม่ยากน่ะ...ต้องนำคุณสมบัติของล็อกมาใช้ให้เป็นประโยชน์
จากโจทย์
\(\log x=-2\)
\(\log x=-2\log 10 \) อย่าลืมน่ะ log10=1 ดังนั้นจะเอา log10 มาคูณกับอะไรก็ได้ ค่าไม่เปลี่ยนแปลงคับ
\(\log x=\log 10^{-2}\) ปลดล็อกคับ จะได้
\(x=10^{-2}=\frac{1}{10^{2}}=0.01\)
3)\(\log 2x =\log 2 +5\)
วิธีทำ ดูน่ะไม่ยาก...ใช้สมบัติของล็อกล้วนๆเลย ใครไม่รู้ว่าใช้ยังไง...ใช้ข้อไหนรีบกลับไปดูเลยน่ะ...ตามนี้ สมบัติของลอการิทึม
จากโจทย์
\(\log 2x =\log 2 +5\)
\(\log 2 +\log x=\log 2+5\)
\(\log x=\log 2 -\log 2 +5\)
\(\log x=5\)
\(\log x=5\log 10\)
\(\log x=\log 10^{5}\) ปลดล็อก
\(x=10^{5}\)
2.จงแก้สมการต่อไปนี้
1)\(x^{2}2^{x}-2^{x}=0\)
วิธีทำ ข้อนี้มีวิธีการทำหลายวิธี...วิธีที่ผมจะแสดงให้ดูเป็น...วิธีแวบแรกที่ผมคิดออกน่ะ...ส่วนใครจะทำวิธีอื่นก็ได้น่ะ
จากโจทย์
\begin{array}{lcl}x^{2}2^{x}-2^{x}&=&0\\2^{x}(x^{2}-1)&=&0\end{array}
ดังนั้นจะได้
\(2^{x}=0\) หรือ \(x^{2}-1=0\)
พิจารณา
\(2^{x}=0\) จะเห็นว่าสมการนี้เป็นไปไม่ได้เพราะ \(2^{x}>0\) เสมอ
พิจาณณา
\begin{array}{lcl}x^{2}-1&=&0\\x^{2}&=&1\\x&=&\pm 1\end{array}
ข้อนี้ตอบ \(x=\pm 1\)
2)\(4x^{3}e^{-3x}-3x^{4}e^{-3x}=0\)
วิธีทำ จากโจทย์
\(4x^{3}e^{-3x}-3x^{4}e^{-3x}=0\) ...ดึงตัวร่วมคับ
\(e^{-3x}(4x^{3}-3x^{4})=0\) จากตรงนี้สองพจน์คูณกันแล้วได้ศูนย์...จึงได้ว่า...
\(e^{-3x}=0\) หรือ \(4x^{3}-3x^{4}=0\)
พิจารณา
\(e^{-3x}=0\) เป็นไปไม่ได้ เนื่องจาก \( e^{x}>0\) สำหรับจำนวนจริง x
พิจารณา
\(4x^{3}-3x^{4}=0\)
\(x^{3}(4-3x)=0\) จะได้ว่า
\( x^{3}=0\) หรือ \(4-3x=0\)
\(x=0\) หรือ \(x=\frac{4}{3}\)
ดังนั้น ข้อนี้ ตอบ \( x=0\) , \(x=\frac{4}{3}\)
3) \(e^{2x}-3e^{x}+2=0\)
วิธีทำ
จากโจทย์...
\(e^{2x}-3e^{x}+2=0\)
\((e^{x}-1)(e^{x}-2)=0\)
จะได้ว่า
\(e^{x}-1=0\) หรือ \(e^{x}-2=0\)
\(e^{x}=1\) หรือ \(e^{x}=2\)
\(e^{x}=e^{0}\) หรือ \(\ln e^{x}=\ln 2\)
\(x=0\) หรือ \(x\ln e=\ln 2\) จะได้ \(x=\ln 2\)
4) \(x^{\log x}=100x\)
วิธีทำ \(x^{\log x}=100x\) การทำข้อนี้ เราต้อง take log เข้าทั้งสองข้างของสมการน่ะ ใส่ log ลงไปเลยคับก็จะได้
\(\log x^{\log x}=\log 100x \) ทำต่อคับโดยใช้สมบัติของ log
\(\log x \log x =\log 100 +\log x \) หนึ่งร้อยคือ สิบยกกำลังสองน่ะ ก็จะได้บรรทัดต่อไปคือ
\((\log x)^{2}=\log 10^{2}+\log x \) ใช้สมบัติของล็อก ก็จะได้
\((\log x)^{2}=2\log 10+\log x \) ต่อไปจะเห็นว่า log10=1 น่ะก็จะได้
\((\log x)^{2}=2(1)+\log x \) ย้ายข้างทำให้ฝั่งขวาของสมการเป็น 0
\( (\log x)^{2} - \log x - 2 = 0 \) ต่อไปเพื่อให้ง่ายต่อการมอง ผมจะใช้วิธีการที่เรียกว่าการ
แทนค่าด้วยตัวแปรโดยให้ \( A= \log x \) แทนค่าลงไปก็จะได้
