การแก้สมการติดรูท วันนี้เรามาแก้สมการติดรูทกันดีกว่า เห็นว่าออกสอบ PAT 1 เยอะก็เลยมาเรียนรู้กันเอาไว้ดีกว่า เผื่อมีประโยชน์ในการทำข้อสอบ PAT 1 บ้าง การแก้สมการมีหลักการแก้ง่ายๆคือ
1.พยายามกำจัดเครื่องหมายรูทออกโดยการยกกำลังสองทั้งสองข้างของสมการ บางครั้งอาจต้องยกกำลังสองมากกว่าหนึ่งครั้ง
2.เมื่อรูทหายไปแล้วก็แก้สมการธรรมดาตามที่เราเคยเรียนมาเพื่อหาค่าตัวแปร
3.เมื่อได้คำตอบแล้ว ต้องตรวจสอบคำตอบทุกครั้งด้วย เพราะก็แก้สมการโดยการยกกำลังสองอาจทำให้ได้คำตอบปลอมเกิดขึ้น
เรามาดูวิธีการทำกันเลยดีกว่า
จงแก้สมการต่อไปนี้
1.\(\sqrt{2x+1}+7=10\)
วิธีทำ
\begin{array}{lcl}\sqrt{2x+1}+7&=&10\\\sqrt{2x+1}&=&10-7\\\sqrt{2x+1}&=&3\\(\sqrt{2x+1})^{2}&=&3^{2}\\2x+1&=&9\\2x&=&9-1\\2x&=&8\\x&=&\frac{8}{2}\\x&=&4\end{array}
นำ \(4\) ไปแทนในโจทย์จะได้
\begin{array}{lcl}\sqrt{2x+1}+7&=&10\\\sqrt{2(4)+1}+7&=&10\\\sqrt{9}+7&=&10\\3+7&=&10\\10&=&10\end{array}
จะเห็นว่า
\(10=10\) สมการเป็นจริง
ข้อนี้ \(x=4\) ง่ายๆไม่ยากคับ
2. \(\sqrt{1-x^{2}}=1-x\)
วิธีทำ
\begin{array}{lcl}\sqrt{1-x^{2}}&=&1-x\\\sqrt{1-x^{2}})^{2}&=&(1-x)^{2}\\1-x^{2}&=&1-2x+x^{2}\\2x^{2}-2x&=&0\\2x(x-2)&=&0\\x(x-2)&=&0\end{array}
นั่นคือ จะได้
\(x=0\) หรือ \(x=2\)
ตรวจคำตอบ
แทน \(x=2\) ลงไปในโจทย์จะได้
\begin{array}{lcl}\sqrt{1-2^{2}}&=&1-2\\\sqrt{1-4}&=&-1\\\sqrt{-3}&=&-1\end{array}
สังเกตว่าข้างในรูทติดลบซึ่งแสดงว่าไม่จริง
ตรวจสอบคำตอบอีกอัน
\begin{array}{lcl}\sqrt{1-0^{2}}&=&1-0\\\sqrt{1}&=&1\\1&=1\end{array}
จะเห็นว่า
\(1=1\) สมการเป็นจริง
ข้อนี้ตอบ \(x=0\)
3. \(\sqrt{x-3}+2=x-3\)
วิธีทำ
\begin{array}{lcl}\sqrt{x-3}+2&=&x-3\\\sqrt{x-3}&=&x-3-2\\\sqrt{x-3}&=&x-5\\\sqrt{x-3})^{2}&=&(x-5)^{2}\\x-3&=&x^{2}-10x+25\\0&=&x^{2}-10x+25-x+3\\0&=&x^{2}-11x+28\\x^{2}-11x+28&=&0\\(x-7)(x-4)&=&0\end{array}
จะได้ \(x=7\) หรือ \(x=4\) ตรวจสอบคำตอบเองน่ะคับข้อนี้
4. \(\sqrt{x^{2}-9}=2x-6\)
วิธีทำ
