ทฤษฎีบทเดอร์มัวร์ ( De Moivre"s Theorem)

วันนี้ผมจะนำเสนอการนำทฤษฎีบทของเดอร์มัวร์ไปใช้งาน ซึ่งทฤษฏีบทนี้นำไปใช้งานเมื่อเราต้องการยกกำลังจำนวนเชิงซ้อน ซึ่งต้องการยกกำลังครั้งละมากๆ เช่น ยกกำลังร้อย  ยกกำลังสิบ ก็จะนำทฤษฏีบทนี้มาช่วยในการยกกำลัง เพราะถ้าเรายกกำลังแบบวิธีธรรมดาทั่วไปคงทำไม่ได้  ฉนั้นเรามาดูว่าทฤษฏีบทนี้มีใจความสำคัญว่าอย่างไร  ไปดูกันเลยคับ....

ทฤษฏีบทของเดอร์มัวร์ (De Moivre's Theorem)

ถ้า \(z=r(cos\theta+isin\theta)\) เป็นจำนวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขั้ว และ \( n \in \mathbb{I}\)

จะได้ว่า

\(z^{n}=r^{n}\left(cos(n\theta)+isin(n\theta)\right)\)

มาดูตัวอย่างการนำทฤษฎีบทนี้ไปใช้กันเลยคับ บอกก่อนน่ะพวกสอบโควต้าชอบออกพวกนี้เหมือนกันน่ะคับไม่

ยาก ง่ายๆ

ตัวอย่างที่ 1 จงเขียนจำนวนเชิงซ้อนต่อไปนี้ในรูป   \(x+yi \quad เมื่อ\quad x,y\in \mathbb{R}\)

1.1) \(z=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2}\right)^{100}\)

จะเห็นว่าข้อนี้ถ้าเราไม่ใช้ทฤษฎีบทของท่านเดอร์มัวร์คงทำไม่ได้แน่เพราะยกกำลังหนึ่งร้อย คงไม่มีใครมานั่งจับคูณกันจนครบร้อย ฉนั้นใช้ทฤษฏีบทของท่านเดอร์มัวร์ คับ  มาดูกันเลยว่าใช้ยังไง

ขั้นตอนแรกทำ  \(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2}\)    ให้อยู่ในรูปเชิงขั้วก่อนส่วนทำยังไงนั้นไปอ่านเพิ่มเติมได้ที่ลิงค์นี้น่ะ จำนวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขั้ว

จะเห็นว่า \(x=\frac{\sqrt{3}}{2} \quad y=\frac{1}{2}\)

\(r=\sqrt{(\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}+(\frac{1}{2})^{2}}=1\)

หา \(\theta\) จากความสัมพันธ์   \(tan\theta=\frac{y}{x}\)    จะได้

\(tan\theta=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

ดังนั้นจะได้ว่า   \(\theta=30^{\circ}\)

นั่นก็คือ \(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2}\)   เขียนในรูปเชิงขั้วได้คือ \(1(cos30^{\circ}+isin30^{\circ})\)

ขั้นตอนที่สอง เป็นขั้นตอนของการใช้ทฤษฏีบทของท่านเดอร์มัวร์คับ จะได้ประการนี้

\(z=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2}\right)^{100}\)

\(z=\left[1(cos30^{\circ}+isin30^{\circ})\right]^{100}\)

\(z=1^{100}(cos(100)30^{\circ}+isin(100)30^{\circ})\)

\(z=1(cos3000^{\circ}+isin3000^{\circ})\)    ทำ 3000 องศาให้อยู่ในรูปมุนเรเดียนจะได้ง่ายขึ้น

\(z=(cos\frac{50\pi}{3}+isin\frac{50\pi}{3})\)

\(z=(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i)\)

ดังนั้น \(z=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2}\right)^{100}=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\quad Ans\)     เสร็จแล้วคับ

นี่คือตัวอย่างการนำทฤษฏีบทเดอร์มัวร์ไปใช้คับไม่ยากแต่ก็ต้องใช้ความรู้ตรีโกณมิติด้วยฉนั้นพยายายามอย่าทิ้งเรือ่งที่เราได้เรียนไปแล้่ว วันนี้เอาแค่หนึ่งข้อก่อน เดี่ยวข้อต่อไปเป็นวิดีโอครับ  อย่างไรก็อย่างลืมทบทวนเรื่องตรีโกณมิติด้วยคับ....

1.2) \(z=(\sqrt{2}+\sqrt{2}i)^{5}\)

ขั้นตอนแรก ทำ \(z=(\sqrt{2}+\sqrt{2}i)\)    ให้อยู่ในรูปเชิงขั้วก่อน

\(x=\sqrt{2},y=\sqrt{2}\)

\(r=\sqrt{\sqrt{2}^{2}+\sqrt{2}^{2}}=2\)

\(\tan{\theta}=\frac{y}{x}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=1\)

ดังนั้น \(\theta=45^{\circ}\)

จะได้ \(z=(\sqrt{2}+\sqrt{2}i)=2(cos45^{\circ}+isin45^{\circ})\)

ขั้นตอนที่สอง เป็นขั้นตอนของการใช้ทฤษฏีบทของท่านเดอร์มัวร์คับ จะได้ประการนี้

\(z=(\sqrt{2}+\sqrt{2}i)^{5}=\left[2(cos45^{\circ}+isin45^{\circ})\right]^{5}\)

\(z=2^{5}\left(cos5(45^{\circ})+isin5(45^{\circ})\right)\)

\(z=32(cos(\frac{5\pi}{4})+isin(\frac{5\pi}{4})\)

\(z=32(-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i)\)

\(z=-16\sqrt{2}-16\sqrt{2}i\)

ดังนั้น  \(z=(\sqrt{2}+\sqrt{2}i)^{5}=-16\sqrt{2}-16\sqrt{2}i\)

ติดต่อเรา wisanu.kkung@gmail.com