การคูณและการหารจำนวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขั้วนั้น สามารถหาค่าได้ตามทฤษฎีบทด้งต่อไปนี้

ทฤษฏีบท กำหนดให้ \(z_{1} \quad\) และ \(\quad z_{2}\quad\) เป็นจำนวนเชิงซ้อน

โดยที่

\(z_{1}=r_{1}[cos\theta_{1}+isin\theta_{1}]\)

\(z_{2}=r_{2}[cos\theta_{2}+isin\theta_{2}]\)

จะได้ว่า

1)\(z_{1}\cdot z_{2}=r_{1}r_{2}\left[cos(\theta_{1}+\theta_{2})+isin(\theta_{1}+\theta_{2})\right]\)

2)\(\frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{r_{1}}{r_{2}}\left[cos(\theta_{1}-\theta_{2})+isin(\theta_{1}-\theta_{2}\right])\)

3) \(\frac{1}{r_{1}}=\frac{1}{r_{1}}\left[cos\theta_{1}-isin\theta_{1}\right]\)

4) \( \overline{z_{1}}=r_{1}\left[cos(-\theta_{1})+isin(-\theta_{1})\right]\)

เป็นทฤษฏีบทเกี่ยวก้บการคูณและการหารของจำนวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขั้ว ซึ่งก็ไม่ยากคับยังไงก็ต้องนำไปใช้ให้เป็นเพราะว่าออกข้อสอบบ่อยมาก เดี่ยวต่อไปเรามาดูตัวอย่างการนำไปใช้กันคับว่าเป็นอย่างไร

1.จงเขียนจำนวนเชิงซ้อนต่อไปนี้ให้อยู่ในรูป x+yi

1.1 \(\left[2\left(cos\frac{11\pi}{6}+isin\frac{11\pi}{6}\right)\right]\left[4\left(cos\frac{4\pi}{3}+isin\frac{4\pi}{3}\right)\right]\)

วิธีทำ ให้ \(z_{1}=\left[2\left(cos\frac{11\pi}{6}+isin\frac{11\pi}{6}\right)\right]\)

จะได้  \(r_{1}=2 , \theta_{1}=\frac{11\pi}{6}\)

ให้ \(z_{2}=\left[4\left(cos\frac{4\pi}{3}+isin\frac{4\pi}{3}\right)\right]\)

จะได้ \(r_{2}=4,\theta_{2}=\frac{4\pi}{3}\)

แทนค่าลงไปในสูตร นี้คับ

\(z_{1}\cdot z_{2}=r_{1}r_{2}\left[cos(\theta_{1}+\theta_{2})+isin(\theta_{1}+\theta_{2})\right]\)

จะได้

\(z_{1}\cdot z_{2}=(2)(4)\left[cos(\frac{11\pi}{6}+\frac{4\pi}{3})+isin(\frac{11\pi}{6}+\frac{4\pi}{3})\right]\)

\(=8\left[cos(\frac{19\pi}{6}+isin(\frac{19\pi}{6})\right]\)

\(=8\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i\right)\)

\(=-4\sqrt{3}-4i\)

1.2 \(\frac{2(cos\frac{\pi}{6}+isin\frac{\pi}{6})}{8(cos\frac{4\pi}{3}+isin\frac{4\pi}{3}}\)

วิธีทำ จะเห็นว่า \(r_{1}=2  \quad ,  r_{2}=8  \quad , \theta_{1}=\frac{\pi}{6} \quad , \theta_{2}=\frac{4\pi}{3}\)

\(=\frac{2}{8}\left[cos(\frac{\pi}{6}-\frac{4\pi}{3})+isin(\frac{\pi}{6}-\frac{4\pi}{3})\right]\)

\(=\frac{1}{4}\left[cos(-\frac{7\pi}{6})+isin(-\frac{7\pi}{6})\right]\)

\(=\frac{1}{4}\left[cos(\pi+\frac{\pi}{6})-isin(\pi+\frac{\pi}{6})\right]\)

\(=\frac{1}{4}\left[-cos\frac{\pi}{6}+isin\frac{\pi}{6}\right]\)

