สมการที่มีเลขชี้กำลังเป็นตัวแปร เรียกว่า สมการเอกซ์โพเนนเชียล
บางครั้งในการหาคำตอบของสมการเอ็กโพเนนเชียล อาจต้องอาศัย สมบัติของลอการิทึมมาช่วยในการหาคำตอบต่อบางครั้งก็ไม่จำเป็นน่ะ อันนี้ก็ต้องอาศัยประสบการณ์ต้องทำข้อสอบเยอะๆ แล้วจะรู้ว่าตอนไหนต้องใช้ล็อกเข้ามาช่วย ตอนไหนไม่ต้องจำเป็นต้องอาศัยล็อกเข้ามาช่วย
ตัวอย่างของสมการเอ็กซ์โพเนนเชียล เช่น
\(2^{x}=4\)
\(\sqrt{5}=5^{y}\)
\(\left(\frac{1}{4}\right)^{x}=16\) เป็นต้น วันนี้ผมจะนำเสนอเกี่ยวกับการแก้สมการเอ็กซ์โพเนนเชียล...น่ะ...เรื่องนี้ไม่ยาก...สนุกดี....ค่อยๆอ่านทำความเข้าใจแล้วกัน
เริ่มต้นจากข้อง่ายๆก่อนน่ะ
จงแก้สมการต่อไปนี้
1)\(10^{x}=100\)
วิธีทำ จากโจทย์ คือ \(10^{x}=100\) เป็นสมการเอ็กซ์โพเนนเชียล วิธีการแก้สมการข้อนี้คือ ต้องทำทั้งสองฝั่งของสมการให้เป็นเลขยกกำลังที่มีฐานเท่ากับคับ จะได้ว่า
\(10^{x}=100\)
\(10^{x}=10^{2}\) เป็นเลขยกำลังที่มีฐานเท่ากันแล้วเห็นไหม...คือฐานเท่ากับ 10 คับ ต่อไปเราก็ใช้สมบัติของฟังก์ชั้นเอ็กซ์โพเนนเชียลเข้ามาใช้นิดหนึ่งครับ สมบัติของมันมีอยู่ว่า \(a^{x}=a^{y}\)ก็ต่อเมื่อ\(x=y\)ความหมายของสมบัตินี้ก็คือพูดง่ายๆก็คือ ถ้าฐานเท่ากันแล้ว จับเลข ชี้กำลังเท่ากันเลย ....ดังนั้นจากข้อนี้จึงได้ว่า
\(x=2\) เสร็จแล้ว...ง่ายๆน่ะ
2)\( 2^{2x}=8\)
วิธีทำ ไม่ยากอีกแล้วคับ ....สิ่งที่เราต้องทำให้ได้คือพยายามทำให้ทั้งสองฝั่งของสมการเป็นเป็นเลขยกกำลังที่มีฐานเท่ากัน...คับ
\( 2^{2x}=8\)
\( 2^{2x}=2^{3}\) ....ฐานเท่ากันแล้วใช่ป่าว...ต่อไปจำเลขชี้กำลังให้เท่ากันเลย...จ๊ะ
\(2x=3\) ...บรรทัดนี้แก้สมการต่อ...นิดหนึ่ง
\(x=\frac{3}{2}\)
\(x=\frac{3}{2}\)
3)\(2^{x}=200\)
วิธีทำ จากโจทย์
\(2^{x}=200\)
ข้อนี้น่ะถ้าทำเหมือนข้อที่ผ่านมา...ทำไม่ได้แน่ๆ ก็คือ สองยกกำลังอะไรได้สองร้อยไม่มีแน่ๆ ดังนั้นโจทย์ข้อนี้ต้องอาศัยลอการิทึมเข้ามาช่วยคับ
\(2^{x}=2\times 10^{2}\)
\(\log 2^{x}=\log(2\times 10^{2})\) ...ใส่ log เข้าไป หรือถ้าจะพูดให้เท่ๆ หน่อย คือ take log เข้าไปครับ...
