วันนี้ผมจะนำเสนอการนำทฤษฎีบทของเดอร์มัวร์ไปใช้งาน ซึ่งทฤษฏีบทนี้นำไปใช้งานเมื่อเราต้องการยกกำลังจำนวนเชิงซ้อน ซึ่งต้องการยกกำลังครั้งละมากๆ เช่น ยกกำลังร้อย  ยกกำลังสิบ ก็จะนำทฤษฏีบทนี้มาช่วยในการยกกำลัง เพราะถ้าเรายกกำลังแบบวิธีธรรมดาทั่วไปคงทำไม่ได้  ฉนั้นเรามาดูว่าทฤษฏีบทนี้มีใจความสำคัญว่าอย่างไร  ไปดูกันเลยคับ....

ทฤษฏีบทของเดอร์มัวร์ (De Moivre's Theorem)

ถ้า \(z=r(cos\theta+isin\theta)\) เป็นจำนวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขั้ว และ \( n \in \mathbb{I}\)

จะได้ว่า

\(z^{n}=r^{n}\left(cos(n\theta)+isin(n\theta)\right)\)

มาดูตัวอย่างการนำทฤษฎีบทนี้ไปใช้กันเลยคับ บอกก่อนน่ะพวกสอบโควต้าชอบออกพวกนี้เหมือนกันน่ะคับไม่

ยาก ง่ายๆ

ตัวอย่างที่ 1 จงเขียนจำนวนเชิงซ้อนต่อไปนี้ในรูป   \(x+yi \quad\) เมื่อ  \( x,y\in \mathbb{R}\)

1.1) \(z=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2}\right)^{100}\)

จะเห็นว่าข้อนี้ถ้าเราไม่ใช้ทฤษฎีบทของท่านเดอร์มัวร์คงทำไม่ได้แน่เพราะยกกำลังหนึ่งร้อย คงไม่มีใครมานั่งจับคูณกันจนครบร้อย ฉนั้นใช้ทฤษฏีบทของท่านเดอร์มัวร์ คับ  มาดูกันเลยว่าใช้ยังไง

ขั้นตอนแรกทำ  \(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2}\)    ให้อยู่ในรูปเชิงขั้วก่อนส่วนทำยังไงนั้นไปอ่านเพิ่มเติมได้ที่ลิงค์นี้น่ะ จำนวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขั้ว

จะเห็นว่า \(x=\frac{\sqrt{3}}{2} \quad y=\frac{1}{2}\)

\(r=\sqrt{(\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}+(\frac{1}{2})^{2}}=1\)

หา \(\theta\) จากความสัมพันธ์   \(tan\theta=\frac{y}{x}\)    จะได้

\(tan\theta=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

ดังนั้นจะได้ว่า   \(\theta=30^{\circ}\)

นั่นก็คือ \(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2}\)   เขียนในรูปเชิงขั้วได้คือ \(1(cos30^{\circ}+isin30^{\circ})\)

ขั้นตอนที่สอง เป็นขั้นตอนของการใช้ทฤษฏีบทของท่านเดอร์มัวร์คับ จะได้ประการนี้

\(z=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2}\right)^{100}\)

\(z=\left[1(cos30^{\circ}+isin30^{\circ})\right]^{100}\)

\(z=1^{100}(cos(100)30^{\circ}+isin(100)30^{\circ})\)

\(z=1(cos3000^{\circ}+isin3000^{\circ})\)    ทำ 3000 องศาให้อยู่ในรูปมุนเรเดียนจะได้ง่ายขึ้น

\(z=(cos\frac{50\pi}{3}+isin\frac{50\pi}{3})\)

\(z=(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i)\)

ดังนั้น \(z=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2}\right)^{100}=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\quad Ans\)     เสร็จแล้วคับ

นี่คือตัวอย่างการนำทฤษฏีบทเดอร์มัวร์ไปใช้คับไม่ยากแต่ก็ต้องใช้ความรู้ตรีโกณมิติด้วยฉนั้นพยายายามอย่าทิ้งเรือ่งที่เราได้เรียนไปแล้่ว วันนี้เอาแค่หนึ่งข้อก่อน เดี่ยวข้อต่อไปเป็นวิดีโอครับ  อย่างไรก็อย่างลืมทบทวนเรื่องตรีโกณมิติด้วยคับ....


