แบบฝึกหัด ลำดับเลขคณิต (2)

ในการที่จะทำแบบฝึกหัดเรื่องลำดับเลขคณิตได้นั้น  สิ่งที่จำเป็นต้องรู้คือ  พจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิต

หรือก็คือ \(a_{n}\)  นั่นเอง  สำหรับลำดับเลขคณิตนั้นมีพจน์ทั่วไปคือ \(a_{n}=a_{1}+(n-1)d\)  ตรงนี้จำเป็นต้องจำให้ได้ เพราะจะเป็นเครื่องมืออย่างดีในการทำโจทย์คับ  วันนี้เดี่ยวผมจะนำเสนอวิธีการทำโจทย์ในแบบฝึกหัด 1.1.3  เรื่องลำดับเลขคณิต

เริ่มต้นกันที่

ข้อ 5  จงหาพจน์ที่  15 ของลำดับเลขคณิต 3,8,13,18,23,...

วิธีทำ การทำข้อนี้ก็ไม่ยากคับ สิ่งที่จำเป็นต้องรู้ก็อย่างที่ผมบอกไปแล้ว   คือต้องรู้พจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิตซึ่งก็คือ \(a_{n}=a_{1}+(n-1)d\)

ข้อนี้เขาให้หาพจน์ที่ 15 คือให้หา \(a_{15}\)  นั่นเอง

เนื่องจาก \(a_{n}=a_{1}+(n-1)d\)

ดังนั้น \(a_{15}=a_{1}+(15-1)d\)

จากลำดับเลขคณิต 3,8,13,18,23,...

จะเห็นว่า  \(a_{1}=3\)  และ \(d=8-3=5\)   ดังนั้น

\(a_{15}=3+(15-1)5\)

\(a_{15}=3+14(5)\)

\(a_{15}=3+70\)

\(a_{15}=73\)

ตอบ ด้งนั้น พจน์ที่ 15 คือ 73 

ข้อ 6  จงหาพจน์แรกของลำดับเลขคณิตที่มี \(a_{6}=12\) และ \(a_{10}=16\)

วิธีทำ จากโจทย์เขาให้หา  \(a_{1}\) โดยเขากำหนด \(a_{6}\) และ \(a_{10}\) มาให้

วิธีการทำก็คือต้องใช้ความรู้เรื่อง ระบบสมการมาช่วยคับ จากสิ่งที่โเรารู้และโจทย์กำหนดให้มาคือ

\(a_{6}=a_{1}+(6-1)d\)  แทนค่า  \(a_{6}=12\)   ลงไปคับจะได้

\(12=a_{1}+(6-1)d\) ให้ตรงนี้เป็นสมการที่ 1

\(a_{10}=a_{1}+(10-1)d\)   แทนค่า  \(a_{10}=16\)  ลงไปคับจะได้

\(16=a_{1}+(10-1)d\) ให้ตรงนี้เป็นสมการที่ 2

เราต้องการหาค่าของ พจน์แรกหรือว่าหาค่าของ  \(a_{1}\)   แสดงว่าถ้าเรารู้ค่าของ d ก็จะสามารถหาค่า

\(a_{1}\)  ที่นี้วิธีการหาคือ 

นำสมการที่ 2  ลบกับ สมการที่ 1  จะได้

\(16-12=[a_{1}+(10-1)d]-[a_{1}+(6-1)d]\)

\(4=[a_{1}+9d-a_{1}-5d]\)

\(4=4d\)

\(d=\frac{4}{4}=1\) 

หาค่า d ได้แล้วต่อไปก็หาค่า ของ \(a_{1}\)

จากที่เรารู้คือ \( a_{6}=a_{1}+(6-1)d\) แทนค่าสิ่งที่เรารู้ลงไปเพื่อหาค่าของ \(a_{1}\)

ตอนนี้สิ่งที่เรารู้คือ \(a_{6}=12 \) และ  \(d=1\)

จะได้ \(12=a_{1}+(6-1)1\)

\(12=a_{1}-5\)

\(a_{1}=12-5\)

\(a_{1}=7\)

ตอบ ดังนั้นพจน์แรกของลำดับนี้คือ 7

วันนีัพอแค่นี้ก่อนน่ะคับ เดี่ยวเจอกันวันหลังคับde 

ข้อ 7 จงหาพจน์ที่ 25 ของลำดับเลขคณิตที่มี \(a_{3}=20\) และ \(a_{7}=32\)

วิธีทำ ข้อนี้เขาให้หา \(a_{25}\) โดยที่เขากำหนด \(a_{3}=20\)  และ  \(a_{7}=32\) มาให้

เนื่องจาก \(a_{25}=a_{1}+(25-1)d\) ดังนั้นการที่เราจะหา \(a_{25}\)  เราต้องรู้ค่าของ \(a_{1}\) และ d

จากสิ่งที่โจทย์กำหนดให้

\(a_{3}=a_{1}+(3-1)d\)

\(20=a_{1}+2d\)  ให้เป็นสมการที่ 1

\(a_{7}=a_{1}+(7-1)d\)

\(32=a_{1}+6d\)   เป็นสมการที่ 2

หา d ก่อนคับ วิธีการหาค่า d คือแก้ระบบสมการคับนำสมการที่ 2 ลบกับ สมการที่ 1 จะได้

\(32-20=(a_{1}+6d)-(a_{1}+2d)\)

\(12=a_{1}+6d-a_{1}-2d\)

\(12=4d\)

\(4d=12\)

\(d=\frac{12}{4}\)

\(d=3\)

หาค่า d ได้แล้วต่อไปหาค่าของ \(a_{1}\)  บ้างครับวิธีการหาก็หาจากสิ่งที่โจทย์กำหนดมาให้

จาก  \(a_{3}=a_{1}+(3-1)d\)  เรารู้ค่าของ  \(a_{3}\)  และรูัค่าของ d ดังนั้นสามารถหาค่าของ \(a_{1}\)

จะได้

\(20=a_{1}+(3-1)d\)  เรารู้ว่า d=3 แทนค่าลงไปเลยคับจะได้

\(20=a_{1}+2(3)\)

\(a_{1}=20-6=14\)

ต่อไป  \(a_{1}\)  รู้แล้ว d ก็รู้แล้ว หาค่า พจน์ที่ 25 ได้แล้ว

จาก

\(a_{25}=a_{1}+(n-1)d\)  แทนค่าสิ่งที่เรารู้ลงไปเลยคับจะได้

\(a_{25}=14+(25-1)3\)

\(a_{25}=14+72\)

\(a_{25}=86\)

ตอบ \(a_{25}=86\)

 

ติดต่อเรา wisanu.kkung@gmail.com