วันนี้ผมจะขอยกตัวอย่างการนำสูตรมุมสองเท่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติไปหาค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติ ก่อนอื่นเราไปดูสูตรของมุมสองเท่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติก่อนครับ ซึ่งก็จะมีต่างๆทั้งหมดดังนี้ จำเป็นต้องท่องจำนะครับ เพราะข้อสอบชอบออกจริงเลย อันไหนง่ายๆไม่ออกชอบออกอันที่มันยากๆ กลัวจะทำข้อสอบได้555
สูตรมุมสองเท่า
\(sin2A=2sinAcosA\)
\(\sin2A=\frac{2tanA}{1+tan^{2}A}\)
\(cos2A=cos^{2}A-sin^{2}A\)
\(\cos2A=\frac{1-tan^{2}A}{1+tan^{2}A}\)
สูตรสองเท่าของฟังก์ชัน คอสมีหลายตัวนะครับ เลือกใช้ให้เหมาะสมแล้วกัน
\(cos2A=2cos^{2}A-1\)
\(cos2A=1-2sin^{2}A\)
\(tan2A=\frac{2tanA}{1-tan^{2}A}\)
\(cot2A=\frac{cot^{2}A-1}{2cotA}\)
สูตรมีหลายสูตรเหลือเกิน ปวดหัว ไปดูการนำสูตรไปใช้กันเลยดีกว่าครับ
ตัวอย่างที่ 1 กำหนดให้ \(\frac{3\pi}{2}<A<2\pi\) และ \(cosA=\frac{3}{5}\) จงหาค่าของ
1.1 \(sinA\)
วิธีทำ จากมุม A ที่โจทย์กำหนดให้คือ \(\frac{3\pi}{2}<A<2\pi\) แสดงว่ามุม A ตกอยู่ในควอร์ดเรนท์ที่ 4 ซึ่งค่าของฟังก์ชันตรีโกณที่อยู่ในควอร์ดเรนท์ที่ 4 ค่าของ cos จะเป็นบวก นอกนั้นเป็นลบหมดนะครับ นี่คือสิ่งที่เรารู้คราวๆก่อนทำโจทย์ ผมจะใช้เอกลักษณ์ตรีโกณมิติในการหาค่า \(sinA\) นะครับ ใครจะใช้สามเหลี่ยมมุมฉากก็ได้
จากเอกลักษณ์ตรีโกณมิติ
\(sin^{2}A+cos^{2}A=1\)
\(sin^{2}A+(\frac{3}{5})^{2}=1\)
\(sin^{2}A=1-\frac{9}{25}\)
\(sin^{2}A=\frac{16}{25}\)
\(sinA=\pm \frac{4}{5}\)
แต่ มุม A อยู่ควอร์ดเรนท์ที่ 4 ค่าของ sinA ต้องติดลบนะครับ ระวังตรงนี้ด้วย ดังนั้น
\(sinA=-\frac{4}{5}\)
1.2 \(sin2A\)
วิธีทำ ใช้สูตรมุมสองเท่าเลยนะครับ
จากสูตร \(sin2A=2sinAcosA\) แทนค่าลงไปเลย เอาค่า cosA ในข้อ 1.1 มาใช้ได้เลยครับ
\(sin2A=2sinAcosA\)
\(sin2A=2(-\frac{4}{5})\frac{3}{5}\)
\(sin2A=-\frac{24}{25}\)
1.3 \(cos2A\)
วิธีทำ ข้อนี้เลือกใช้สูตรไหนก็ได้นะครับ ผมใช้สูตรนี้แล้วกัน
\(cos2A=cos^{2}A-sin^{2}A\)
\(cos2A=(\frac{3}{5})^{2}-(-\frac{4}{5})^{2}\)
\(cos2A=\frac{9}{25}-\frac{16}{25}\)
\(cos2A=-\frac{7}{25}\)
1.4 \(sin4A\)
วิธีทำ เราไม่มีสูตรมุม 4 เท่านะครับแต่จะประยุกต์จากมุมสองเท่านี่แหละ
จาก \(sin4A=sin2(2A)\) ดังนั้นข้อนี้ก็คือการหาค่า \(sin2(2A)\) นั่นเอง
\(sin2(2A)=2sin2Acos2A\) ดูดีๆนะเชื่อเลยว่าต้องมีคนไม่เข้าใจลองค่อยๆอ่านนะ
\(sin2(2A)=2(-\frac{24}{25})(-\frac{7}{25})\)
\(sin2(2A)=\frac{336}{625}\)
ตัวอย่างที่ 2 จงใช้สูตรมุมสองเท่า เพื่อหาค่าที่กำหนดให้
2.1 \(2sin15^{\circ}cos15^{\circ}\)
วิธีทำ ถ้าผมให้ 15=A แทนลงไปในโจทย์เราก็จะได้ \(2sinAcosA\) จากสูตรที่เรารู้มาคือ \(2sinAcosA=sin2A\) ดังนั้น
\(2sin15^{\circ}cos15^{\circ}=sin2(15^{\circ})=sin30^{\circ}=\frac{1}{2}\)
2.1 \(cos 22.5^{\circ} sin22.5^{\circ}\)
วิธีทำ ทำเหมือนเดิมให้ลองให้ 22.5=A เราก็จะได้
\(cosAsinA\) ต่อไปผมจะเอา \(\frac{2}{2}\) คูณเข้าทั้งเศษและส่วน คิดตามนะทำไมถึงเอาเลขนี้คูณเข้า จะได้
\(\frac{2sinAcosA}{2}\) จะเห็นว่า \(2sinAcosA=sin2A\) เข้าสูตรที่เราต้องการแล้วนะ จะได้
\(=\frac{sin2A}{2}\) แทนค่า A ด้วย 22.5 ลงไป
\(=\frac{sin(2\times 22.5)^{\circ}}{2}\)
\(=\frac{sin45^{\circ}}{2}\)
\(=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}\)
\(=\frac{\sqrt{2}}{4}\) Ans.
