ฟังก์ชันตรีโกณมิติของผลบวกและผลต่างของมุมหรือจำนวนจริง
ในเรื่องนี้จะพูดถึงการหาค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมหรือว่าจำนวนจริงที่อยู่ในรูปของผลบวกหรือว่าผลต่างอย่างเช่น \(\sin(45^{\circ}+30^{\circ})\) ซึ่งในการหาค่าพวกนี้เราสามารถหาได้จากสูตรของผลบวกและผลต่างได้ เรามาดูสูตรกันเลยดีกว่า
สูตร
\(1.\sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB\)
\(2.sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB\)
\(3.cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB\)
\(4.cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB\)
\(5.tan(A+B)=\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}\)
\(6.tan(A-B)=\frac{tanA-tanB}{1+tanAtanb}\)
เมื่อ A และ B เป็นจำนวนจริงใดๆหรือมองเป็นมุม ซึ่งอาจจะเป็นมุนในหน่วยเรเดียนหรือว่ามุมในหน่วยองศาก็ได้
ต่อไปเรามาดูวิธีการนำสูตรไปใช้กันเลยครับ
1.จงใช้ฟังก์ชันตรีโกณมิติของผลบวกและผลต่างของจำนวนจริงหรือมุมหาค่าต่อไปนี้
1)\(cos(60^{\circ}+45^{\circ})\)
\(cos(60^{\circ}+45^{\circ})=cos60^{\circ}cos45^{\circ}-sin60^{\circ}sin45^{\circ}\)
\(\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad=\frac{1}{2}\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}\)
2)\(sin105^{\circ}\)
\(sin105^{\circ}=sin(60^{\circ}+45^{\circ})\)
\(\quad\quad\quad\quad=sin60^{\circ}cos45^{\circ}+cos60^{\circ}sin45^{\circ}\)
\(\quad\quad\quad\quad=\frac{\sqrt{3}}{2}\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}\frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\quad\quad\quad\quad=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\)
3)\(tan75^{\circ}\)
\(tan75^{\circ}=tan(30^{\circ}+45^{\circ})\)
\(\quad\quad\quad=\frac{tan30^{\circ}+tan45^{\circ}}{1-tan30^{\circ}tan45^{\circ}}\)
\(\quad\quad\quad=\frac{\frac{1}{\sqrt{3}}+1}{1-\frac{1}{\sqrt{3}}(1)}\)
\(\quad\quad\quad=\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}+1}{1-\frac{\sqrt{3}}{3}}\)
\(\quad\quad\quad=\frac{3+\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}}\)
4)\(sin(-\frac{\pi}{12})\)
\(sin(-\frac{\pi}{12})=-sin(\frac{\pi}{12})\)
\(\quad\quad\quad\quad=-[sin(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4})]\)
\(\quad\quad\quad\quad=-[sin\frac{\pi}{3}cos\frac{\pi}{4}-cos\frac{\pi}{3}sin\frac{\pi}{4}]\)
\(\quad\quad\quad\quad=-[\frac{\sqrt{3}}{2}\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{2}\frac{\sqrt{2}}{2}]\)
\(\quad\quad\quad\quad=-(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4})\)
\(\quad\quad\quad\quad=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}\)
5) \(sin15^{\circ}\)
วิธีทำ
\(sin15^{\circ}=sin(45^{\circ}-sin30^{\circ})\)
\(=sin45cos30-cos45sin30\)
\(=\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}\frac{1}{2}\)
\(=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\)
6) \(sin\frac{7\pi}{12}\)
วิธีทำ พยายแยกเจ็ดไพส่วนสิบสองให้อยู่ในรูปผลบวกหรือผลต่างให้ได้ครับ ซึ่งต้องอาศัยความสามารถนิดหนึ่งใครไม่ชอบมุมเรเดียนก็เปลียนเป็นองศาก่อนได้แล้วค่อยแยกเป็นผลบวกหรือผลต่างครับ
\(sin\frac{7\pi}{12}=sin(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{3})\)
\(=sin(\frac{\pi}{4})cos(\frac{\pi}{3})+cos(\frac{\pi}{4})sin(\frac{\pi}{3})\)
\(=\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\)
7) \(tan105^{\circ}\)
วิธีทำ ทำเหมือนเดิมครับคือแยก 105 องศาให้อยู่ในรูปผลบวกหรือผลต่าง
\(tan105^{\circ}=tan(60^{\circ}+45^{\circ})\)
\(=\frac{tan60+tan45}{1-tan60tan45}\)
\(=\frac{\sqrt{3}+\frac{\sqrt{2}}{2}}{1-\sqrt{3}\frac{\sqrt{2}}{2}}\)