\( A^{2} - A - 2 = 0 \) ต่อไปเราก็ทำการแยกตัวประกอบคับ
\( (A-2)(A+1)=0\) ต่อไปเราก็จะได้
\( A-2=0\) หรือ \( A+1=0\)
พิจารณา \( A-2=0\) ก่อน
จะได้
\( A=2\) แทนค่า A กลับซึ่งเมื่อกี่เราให้ A=logx เราก็จะได้
\(\log x =2\) ต่อไปแก้สมการหาค่า x คับ เนื่องจากว่า log10=1 ดังนั้นผมเอา log10 คูณเข้าทางฝั่งขวาของสมการจะได้
\(log x=2\log 10 \) ค่าไม่เปลี่ยนน่ะ เพราะเหมือนกับการเอา 1 คูณเข้าทำ่ต่อก็จะได้
\(\log x = \log 10^{2}\) ต่อไปตัด log ทิ้งก็จะได้
\( x=10^{2}=100\)
ต่อไปพิจารณา\( A+1=0\)
จะได้
\( A=-1 \) แก้สมการเหมือนกันกับข้างบนน่ะพยายามทำเอง
ด้านล่างนี้เป็นโจทย์เสริมเกี่ยวกับการแก้สมการล็อกคับลองฟังดูเพื่อจะเข้าใจกว่าเดิม
5) \(log_{2}x+4log_{x}2=5\)
วิธีการทำข้อนี้จะเห็นว่ามี log ฐาน2 กับ log ฐาน x ฉนั้นควรที่จะทำฐานให้มันเท่ากันในข้อนี้ผมจะทำเป็นlog ฐาน 2 ก็แล้วกันครับ จะได้
\(log_{2}x+4\cdot \frac{1}{log_{2}x}-5=0\) เพื่อให้ง่ายต่อการแก้สมการผมจะให้ \(log_{2}x=A น่ะคับ ก็จะได้ \)
\(A+\frac{4}{A}-5=0\) บรรทัดนี้จะเห็นว่ามีส่วนคือ A พยายามกำจัดส่วน A ออกโดยการนำ A คูณเข้าทั้่งสองข้างของสมการคับ จะได้
\(A(A+\frac{4}{A}-5)=0(A)\)
\(A^{2}-5A+4=0\) ต่อไปแยกตัวประกอบคับจะได้
\((A-1)(A-4)=0\) จะได้ว่า
\((A-1)=0 \quad หรือ \quad(A-4)=0 \)
\(A=1 \quad หรือ\quad A=4 \) \(\quad\) เมื่อกี๊เราให้ \(A=log_{2}x\quad แทนค่ากลับจะได้\)
\(log_{2}x=1 \quad หรือ \quad log_{2}x=4\) \(\quad\) เปลี่ยนจากสมการล็อกเป็นสมการเลขยกกำลังจะได้
\(x=2^{1} \quad หรือ \quad x=2^{4} \)
ตรวจสอบคำตอบเองน่ะคับ เห็นไหมคับง่ายๆไม่ยาก
6) \((logx)^{2}+5(logx)(log2)+6(log)^{2}=0\)
ข้อนี้ง่ายคับเราจะเห็นว่ามีตัวละครสองตัวคือ \(logx \quad กับ \quad \log2\)
ดังนั้นเพื่อความง่ายต่อการแก้สมการ ผมจะให้ \( logx=A \quad และ \quad log2=B\) \(\quad\) จะได้
\(A^{2}+5AB+6B=0\) \(\quad\) แยกตัวประกับจะได้
\((A+2B)(A+3B)=0 \) \(\quad\) จะได้
\((A+2B)=0 \quad หรือ \quad (A+3B)=0\) \(\quad\) แทนค่ากลับจะได้
\(logx+2log2=0 \quad หรือ \quad logx+3log2=0\)
\(logx=-2log2 \quad หรือ \quad logx=-3log2\)
\(logx=log2^{-2} \quad หรือ \quad logx=log2^{-3}\)
\(x=2^{-2}=\frac{1}{4} \quad หรือ \quad x=2^{-3}=\frac{1}{8}\) \(\quad\)
ไม่ยากน่ะ ไม่เข้าใจถามได้น่ะทุกคน
ต่อไปเรามาลองทำแบบฝึกหัดที่เป็นข้อสอบ Pat ที่เป็นการแก้สมการลอการิทึมบ้างครับ
1. คำขอบของสมการ \(log_{\sqrt{2}}(4-x)=log_{2}(9-4x)+1\) อยู่ในช่วงใดต่อไปนี้ [Pat 1 ก.ค.52/18]
- [-10,-6]
- [-6,-2)
- [-2,2)
- [2,6)
วิธีทำ ข้อนี้ถือว่าไม่ยากครับเพราะมองเห็นเลยว่าต้องทำฐานให้เป็นสองก่อนครับและค่อยแก้สมการเริ่มทำเลยนะครับ
