การแก้สมการเอ็กซ์โพเนนเชียล

สมการที่มีเลขชี้กำลังเป็นตัวแปร  เรียกว่า  สมการเอกซ์โพเนนเชียล   บางครั้งในการหาคำตอบของสมการ

เอ็กโพเนนเชียล อาจต้องอาศัย สมบัติของลอการิทึมมาช่วยในการหาคำตอบต่อบางครั้งก็ไม่จำเป็นน่ะ อันนี้ก็ต้องอาศัยประสบการณ์ต้องทำข้อสอบเยอะๆ แล้วจะรู้ว่าตอนไหนต้องใช้ล็อกเข้ามาช่วย ตอนไหนไม่ต้องจำเป็นต้องอาศัยล็อกเข้ามาช่วย

ตัวอย่างของสมการเอ็กซ์โพเนนเชียล เช่น

\(2^{x}=4\)

\(\sqrt{5}=5^{y}\)

\(\left(\frac{1}{4}\right)^{x}=16\)  เป็นต้น   วันนี้ผมจะนำเสนอเกี่ยวกับการแก้สมการเอ็กซ์โพเนนเชียล...น่ะ...เรื่องนี้ไม่ยาก...สนุกดี....ค่อยๆอ่านทำความเข้าใจแล้วกัน

เริ่มต้นจากข้อง่ายๆก่อนน่ะ

จงแก้สมการต่อไปนี้

1)\(10^{x}=100\)

วิธีทำ จากโจทย์  คือ  \(10^{x}=100\)  เป็นสมการเอ็กซ์โพเนนเชียล วิธีการแก้สมการข้อนี้คือ ต้องทำทั้งสองฝั่งของสมการให้เป็นเลขยกกำลังที่มีฐานเท่ากับคับ จะได้ว่า

\(10^{x}=100\)

\(10^{x}=10^{2}\)  เป็นเลขยกำลังที่มีฐานเท่ากันแล้วเห็นไหม...คือฐานเท่ากับ 10 คับ ต่อไปเราก็ใช้สมบัติของฟังก์ชั้นเอ็กซ์โพเนนเชียลเข้ามาใช้นิดหนึ่งครับ สมบัติของมันมีอยู่ว่า \(a^{x}=a^{y}\)ก็ต่อเมื่อ\(x=y\)ความหมายของสมบัตินี้ก็คือพูดง่ายๆก็คือ ถ้าฐานเท่ากันแล้ว จับเลข ชี้กำลังเท่ากันเลย ....ดังนั้นจากข้อนี้จึงได้ว่า

\(x=2\)  เสร็จแล้ว...ง่ายๆน่ะ

2)\( 2^{2x}=8\)

วิธีทำ ไม่ยากอีกแล้วคับ ....สิ่งที่เราต้องทำให้ได้คือพยายามทำให้ทั้งสองฝั่งของสมการเป็นเป็นเลขยกกำลังที่มีฐานเท่ากัน...คับ

\( 2^{2x}=8\)

\( 2^{2x}=2^{3}\)  ....ฐานเท่ากันแล้วใช่ป่าว...ต่อไปจำเลขชี้กำลังให้เท่ากันเลย...จ๊ะ

\(2x=3\)  ...บรรทัดนี้แก้สมการต่อ...นิดหนึ่ง

\(x=\frac{3}{2}\)

\(x=\frac{3}{2}\)

3)\(2^{x}=200\)

วิธีทำ จากโจทย์

\(2^{x}=200\)

ข้อนี้น่ะถ้าทำเหมือนข้อที่ผ่านมา...ทำไม่ได้แน่ๆ  ก็คือ สองยกกำลังอะไรได้สองร้อยไม่มีแน่ๆ ดังนั้นโจทย์ข้อนี้ต้องอาศัยลอการิทึมเข้ามาช่วยคับ

\(2^{x}=2\times 10^{2}\)

\(\log 2^{x}=\log(2\times 10^{2})\)    ...ใส่ log เข้าไป หรือถ้าจะพูดให้เท่ๆ หน่อย คือ take log เข้าไปครับ...

\(\log 2^{x}=\log 2 + \log 10^{2}\)

\(x\log 2=\log 2 +2\log 10\)  อย่าลืมน่ะ log10=1

\(x=\frac{\log 2 +2}{\log 2}\)  ถึงตรงนี้  คงต้องเปิดตาราง log คับ ว่า log2 มีค่าเท่ากับเท่าไหร

\(x=\frac{0.3010+2}{0.3010}\)    ไปเปิดตารางล็อกดูน่ะ log2=0.3010

\(x=7.645\)

คลิปด้านล่างนี้เป็นตัวอย่างเพิ่มเติมเกี่ยวกับการแก้สมการเอ็กซ์โพเนนเชียล เป็นโจทย์ที่เขานิยมนำมาออกสอบคับลองดูเองแล้วกันคับ

วันนี้พอดีไปเห็นโจทย์สวยๆก็เลยเอามาเพิ่มให้ครับ พยายามดูและก็ทำความเข้าใจนะครับ มาดูกันเลย