\(=\frac{1}{4}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2}\right)\)

\(=\frac{1}{8}\left(-\sqrt{3}+i\right)\)


2. ให้  \(z_{1}=\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi}{12}+i\sin \frac{\pi}{12}\right) \quad ,\quad z_{2}=3\left(\cos\frac{5\pi}{9}+i\sin\frac{5\pi}{9}\right)\)  และ  \(z_{3}=4\left(\cos\frac{43\pi}{36}+i\sin\frac{43\pi}{36}\right)\)   จงหาค่าของ \(\frac{z_{2}z_{3}}{z_{1}}\)  ในรูปของ  \(x+yi\)

วิธีทำ  ในข้อนี้ผมจะหาค่าของ \(z_{2}z_{3}\)  ก่อนครับ แล้วค่อยไปหารกับ  \(z_{1}\) เริ่มทำเลยนะดูสูตรด้านบนประกอบคูณกัน เอา อาร์มาคูณกันและเอามุมมาบวกกันครับจะได้

\begin{array}{lcl}z_{2}z_{3}&=& (3)(4)\left[\cos(\frac{5\pi}{9}+\frac{43\pi}{36})+i\sin(\frac{5\pi}{9}+\frac{43\pi}{36})\right]\\z_{2}z_{3}&=&12\left[\cos\frac{7\pi}{4}+i\sin\frac{7\pi}{4}\right]\end{array}

ตอนนี้เราได้ค่า \(z_{2}z_{3}\)  แล้วนะ ต่อไปเราก็หาค่า  \(\frac{z_{2}z_{3}}{z_{1}}\)  ครับจะได้อย่าลืมนะถ้าเป็นการหาร ต้องเอาอาร์มาหารกันและเอามุมมาลบกันครับจะได้

\begin{array}{lcl}\frac{z_{2}z_{3}}{z_{1}}&=&\frac{12}{\sqrt{2}}\left[\cos(\frac{7\pi}{4}-\frac{\pi}{12})+i\sin(\frac{7\pi}{4}-\frac{\pi}{12})\right]\\&=&\frac{12}{\sqrt{2}}\times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\left[\cos\frac{5\pi}{3}+i\sin\frac{5\pi}{3}\right]\\&=&6\sqrt{2}\left(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)\\&=&3\sqrt{2}-3\sqrt{6}i\quad\underline{Ans}\end{array}


3.  ให้ \(z_{1}=\sqrt{2}\left(\cos\frac{17\pi}{36}+isin\frac{17\pi}{36}\right),\quad z_{2}=2\left(cos\frac{5\pi}{36}+isin\frac{5\pi}{36}\right)\)  จงหา  \(|\frac{z_{1}}{z_{2}}|\)

วิธีทำ ข้อนี้ผมจะหาค่าของ \(\frac{z_{1}}{z_{2}}\) ก่อนนะคับแล้วค่อยหาค่าสัมบูรณ์เริ่มทำกันเลยครับ

\begin{array}{lcl}\frac{z_{1}}{z_{2}}&=&\frac{\sqrt{2}}{2}\left[\cos(\frac{17\pi}{36}-\frac{5\pi}{36})+i\sin(\frac{17\pi}{36}-\frac{5\pi}{36})\right]\\&=&\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\frac{12\pi}{36}+i\sin\frac{12\pi}{36})\\&=&\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3})\\&=&\frac{\sqrt{2}}{2}(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i)\\&=&\frac{\sqrt{2}}{4}+\frac{\sqrt{6}}{4}i\\\\and \quad next\\ |\frac{z_{1}}{z_{2}}|&=&\sqrt{(\frac{\sqrt{2}}{4})^{2}+(\frac{\sqrt{6}}{4})^{2}}\\&=&\sqrt{\frac{2}{16}+\frac{6}{16}}\\&=&\sqrt{\frac{8}{16}}\\&=&\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{16}}\\&=&\frac{2\sqrt{2}}{4}\\&=&\frac{\sqrt{2}}{2}\quad \underline{Ans}\end{array}