\begin{array}{lcl}log_{\sqrt{2}}(4-x)&=&log_{2}(9-4x)+1\\log_{2^\frac{1}{2}}(4-x)&=&log_{2}(9-4x)+log_{2}{2}\\2log_{2}(4-x)&=&log_{2}(9-4x)(2)\\log_{2}(4-x)^{2}&=&log_{2}(18-8x)\\so\\(4-x)^{2}&=&18-8x\\16-8x+x^{2}&=&18-8x\\x^{2}-2&=&0\\x^{2}&=&2\\x&=&\pm\sqrt{2}\\x&\approx &\pm 1.414\end{array}
ซึ่งจะเห็นได้ว่า \(1.414 \quad ,-1.414 \) เป็นสมาชิกในช่วง \([-2,2)\) นั่นเองครับ
2. ผลบวกของคำตอบทั้งหมดของสมการ \(log_{3}x=1+log_{x}9\) อยู่ในช่วงใดต่อไปนี้ [Pat 1(มี.ค.)/19]
- [0,4)
- [4,8)
- [8,12)
- [12,16)
วิธีทำ ข้อนี้ถือว่าไม่ยากเช่นกันครับ ทำเหมือนข้อข้างบนเลยคือทำฐานให้เท่ากัน แต่เพื่อความเข้าใจง่ายขึ้นเราอาจจะใช้เทคนิคการแทนค่าด้วยตัวแปรมาช่วยก็ได้ครับ เริ่มทำเลยนะครับ
\begin{array}{lcl}log_{3}x&=&1+log_{x}9\\log_{3}x&=&1+\frac{1}{log_{9}x}\\log_{3}x&=&1+\frac{1}{log_{3^{2}}x}\\log_{3}x&=&1+\frac{1}{\frac{1}{2}log_{3}x}\\log_{3}x&=&1+\frac{2}{log_{3}x}\end{array}
ต่อไปเพื่อให้มันมองง่าย ผมจะให้ \(A=log_{3}x\) จะได้
\begin{array}{lcl}log_{3}x&=&1+\frac{2}{log_{3}x}\\A&=&1+\frac{2}{A}\\A^{2}&=&A+2\\A^{2}-A-2&=&0\\(A-2)(A+1)&=&0\end{array}
จะได้
\(A-2=0\) หรือ \(A+1=0\)
พิจารณา
\begin{array}{lcl}A-2&=&0\\A&=&2\end{array}
แทนค่ากลับ คือ \(A=log_{3}x\) จะได้
\begin{array}{lcl}log_{3}x&=&2\\x&=&3^{2}\\x&=&9\end{array}
พิจารณา
\begin{array}{lcl}A+1&=&0\\A&=&-1\end{array}
แทนค่ากลับ คือ \(A=log_{3}x\) จะได้
\begin{array}{lcl}log_{3}x&=&-1\\x&=&3^{-1}\\x&=&\frac{1}{3}\end{array}
นั่นคือผลบวกของคำตอบคือ \(9+\frac{1}{3}=\frac{28}{3}=9.33\)
จะเห็นว่า \(9.33\) อยู่ในช่วง \([8,12)\)
คลิปล่าสุดครับลองฟังดู
มาดูการแก้สมการลอการิทึมต่อครับ ข้อนี้เป็นข้อสอบเก่าครับ เป็นข้อสอบ 9 วิชาสามัญครับ ไปดูกันเลยครับ
1. ถ้า \(\log\left[x+27^{\log_{3}2}\right]=1\) แล้ว \(x\) มีค่าเท่าใด( ข้อสอบ 9 วิชาสามัญ ม.ค.55)
วิธีทำ ข้อนี้ไม่ยากครับ ต้องจำสมบัติของลอการิทึมให้ได้ครับ เริ่มทำกันเลย
\begin{array}{lcl}\log\left[x+27^{\log_{3}2}\right]&=&1\\ \log\left[x+3^{3\log_{3}2}\right]&=&1\\\log\left[x+3^{\log_{3}2^{3}}\right]&=&1\\\log\left[x+3^{\log_{3}8}\right]&=&1\\\log\left[x+8\right]&=&1\end{array}
เนื่องจากเรารู้ว่า \(log 10 =1\) ดังนั้น
\begin{array}{lcl}\log\left[x+8\right]&=&1\\\log\left[2+8\right]&=&1\end{array}
ดังนั้น \(x=2\) นั่นเองครับ ข้อนี้ตอบ 2 นั่นเอง
ลิงค์ตัวอย่างเพิ่มเติมอีกเกี่ยวกับการแก้สมการลอการิทึมครับผมพิมพ์ไว้นานแล้ว ใครต้องการศึกษาเพิ่มเติมก็ไปตามลิงค์นี้เลยครับผม