\begin{array}{lcl}\sqrt{x^{2}-9}&=&2x-6\\\sqrt{x^{2}-9})^{2}&=&(2x-6)^{2}\\x^{2}-9&=&4x^{2}-24x+36\\x^{2}-9-4x^{2}+24x-36&=&0\\-3x^{2}+24x-45&=&0\\x^{2}-8x+15&=&0\\(x-3)(x-5)&=&0\end{array}
จะได้ \(x=3\) หรือ \(x=5\) ตรวจสอบคำตอบเองน่ะคับ
ข้อต่อไปเพิ่มความยากขึ้นหน่อยหนึ่ง ข้อนี้จะใช้เทคนิคการเปลี่ยนตัวแปร เพื่อทำให้การแก้สมการดูง่ายขึ้น มาลองทำกันเลยคับ
5. \(\sqrt{x^{2}+x+2}=2x^{2}+2x-2\)
ข้อนี้ถ้ายกกำลังสองทั้งสองข้างเลยยากแน่เพราะจะเห็นว่าทางขวามือของสมการมีสามพจน์ยกกำลังสองยาก ดังนั้นวิธีการคือใช้เทคนิคเปลี่ยนตัวแปรโดยให้
\(A=\sqrt{x^{2}+x+2}\) จะได้
\(A=2x^{2}+2x-2\) ให้เป็นสมการที่ 1 ซึ่งจะเห็นว่ายังมีตัวแปร x เหลืออยู่ต้องทำให้ตัวแปร x ให้อยู่ในรูปของ A ให้หมด
จาก
\(A=\sqrt{x^{2}+x+2}\) ลองยกกำลังสองทั้งสองข้าง
\(A^{2}=x^{2}+x+2\)
\(A^{2}-2=x^{2}+x\)
\(2A^{2}-4=2x^{2}+2x\)
จะเห็นว่า \(2x^{2}+2x\) ถ้าเขียนให้อยู่ในรูปของ A จะได้ \(2A^{2}-4\) นำค่าที่ได้นี้ไปแทนในสมการที่ 1 จะได้
\(A=2A^{2}-4-2\)
\(2A^{2}-A-6=0\)
\((2A+3)(A-2)=0\)
จะได้ \(A=\frac{-3}{2}\) หรือ \(A=2\)
เนื่องจากตอนแรกเราให้ \(A=\sqrt{x^{2}+x+2}\)
\(A=\frac{-3}{2}\) จะได้
\(\sqrt{x^{2}+x+2}=\frac{-3}{2}\) ซึ่งเป็นไปไม่ได้เพราะ รากที่สองมันมีค่ามากกว่าเท่ากับศูนย์เสมอ ไม่ติดลบ แสดงว่าไม่ต้องทำแล้ว
อีกตัวหนึ่งคือ
\(A=2\)
\(\sqrt{x^{2}+x+2}=2\) ยกกำลังสองทั้งสองข้างคับจะได้
\(x^{2}+x+2=4\)
\(x^{2}+x-2=0\)
\((x+2)(x-1)=0\)
จะได้ x=-2 หรือ x=1 ตรวจสอบคำตอบเองน่ะคับ
นี่คือ การสมการติดรูทโดยเทคนิคการเปลี่ยนตัวแปร ออกข้อสอบ PAT 1 เยอะเหมือนกันคับ
วันนี้พอแค่นี้ก่อน ต่อไปจัดเป็นคลิปครับรอติดตามได้เลยคับ
ว่างๆวันนี้เดี๋ยวเพิ่มเติมให้นะครับสำหรับการแก้สมการติดรูท หรือ surd equation
จงหาคำตอบของสมการต่อไปนี้
1) \(\sqrt{5x+1}+6=10\)
วิธีทำ \(\sqrt{5x+1}+6=10\)
อย่าพึ่งยกกำลังสองนะย้ายข้างก่อน
\begin{array}{lcl}\sqrt{5x+1}&=&10-6\\\sqrt{5x+1}&=&4\\\sqrt{5x+1})^{2}&=&4^{2}\\5x+1&=&16\\x&=&\frac{16-1}{5}\\x&=&3\end{array}
การแก้สมการติดรูทต้องตรวจสอบคำตอบด้วยนะ อันนี้ผมตรวจดูคร่าวๆด้วยสายตาแล้ว สมการเป็นจริง ข้อนี้