\(\log 2^{x}=\log 2 + \log 10^{2}\)
\(x\log 2=\log 2 +2\log 10\) อย่าลืมน่ะ log10=1
\(x=\frac{\log 2 +2}{\log 2}\) ถึงตรงนี้ คงต้องเปิดตาราง log คับ ว่า log2 มีค่าเท่ากับเท่าไหร
\(x=\frac{0.3010+2}{0.3010}\) ไปเปิดตารางล็อกดูน่ะ log2=0.3010
\(x=7.645\)
คลิปด้านล่างนี้เป็นตัวอย่างเพิ่มเติมเกี่ยวกับการแก้สมการเอ็กซ์โพเนนเชียล เป็นโจทย์ที่เขานิยมนำมาออกสอบคับลองดูเองแล้วกันคับ
วันนี้พอดีไปเห็นโจทย์สวยๆก็เลยเอามาเพิ่มให้ครับ พยายามดูและก็ทำความเข้าใจนะครับ มาดูกันเลย
4) \(\frac{2^{x}}{3^{x}}=\frac{9}{4}\)
วิธีทำ จากโจทย์ \(\frac{2^{x}}{3^{x}}=\frac{9}{4}\) ข้อนี้เหมือนเดิมคับพยายามทำฐานให้เท่ากันก่อน
จะได้ว่า \(\frac{2^{x}}{3^{x}}=\frac{3^{2}}{2^{2}}\) จะเห็นว่าฐานยังไม่เท่ากันสลับกันนิดเดียวก็ทำเป็นเปลี่ยนนิดหนึ่ง
\(\frac{2^{x}}{3^{x}}=\frac{2^{-2}}{3^{-2}}\)
\((\frac{2}{3})^{x}=(\frac{2}{3})^{-2}\)
ดังนั้น x=-2
5) \(2\cdot 2^{2x}-17\cdot 2^{x}+8=0\)
การแก้สมการแบบนี้ถ้าใช้เทคนิคการแทนค่าด้วยตัวแปรจะง่าย ซึ่งเราจะเห็นว่ามันจะมีพจน์ที่คล้ายกันคือ
\(2^{x},2^{2x}\) ถ้าใช้เทคนิคนี้จะง่ายจำเทคนิคนี้เอาไปใช้ทำข้อสอบได้เลย เป็นเทคนิคการแทนค่าด้วย
ตัวแปร ก็คือ เราจะให้ \(A=2^{x}\) จะเห็นว่า \(A^{2}=2^{2x}\) นำตัวแปรที่เราสร้างขึ้นมาเองนี้ไปแทน
ค่าในโจทย์จะได้
\(2A^{2}-17A+8=0\) ซึ่งเราจะเห็นว่าสมการที่ได้นี้มันดูสบายตาขึ้น เป็นสมการกำลังสองการแก้สมการกำลัง
สองมีหลักการง่ายคือแยกตัวประกอบ เราก็จัดการแยกตัวประกอบเลย
\((2A-1)(A-8)=0\) จะได้
\(2A-1=0 \quad หรือ\quad A-8=0 \)
\(A=\frac{1}{2} \quad หรือ \quad A=8 \)
เราจะได้ค่าของ A ออกมา แต่จุดหมายปลายทางของเราไม่ใช่ค่า A แต่เป็นค่าของ x ดังนั้นตอนแรกเราให้
\(A=2^{x}\) เราก็แทนค่ากลับจะได้
\(2^{x}=\frac{1}{2} \quad หรือ \quad 2^{x}=8\)
\(2^{x}=2^{-1} \quad หรือ \quad 2^{x}=2^{3}\)
จะเห็นว่า \(x=-1 \quad หรือ \quad x=3\)
\(Ans \quad x=-1,x=3\)
\(6.\quad 25^{x}-6\cdot 5^{x}+5=0\)
วิธีทำ ข้อนี้คล้ายๆกับข้อที่ 5 แต่ต้องแปลงเล็กน้อย ดูนะ เนื่องจาก
\(25=5^2\) จะได้
\( 5^{2x}-6 \cdot 5^x+5=0\) ใช้วิธีการเดิมคือใช้เทคนิคการแทนค่าคับ
โดยให้ \(B=5^x\) จะได้ \(B^{2}=5^{2x}\) แทนค่าลงไปในโจทย์เลยนะ
จะได้
\(B^{2}-6B+5=0\) แยกตัวประกอบจะได้
\((B-5)(B-1)=0\) จะได้
\(B-5=0 \quad หรือ \quad B-1=0\)
\(B=5 \quad หรือ \quad B=1\)
แทนค่ากลับจะได้
\(5^x=5 \quad หรือ \quad 5^{x}=1=5^{0}\)
ดังนั้น \(x=1 \quadหรือ \quad x=0\)
\(Ans \quad x=1,x=0\)
7) จงหาค่า x จากสมการ \(e^{2x}-e^{x}-6=0\)
เมื่อ กำหนดให้ \( \ln3=1.0986\)
วิธีทำ ข้อนี้ทำเหมือนข้อข้างบนก็ได้คือใช้เทคนิคการแทน่ค่าด้วยตัวแปรหรือใครไม่ทำก็ได้ ก็คือแยกตัวประกอบเลย ก็จะได้
\((e^{x}-3)(e^{x}+2)=0\)
จะได้
\( e^x-3=0 \quad หรือ \quad e^{x}+2=0\)
\(e^x=3 \quad หรือ \quad e^x=-2\)
ต่อไปเราก็แก้สมการหาค่า x ข้อนี้ต้องใช้ ลอการิทึมธรรมชาติเข้ามาช่วย
เนื่องจาก \(e^x=3\)
\(\ln e^x=\ln3\)
\(x\ln e=1.0986\) เนื่องจาก \(\ln e=1\) จะได้
\(x=1.0986\)
เนื่องจาก \(e^{x}>0\)เสมอ ดังนััน \(e^{x}=-2\) จึงไม่มีคำตอบคับ