\(=\frac{\frac{2\sqrt{3}+\sqrt{2}}{2}}{\frac{2-\sqrt{6}}{2}}\)
\(=\frac{2\sqrt{3}+\sqrt{2}}{2-\sqrt{6}}\)
ทำให้ดูแค่นี้นะครับถ้าอยากได้คำตอบที่สวยงามก็เอาคอนจูเกตตัวส่วนมาคูณเข้าครับ
8) \(cot\frac{\pi}{12}\)
วิธีทำ ถ้าจำสูตร cot ไม่ได้ก็ใช้สูตร tan ก็ได้ครับ แล้วค่อยกลับเศษส่วนเอาครับเพราะ cot เป็นส่วนกลับของ tan ฉะนั้นข้อนี้ผมหา \(tan\frac{\pi}{12}\)
\(tan\frac{\pi}{12}=tan(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4})\)
\(=\frac{\sqrt{3}-1}{1+(\sqrt{3})(1)}\)
\(=\frac{\sqrt{3}-1}{1+\sqrt{3}}\)
\(=\frac{(\sqrt{3}-1)(1-\sqrt{3})}{(1+\sqrt{3})(1-\sqrt{3})}\)
\(=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{3}-1-3}{1-3}\)
\(=\frac{2\sqrt{3}-4}{-2}\)
\(=\frac{4-2\sqrt{3}}{2}\)
\(=2-\sqrt{3}\)
ดังนั้น
\(tan\frac{\pi}{12}=2-\sqrt{3}\)
ดังนั้นจะได้ว่า
\(cot\frac{\pi}{12}=\frac{1}{2-\sqrt{3}}\) ตรงนี้ใครจะทำต่อเพื่อทำให้ตัวส่วนไม่ติดกรณฑ์ก็ได้นะครับ
สลับเศษส่วนครับเพราะเป็นส่วนกลับกัน
ตัวอย่างที่ 2 จงหาค่าในแต่ละข้อต่อไปนี้
1) \(sin20^{\circ}cos25^{\circ}+cos20^{\circ}sin25^{\circ}\)
วิธีทำ จากโจทย์
\(sin20^{\circ}cos25^{\circ}+cos20^{\circ}sin25^{\circ}\)
จะเห็นว่าเข้ากับสูตรนี้พอดีเลย
\(sinAcosB+sinAcosB=sin(A+B)\)
จะเห็นว่า A=20 ,B=25 ดังนั้นข้อนี้จะได้ว่า
\(sin20^{\circ}cos25^{\circ}+cos20^{\circ}sin25^{\circ}=sin(20+25)=sin45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{{2}}\)
ตัวอย่างที่ 3 กำหนดให้ \(sec A=3\) เมื่อ \(A\) อยู่ในจตุภาคที่ 4 จงหาค่าของ \(tan\left(\frac{\pi}{4}+A\right)\)
วิธีทำ เนื่องจาก \(sec A=3\) ดังนั้น \(cosA=\frac{1}{3}\) เอาข้อมูลตรงนีัไปวาดรูปสามเหลี่ยมมุมฉากครับ อย่าลืมนะ มุม A ของเราอยู่ในจตุภาคที่ 4 ค่า \(cosA\) จะเป็นบวก ค่า \(sin A\) จะติดลบ และ ค่า \(tan A\) ติดลบด้วย การหาคำตอบข้องนีัต้องระวังเครืองหมายบวก ลบ ด้วยนะครับ
วาดรูป สามเหลี่ยมมุมฉากก่อนครับผม จะได้รูปดังนี้
จากรูปเราจะเห็นว่า \(tanA=-2\sqrt{2}\) อย่าลืมนะค่า \(tan A\) ติดลบเพราะมุม A อยู่ในจตุภาคที่ 4 เอาละเริ่มหาคำตอบกันเลยครับ
สูตรที่จำเป็นต้องรู้ก่อนหาคำตอบคือ \(tan(A+B)=\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}\)
เริ่มทำกันเลย
\begin{array}{lcl}tan\left(\frac{\pi}{4}+A\right)&=&\frac{tan\frac{\pi}{4}+tanA}{1-tan\frac{pi}{4}tanA}\\&=&\frac{1+(-2\sqrt{2})}{1-(1)(-2\sqrt{2})}\\&=&\frac{1-2\sqrt{2}}{1+2\sqrt{2}}\end{array}
แต่คำตอบที่เราได้ ถ้าเป็นข้อสอบตัวเลือกไม่มีตัวเลือกแบบนี้แน่ๆ เราต้องทำต่อโดยการเอา คอนจูเกตตัวส่วนคูณเข้าทั้งเศษและส่วนครับจะได้
\begin{array}{lcl}\frac{1-2\sqrt{2}}{1+2\sqrt{2}}\times \frac{1-2\sqrt{2}}{1-2\sqrt{2}}&=&\frac{1+8-2\sqrt{2}-2\sqrt{2}}{1-8}\\&=&\frac{9-4\sqrt{2}}{-7}\\&=&\frac{4\sqrt{2}-9}{7}\end{array}
ตัวอย่างที่ 4 กำหนดให้ \(cosec A= 3\) เมื่อ A อยู่ในจตุภาคที่ 2 จงหาค่าของ \(cos\left(A-\frac{\pi}{3}\right)\)
วิธีทำ ข้อนี้ทำเหมือนตัวอย่างข้อที่ผ่านมาครับผม
เนื่องจาก \(cosecA=3\) ดังนั้น \(sinA=\frac{1}{3}\) และสิ่งที่เราต้องพิจารณาต่อคือ เนื่องจาก มุม A ตกอยู่ในจตุภาคที่ 2 ค่าของ \(cosA\) จะติดลบ ต้องระวังเครื่องหมายด้วย ส่วนค่า \(sinA\) เป็นบวกครับ ไปวาดรูปสามเหลี่ยมมุมฉากกันเลยครับ
จากรูป \(cosA=-\frac{2\sqrt{2}}{3}\) และ \(sinA=\frac{1}{3}\) อย่าลืม \(cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2},\quad sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\begin{array}{lcl}cos\left(A-\frac{\pi}{3}\right)&=&cosAcos\frac{\pi}{3}+sinAsin\frac{\pi}{3}\\&=&-\frac{2\sqrt{2}}{3}(\frac{1}{2})+\frac{1}{3}(\frac{\sqrt{3}}{2}\\&=&-\frac{2\sqrt{2}}{6}+\frac{\sqrt{3}}{6}\\&=&\frac{\sqrt{3}-2\sqrt{2}}{6}\end{array}