\(x=3\)
2) \(\sqrt{r^{2}+5}=r\)
วิธีทำ \(\sqrt{r^{2}+5}=r\)
ยกกำลังสองทั้งสองข้าง
\begin{array}{lcl}\sqrt{r^{2}+5})^{2}&=&r^{2}\\r^{2}+5&=&r^{2}\\r^{2}-r^{2}+5&=&0\\5&=&0\end{array}
สมการนี้ไม่เป็นจริง ข้อนี้ไม่มีคำตอบ
3) \(\sqrt{x+7}=x-5\)
วิธีทำ \(\sqrt{x+7}=x-5\)
ทำเหมือนเดิม ยกกำลังสองทั้งสองข้าง
\begin{array}{lcl}x+7&=&(x-5)^{2}\\x+7&=&x^{2}-10x+25\\0&=&x^{2}-10x+25-x-7\\0 &=&x^{2}-11x+18\\0&=&(x-9)(x-2)\end{array}
ดังนั้น \(x=9\) หรือ \(x=2\) ต้องตรวจสอบคำตอบก่อนนะก่อนจะตอบ ซึ่งจะเห็นว่า \(2\) ใช้ไม่ได้ข้อนี้ตอบ \(x=9\)
4) \(\sqrt{x+1}-\sqrt{x}=2\)
วิธีทำ
\begin{array}{lcl}\sqrt{x+1}-\sqrt{x}&=&2\\\sqrt{x+1}&=&2+\sqrt{x}\\x+1&=&2^{2}+2(2)\sqrt{x}+x\\(x+1&=&4+4\sqrt{x}+x\\x-x+1-4&=&4\sqrt{x}\\-3&=&4\sqrt{x}\\\sqrt{x}&=&-\frac{3}{4}\end{array}
จากตรงนี้ \(\sqrt{x}=-\frac{3}{4}\) เราจะเห็นว่ามันไม่จริงเพราะ \(\sqrt{x} \geq 0 \) เสมอ ดังนั้นข้อนี้ไม่มีคำตอบนะครับ
5) \(-\sqrt{x^{2}+21}=x+3\)
วิธีทำ \(-\sqrt{x^{2}+21}=x+3\)
ข้อนี้ถ้าไม่ชอบลบข้างหน้ารูท เอา -1 คูณเข้าทั้งสองข้างของสมการก่อนก็ได้ ก็จะได้
\begin{array}{lcl}\sqrt{x^{2}+21}&=&-x-3\\x^{2}+21&=&(-x-3)^{2}\\x^{2}+21&=&(-x)^{2}-2(-x)(3)+3^{2}\\x^{2}+21&=&x^{2}+6x+9\\x^{2}-x^{2}+21&=&6x+9\\21-9&=&6x\\x&=&\frac{12}{6}\\x&=&2\end{array}
ตรวจสอบคำตอบดูก่อนนะอย่าพึ่งใจร้อนรีบตอบ
6) \(\sqrt{x+7}+\sqrt{x+2}=\sqrt{6x+13}\)
วิธีทำ \(\sqrt{x+7}+\sqrt{x+2}=\sqrt{6x+13}\quad\)
ยกกำลังสองทั้งสองข้างของสมการเลยครับ
\begin{array}{lcl}\left(\sqrt{x+7}+\sqrt{x+2}\right)^{2}&=&(\sqrt{6x+13})^{2}\\x+7+2(\sqrt{x+7})(\sqrt{x+2})+x+2&=&6x+13\\2(\sqrt{x+7})(\sqrt{x+2})&=&6x+13-x-2-x-7\\2(\sqrt{x+7})(\sqrt{x+2})&=&4x+4\\\sqrt{x+7})(\sqrt{x+2})&=&2x+2\\\left[(\sqrt{x+7})(\sqrt{x+2})\right]^{2}&=&(2x+2)^{2}\\(x+7)(x+2)&=&(2x+2)^{2}\\x^{2}+9x+14&=&4x^{2}+8x+4\\4x^{2}-x^{2}+8x-9x+4-14&=&0\\3x^{2}-x-10&=&0\\(3x+5)(x-2)&=&0\end{array}