4) \(\frac{2^{x}}{3^{x}}=\frac{9}{4}\) 

วิธีทำ จากโจทย์ \(\frac{2^{x}}{3^{x}}=\frac{9}{4}\) ข้อนี้เหมือนเดิมคับพยายามทำฐานให้เท่ากันก่อน

 จะได้ว่า \(\frac{2^{x}}{3^{x}}=\frac{3^{2}}{2^{2}}\) จะเห็นว่าฐานยังไม่เท่ากันสลับกันนิดเดียวก็ทำเป็นเปลี่ยนนิดหนึ่ง

\(\frac{2^{x}}{3^{x}}=\frac{2^{-2}}{3^{-2}}\) 

\((\frac{2}{3})^{x}=(\frac{2}{3})^{-2}\)

ดังนั้น x=-2

5) \(2\cdot 2^{2x}-17\cdot 2^{x}+8=0\)

การแก้สมการแบบนี้ถ้าใช้เทคนิคการแทนค่าด้วยตัวแปรจะง่าย ซึ่งเราจะเห็นว่ามันจะมีพจน์ที่คล้ายกันคือ

\(2^{x},2^{2x}\)  ถ้าใช้เทคนิคนี้จะง่ายจำเทคนิคนี้เอาไปใช้ทำข้อสอบได้เลย เป็นเทคนิคการแทนค่าด้วย

ตัวแปร ก็คือ เราจะให้ \(A=2^{x}\)  จะเห็นว่า \(A^{2}=2^{2x}\)  นำตัวแปรที่เราสร้างขึ้นมาเองนี้ไปแทน

ค่าในโจทย์จะได้

\(2A^{2}-17A+8=0\)  ซึ่งเราจะเห็นว่าสมการที่ได้นี้มันดูสบายตาขึ้น เป็นสมการกำลังสองการแก้สมการกำลัง

สองมีหลักการง่ายคือแยกตัวประกอบ เราก็จัดการแยกตัวประกอบเลย

\((2A-1)(A-8)=0\)   จะได้

\(2A-1=0 \quad หรือ\quad  A-8=0 \)

\(A=\frac{1}{2}  \quad หรือ \quad  A=8 \)

เราจะได้ค่าของ A ออกมา แต่จุดหมายปลายทางของเราไม่ใช่ค่า A แต่เป็นค่าของ x  ดังนั้นตอนแรกเราให้

\(A=2^{x}\) เราก็แทนค่ากลับจะได้

\(2^{x}=\frac{1}{2} \quad หรือ \quad 2^{x}=8\)

\(2^{x}=2^{-1} \quad หรือ \quad 2^{x}=2^{3}\)

จะเห็นว่า \(x=-1 \quad หรือ \quad x=3\)

 \(Ans \quad x=-1,x=3\)

\(6.\quad 25^{x}-6\cdot 5^{x}+5=0\)

วิธีทำ ข้อนี้คล้ายๆกับข้อที่ 5 แต่ต้องแปลงเล็กน้อย ดูนะ เนื่องจาก

\(25=5^2\) จะได้

\( 5^{2x}-6 \cdot 5^x+5=0\)  ใช้วิธีการเดิมคือใช้เทคนิคการแทนค่าคับ

โดยให้ \(B=5^x\) จะได้ \(B^{2}=5^{2x}\) แทนค่าลงไปในโจทย์เลยนะ

จะได้

\(B^{2}-6B+5=0\)  แยกตัวประกอบจะได้

\((B-5)(B-1)=0\)  จะได้

\(B-5=0 \quad หรือ \quad B-1=0\)

\(B=5  \quad หรือ \quad B=1\)

แทนค่ากลับจะได้

\(5^x=5 \quad หรือ \quad 5^{x}=1=5^{0}\)

ดังนั้น \(x=1 \quadหรือ \quad x=0\)

\(Ans \quad x=1,x=0\)

7) จงหาค่า x จากสมการ \(e^{2x}-e^{x}-6=0\) 

 เมื่อ กำหนดให้ \( \ln3=1.0986\)

วิธีทำ ข้อนี้ทำเหมือนข้อข้างบนก็ได้คือใช้เทคนิคการแทน่ค่าด้วยตัวแปรหรือใครไม่ทำก็ได้ ก็คือแยกตัวประกอบเลย ก็จะได้

\((e^{x}-3)(e^{x}+2)=0\)

จะได้

\( e^x-3=0 \quad หรือ \quad  e^{x}+2=0\)

\(e^x=3  \quad หรือ \quad e^x=-2\)

ต่อไปเราก็แก้สมการหาค่า x ข้อนี้ต้องใช้ ลอการิทึมธรรมชาติเข้ามาช่วย

เนื่องจาก \(e^x=3\)

\(\ln e^x=\ln3\)

\(x\ln e=1.0986\)  เนื่องจาก \(\ln e=1\) จะได้

\(x=1.0986\)

เนื่องจาก  \(e^{x}>0\)เสมอ ดังนััน \(e^{x}=-2\) จึงไม่มีคำตอบคับ

 

ติดต่อ 0988281419 หรือ wisanu.kkung@gmail.com