กำหนดให้ \(a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n}\) เป็นลำดับเลขคณิต
ดังนั้น \(a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n}\) เป็นอนุกรมเลขคณิต
ให้ \(S_{n}\) เป็นผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิต มาดูความหมายของ \(S_{n}\) กันคับว่าหมายความว่าอย่างไร สมมติว่าผมมีอนุกรมเลขคณิต
\(2+4+6+8+10+12+...\) ต้องการหา \(S_{1},S_{2},S_{3},S_{4}\)
\(S_{1}=2\) คือผลบวกของหนึ่งพจน์แรก ซึ่งมีค่าเท่ากับพจน์แรกของอนุกรมนั่นเอง
\(S_{2}=2+4=6\) ซึ่งก็คือผลบวกสองพจน์แรกของอนุกรม
\(S_{3}=2+4+6=12\) ซึ่งก็คือผลบวกสามพจน์แรกของอนุกรม
\(S_{4}=2+4+6+8=20\) ซึ่งก็คือผลบวกสี่พจน์แรกของอนุกรม
แต่ถ้าเราต้องการหาสูตรทั่วไปในการในการหาผลบวก n พจน์แรก หรือว่าหา \(S_{n}\) ซึ่งเจ้าตัวนี้เป็นตัวที่สำคัญมากเราจำเป็นต้องทำความเข้าใจและจำให้ได้ เพราะว่าเป็นเครื่องมือที่สำคัญในการเรียนเรื่องนี้ให้เข้าใจ สำหรับผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิตหรือว่า \(S_{n}\) นั้นสามารถหาได้จากสูตร
\[S_{n}=\frac{n}{2}(a_{1}+a_{n}) \\ or \\ S_{n}=\frac{n}{2}\left(2a_{1}+(n-1)d\right)\] |
สำหรับสูตรพวกนี้นั้นมันมาได้อย่างไร ก็ต้องอาศัยการพิสูจน์ซึ่งถ้าใครสนใจการพิสูจน์ก็สามารถหาอ่านได้ตามหนังสือ คณิตศาสตร์ของ สสวท. ซึ่งเขาเขียนพิสูจน์ไว้ดีมาก....
สำหรับการทำแบบฝึกหัดเกี่ยวกับเรื่องอนุกรมเลขคณิตนี้ผมก็ได้ สอนและอัดลงวิดีโอข้างล่างนี้แล้วใครสนใจก็ คลิกฟังได้ ไม่เข้าใจตรงไหนก็ถาม ที่สำคัญต้องทำแบบฝึกเพิ่มเติมด้วยน่ะคับ
มาดูตัวอย่างการทำแบบฝึกหัด ผมจะลองทำแบบฝึกหัดให้ดูเป็นตัวอย่างบางข้อคับ ไม่ยากเลยเรื่องนี้ง่ายๆ แค่ตั้งใจเรียนและทำแบบฝึกหัดบ่อยๆก็น่าจะทำข้อสอบได้แล้ว
1.จงหาผลบวก 50 พจน์แรกของลำดับเลขคณิต 5,7,9,11,13,...
นั่นก็คือหาผลบวก 50 พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิต 5+7+9+11+13+...
จาก \(S_{n}=\frac{n}{2}\big[2a_{1}+(n-1)d\big]\) จะได้
\(S_{50}=\frac{50}{2}\big[2(5)+(50-1)2\big]\) จากตรงนี้ d=2 น่ะคับ d=7-5=2
\(S_{50}=25\big[10+98\big]\)
\(S_{50}=2700\)
ดังนั้นผลบวก 50 พจน์แรกของอนุกรมนี้คือ 2700
2.จงหาผลบวกของอนุกรมเลขคณิต 6+9+12+15+...+99
ข้อนี้ก็คล้ายกับข้อหนึ่งคับ แต่ผมแน่ะนำให้ใช็สูตรนี้ในการหาคำตอบดีกว่า
จากสูตร \(S_{n}=\frac{n}{2}\big[a_{1}+a_{n}\big]\)
การที่เราจะหาผลบวกอนุกรมนี้ได้เราต้องรู้ก่อนว่าอนุกรมเลขคณิตนี้มีทั้งหมดกี่พจน์วิธีการหาคือใช้ความรู้เกี่ยวกับลำดับเลขคณิต คือ
\(a_{n}=a_{1}+(n-1)d\)
\(99=6+(n-1)3\)
\(99=6+3n-3\)
\(3n=99-6+3\)
\(n=\frac{96}{3}\)
\(n=32\)
จะเห็นว่า อนุกรมนี้มีทั้งหมด 32 พจน์นั้นคือถ้าจะหาผลบวกคือต้องหา \(S_{32}\)
\(S_{32}=\frac{32}{2}\big[6+99\big]\)
\(s_{32}=1680\)
3.ชายคนหนึ่งเริ่มทำงานตั้งแต่ปี พ.ศ.2540 โดยได้รับเงินเดือน 9500 บาท ถ้าเขาได้เงินเดือนขึ้นปีละ 700 บาท จงหาว่าในปี พ.ศ. 2550 เขาจะได้รับเงินเดือนเดือนละเท่าไร
ปี2540 ได้เงินเดือนๆละ 9500 บาท
ปี 2541 ได้เงินเดือนๆละ 9500+700=10200 บาท
ปี 2542 ได้เงินเดือนๆละ 10200+700=10900 บาท
โจทย์ถามว่าในปี 2550 จะได้รับเงินเดือนๆละเท่าไร
ใช้ความรู้ของลำดับเลขคณิตมาช่วยเพราะเงินเดือนเขาเพิ่มขึ้นเป็นลำดับเลขคณิต
นับตั้งแต่ปี 2540-2550 นับร่วมกันตั้งแต่ต้นก็เป็น 11 ปี ดังน้้นหาเงินเดือนปีที่ 11 นั่นคือ
\(a_{11}=9500+(11-1)700\)
\(a_{11}=16500\)
ดังนั้น ปี พ.ศ. 2550 เขาได้รับเงินเดือนๆละ 16500 บาท
4.อนุกรมเลขคณิตอนุกรมหนึ่งมีพจน์ที่สิบเป็น 20 และพจน์ที่ห้าเป็น 10 จงหาผลบวกตั้งแต่พจน์ที่ 8 ถึงพจน์ที่ 15
ข้อนี้ดูในคลิปข้างบนคับ ผมเฉลยไว้แล้ว
สำหรับใครที่ต้องการทำโจทย์เพิ่มเติมไปตามลิงค์นี้ครับ โจทย์อนุกรมเลขคณิต
ใครขี้เกียจอ่านลองดูที่คลิปได้ครับ