ดังนั้น \(x=-\frac{5}{3}\) หรือ \(x=2\)
ข้อนี้ตรวจคำตอบก่อนนะครับ แต่ \(-\frac{5}{3}\quad\) ไม่น่าใช่คำตอบ แต่ 2 ใช่แน่นอนผมแอบเช็คดูด้วยสายตา55 แต่ไปเช็คดีๆนะครับ
7) ต่อไปลองทำข้อสอบที่เป็นข้อสอบ PAT 1 ดูบ้างครับ
กำหนดให้ R แทนเซตของจำนวนจริง ถ้า \(B=\{x\in R|2x^{2}-2x+9-2\sqrt{x^{2}-x+3}=15\}\) แล้วผลบวกกำลังสองของสมาชิกใน \(B\) เท่ากับเท่าใด
วิธีทำ ข้อนี้ไม่ยากครับแต่ต้องรู้เทคนิคและวิธีการทำ ข้อนี้ถ้าใครฝึกทำบ่อยๆ ก็จะรู้เลยว่าควรทำอย่างไร ไม่ใช่ยกกำลังสองทั้งสองข้างแน่นอน แต่ใช้วิธีการแทนค่าเอาครับ สังเกตนะตัวที่อยู่ในรูท ก็คือ \(x^{2}-x+3\) จะมีความคล้ายตัวที่อยู่นอกรูทก็คือ \(2x^{2}-2x+9\)
ดูดีๆนะทั้งสองก้อนที่หยิบมาให้ดูมันคล้ายกันก็คือสามารถปรับเปลี่ยนหาตัวมาคูณให้มันเท่ากันได้ ทำเลยครับใช้วิธีการแทนค่าครับ
กำหนดให้
\begin{array}{lcl}A&=&\sqrt{x^{2}-x+3}\\A^{2}&=&x^{2}-x+3\end{array}
ต่อไปเราก็ทำ \(2x^{2}-2x+9\) ให้อยู่ในรูปของ \(A\) บ้างครับ
จาก
\begin{array}{lcl}A^{2}&=&x^{2}-x+3\\2A^{2}&=&2x^{2}-2x+6\\2A^{2}+3&=&2x^{2}-2x+6+3\\2A^{2}+3&=&2x^{2}-2x+9\end{array}
ดังนั้น
\(2x^{2}-2x+9\) ถ้าเขียนให้อยู่ในรูปของ \(A\) ก็คือ \(2A^{2}+3\) นั่นเองครับ
ต่อไปก็เอาไปแทนค่าในโจทย์ครับเพื่อแก้สมการต่อไปครับ
\begin{array}{lcl}2x^{2}-2x+9-2\sqrt{x^{2}-x+3}&=&15\\2A^{2}+3-2A&=&15\\2A^{2}-2A-12&=&0\\A^{2}-A-3&=&0\\(A-3)(A+2)&=&0\end{array}
ดังนั้น
\(A=3,-2\)
แต่เนื่องจาก \(A=\sqrt{x^{2}-x+3}\geq 0\) เสมอ ดังนั้น \(A=-2\) จึงเป็นไปไม่ได้ ก็เหลือแค่
\(A=3\)
ต่อไปแทนค่ากลับเพื่อหาค่าของ \(x\)ครับ
\begin{array}{lcl}A&=&3\\\sqrt{x^{2}-x+3}&=&3\\x^{2}-x+3&=&9\\x^{2}-x-6&=&0\\(x-3)(x+2)&=&0\end{array}
ดังนั้น
\(x=3,-2\)
นำคำตอบที่เราได้นี้ไปตรวจสอบคำตอบอีกทีหนึ่งนะครับซึ่งผมจะตรวจคำตอบให้ดูครับ
แทน x ด้วย 3 ในสมการ \(2x^{2}-2x+9-2\sqrt{x^{2}-x+3}=15\) จะได้
\begin{array}{lcl}2(3)^{2}-2(3)+9-2\sqrt{(3)^{2}-3+3}&=&15\\18-6+9-6&=&15\\15&=&15\end{array}