1.2) \(z=(\sqrt{2}+\sqrt{2}i)^{5}\)

ขั้นตอนแรก ทำ \(z=(\sqrt{2}+\sqrt{2}i)\)    ให้อยู่ในรูปเชิงขั้วก่อน

\(x=\sqrt{2},y=\sqrt{2}\)

\(r=\sqrt{\sqrt{2}^{2}+\sqrt{2}^{2}}=2\)

\(\tan{\theta}=\frac{y}{x}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=1\)

ดังนั้น \(\theta=45^{\circ}\)

จะได้ \(z=(\sqrt{2}+\sqrt{2}i)=2(cos45^{\circ}+isin45^{\circ})\)

ขั้นตอนที่สอง เป็นขั้นตอนของการใช้ทฤษฏีบทของท่านเดอร์มัวร์คับ จะได้ประการนี้

\(z=(\sqrt{2}+\sqrt{2}i)^{5}=\left[2(cos45^{\circ}+isin45^{\circ})\right]^{5}\)

\(z=2^{5}\left(cos5(45^{\circ})+isin5(45^{\circ})\right)\)

\(z=32(cos(\frac{5\pi}{4})+isin(\frac{5\pi}{4})\)

\(z=32(-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i)\)

\(z=-16\sqrt{2}-16\sqrt{2}i\)

ดังนั้น  \(z=(\sqrt{2}+\sqrt{2}i)^{5}=-16\sqrt{2}-16\sqrt{2}i\)


1.3)  \(z=(\sqrt{3}-i)^{7}\)

วิธีทำ  ใช้ทฤษฎีบทของเดอร์มัวร์ครับแต่ก่อนจะใช้เดอร์มัวร์ต้องทำจำนวนเชิงซ้อนในข้อนี้ให้อยู่ในรูปเชิงขั้วก่อนครับ

จะเห็นว่า

\(x=\sqrt{3},y=-1\)

\(r=\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+(-1)^{2}}\)

\(r=\sqrt{4}\)

\(r=2\)

ต่อไปหามุมครับแต่ก่อนที่จะหามุม เนื่องจากค่า x เป็นบวก ค่า  y  เป็นลบดังนั้นจำนวนเชิงซ้อนของเราต้องตกอยู่ในควอดเร็นท์ที่ 4  ครับด้งนั้นมุมของเราต้องกางมากกว่า 270 องศาแน่นอน

จาก

\(\tan\theta=\frac{y}{x}\)

\(\tan\theta=\frac{-1}{\sqrt{3}}\)

ดังนั้น  \(\theta=360^{\circ}-30^{\circ}=330^{\circ}\) หรือก็คือ \(\theta=\frac{11\pi}{6}\)

ดังนั้นจำนวนเชิงซ้อน   \(z=\sqrt{3}-i\)  สามารถเขียนในรูปเชิงขั้วได้คือ

\(z=2(\cos\frac{11\pi}{6}+i\sin\frac{11\pi}{6})\)  ต่อไปก็เอาก่อนนี้แหละไปยกกำลัง 7 โดยใช้ทฤษฏีบทเดอร์มัวครับก็จะได้

\begin{array}{lcl}\left[2(\cos\frac{11\pi}{6}+i\sin\frac{11\pi}{6}\right]^{7}&=&2^{7}(\cos\frac{77\pi}{6}+i\sin\frac{77\pi}{6})\\&=&128\left[\cos (13\pi-\frac{\pi}{6})+i\sin (13\pi-\frac{\pi}{6})\right]\\&=&128(-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i)\\&=&-64\sqrt{3}+64i\end{array}


1.4) \(z=(\sqrt{2}+\sqrt{2}i)^{5}\)

วิธีทำ  ทำเหมือนข้อ 1.3 แหละครับจะเห็นได้ว่า

\(x=\sqrt{2},\quad y=\sqrt{2}\)  

ค่า x เป็นบวก ค่า y ก็เป็นบวกดังนั้นจำนวนเชิงซ้อนเราตกอยู่ในควอดร์เร็นท์ที่ 1 แน่นอนมุมที่ได้ต้องไม่เกิน 90 องศาครับ

\(r=\sqrt{(\sqrt{2})^{2}+(\sqrt{2})^{2}}\)

\(r=\sqrt{2+2}\)

\(r=2\)

ต่อไปหามุมครับจาก

\(\tan\theta=\frac{y}{x}\)

\(\tan\theta=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\)

\(\tan\theta=1\)

ดังนั้น

\(\theta=45^{\circ}\)   หรือก็คือ \(\theta=\frac{\pi}{4}\)

ดังนั้นจะได้ว่าจำนวนเชิงซ้อน

\(\sqrt{2}+\sqrt{2}i\)  สามารถเขียนในรูปเชิงขั้วได้คือ

\(2(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4})\)

ต่อไปก็เอาไปยกกำลัง 5 โดยใช้ทฤฎีบทเดอร์มัวร์ครับ

\begin{array}{lcl}\left[2(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4})\right]^{5}&=&2^{5}(\cos\frac{5\pi}{4}+i\sin\frac{5\pi}{4})\\&=&32(-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i)\\&=&-16\sqrt{2}-16\sqrt{2}i\end{array}