สมการเป็นจริง ต่อไปตรวจสอบอีกคำตอบหนึ่ง
แทน x ด้วย -2 ในสมการ \(2x^{2}-2x+9-2\sqrt{x^{2}-x+3}=15\}\) จะได้
\begin{array}{lcl}2(-2)^{2}-2(-2)+9-2\sqrt{(-2)^{2}-(-2)+3}&=&15\\8+4+9-2(3)&=&15\\21-6&=&15\\15&=&15\end{array}
สมการเป็นจริงครับ ดังนั้น
คำตอบคือ \(x=3,-2\) นั่นคือ \(B=\{3,-2\}\) แต่โจทย์บอกว่าให้หาผลบวกของกำลังสองของสมาชิกในเซต \(B\) ดังนั้นคำตอบคือ \(3^{2}+(-2)^{2}=13\)
8) ข้อนี้เป็นข้อสอบที่ผมเคยออกสอบนะครับ ไม่รู้ออกโหดไปไหมครับจริงๆ โหดกว่านี้อีกนิดหน่อยแต่ผมตัดออกไปบางส่วนครับ เอามาเฉลยไว้ให้นักเรียนและผู้สนใจศึกษาได้อ่านเป็นความรู้กันครับผม ไปดูโจทย์กันเลย
จงแก้สมการต่อไปนี้ \(\sqrt{y-2+\sqrt{2y-5}}+\sqrt{y+2+3\sqrt{2y-5}}=7\sqrt{2}\)
วิธีทำ มาดูการทำกันเลยครับใช้วิธีการแทนค่าด้วยตัวแปรเหมือนเดิมครับ
กำหนดให้ \(A=\sqrt{2y-5}\)
ดังนั้น \(A^{2}=2y-5\)
\(y=\frac{A^{2}+5}{2}\)
แทนค่ากลับลงไปในโจทย์เลยครับจะได้ ดังนี้
\begin{array}{lcl}\sqrt{y-2+\sqrt{2y-5}}+\sqrt{y+2+3\sqrt{2y-5}}&=&7\sqrt{2}\\\sqrt{\frac{A^{2}+5}{2}-2+A}+\sqrt{\frac{A^{2}+5}{2}+2+3A}&=&7\sqrt{2}\\\sqrt{\frac{2}{2}(\frac{A^{2}+5}{2}-2+A)}+\sqrt{\frac{2}{2}(\frac{A^{2}+5}{2}+2+3A)}&=&7\sqrt{2}\\\sqrt{\frac{1}{2}(A^{2}+5-4+4A)}+\sqrt{\frac{1}{2}(A^{2}+5+4+6A)}&=&7\sqrt{2}\\\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{(A^{2}+2A+1)}+\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{(A^{2}+6A+9)}&=&7\sqrt{2}\\\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{(A+1)(A+1)}+\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{(A+3)(A+3)}&=&7\sqrt{2}\\\frac{1}{\sqrt{2}}+(A+1)+\frac{1}{\sqrt{2}}(A+3)&=&7\sqrt{2}\\\frac{1}{\sqrt{2}}(A+1+A+3)&=&7\sqrt{2}\\2A+4&=&7\sqrt{2}\times \sqrt{2}\\2A+4&=&14\\A&=&5\end{array}
เอาละต่อไปเราก็แทนค่ากลับเพื่อหาค่า \(y\) ครับ
จาก
\begin{array}{lcl}A&=&5\\\sqrt{2y-5}&=&5\\(\sqrt{2y-5})^{2}&=&5^{2}\\2y-5&=&25\\2y&=&25+5\\y&=&\frac{30}{2}\\y&=&15\end{array}
สนับสนุนเว็บไซต์