2.3 \(sin15^{\circ}sin75^{\circ}\)
วิธีทำ ข้อนี้ต้องใช้เทคนิคนิดหนึ่งครับ เนื่องจาก \(sin75^{\circ}=cos15^{\circ}\) แทนลงไปในโจทย์เลยครับจะได้
\(sin15^{\circ}sin75^{\circ}\) แทนไซน์75ด้วยคอส15ครับจะได้
\(=sin15^{\circ}cos15^{\circ}\) ต่อไปเหมือนเดิม เอา \(\frac{2}{2}\) คูณเข้าไปเพื่อให้เข้าสูตร
\(=\frac{2sin15^{\circ}cos15^{\circ}}{2}\) ต่อไป \(2sin15^{\circ}cos15^{\circ}=sin(2\times 15)^{\circ}\)
\(=\frac{sin(2\times 15)^{\circ}}{2}\)
\(=\frac{sin30^{\circ}}{2}\)
\(=\frac{\frac{1}{2}}{2}\)
\(=\frac{1}{4}\)
2.4 \(\frac{sin1^{\circ}sin88^{\circ}sin89^{\circ}}{sin4^{\circ}}\)
วิธีทำ ข้อนี้เหมือนจะยากแต่ไม่ยากทำไปทำมาเนียะสามารถตัดทอนกันได้หมดครับ ทำเหมือนข้อที่ผ่านมาเลยครับเอาสองส่วนสองคูณเข้าครับเริ่มทำเลยนะ
\(\frac{sin1^{\circ}sin88^{\circ}sin89^{\circ}}{sin4^{\circ}}\) เนื่องจาก \(sin89^{\circ}=cos1^{\circ}\) จะได้
\(=\frac{sin1^{\circ}sin88^{\circ}cos1^{\circ}}{sin4^{\circ}}\) จัดรูปนิดหนึ่ง
\(=\frac{sin1^{\circ}cos1^{\circ}sin88^{\circ}}{sin4^{\circ}}\) ต่อไปเอาสองส่วนสองคูณเข้าครับ
\(=\frac{2sin1^{\circ}cos1^{\circ}sin88^{\circ}}{2sin4^{\circ}}\)
\(=\frac{sin2^{\circ}sin88^{\circ}}{2sin(2\times 2)^{\circ}}\)
\(=\frac{sin2^{\circ}sin88^{\circ}}{2\times 2sin2^{\circ}cos2^{\circ}}\) จะเห็นว่าไซน์สองตัดกันได้นะตัดกันเลยครับ
\(=\frac{sin88^{\circ}}{4cos2^{\circ}}\) ต่อไป \(sin88^{\circ}=cos2^{\circ}\) แทนค่าลงไปเลยครับจะได้
\(=\frac{cos2^{\circ}}{4cos2^{\circ}}\) คอสสองตัดทอนได้นะ
\(=\frac{1}{4}\)
2.5 \((sin15^{\circ}-cos15^{\circ})^{2}\)
วิธีทำ ข้อนี้ยกกำลังสองเลยแล้วจะเห็นภาพชัดเจนว่าควรทำไงต่อครับ
\((sin15^{\circ}-cos15^{\circ})^{2}\)
\(=sin^{2}15^{\circ}-2sin15^{\circ}cos15^{\circ}+cos^{2}15^{\circ}\) จัดรูปนิดหนึ่งจะได้
\(=sin^{2}15^{\circ}+cos^{2}15^{\circ}-2sin15^{\circ}cos15^{\circ}\) จำได้ไหมเอกลักษณ์ตรีโกณมิติ \(sin^{2}A+cos^{2}A=1\) ดังนั้น \(=sin^{2}15^{\circ}+cos^{2}15^{\circ}=1\) แทนลงไปเลยครับ
\(=1-2sin15^{\circ}cos15^{\circ}\)
\(=1-sin(2\times 15)^{\circ}\)
\(=1-sin30^{\circ}\)
\(=1-\frac{1}{2}\)
\(=\frac{1}{2}\)
2.6 \(cosec10^{\circ}-\sqrt{3}sec10^{\circ}\)
วิธีทำ ข้อนี้ต้องใช้พวกความรู้ส่วนกลับ พวกการหาผลต่างของฟังก์ชันตรีโกณมิติเช่น
\(cosec\theta =\frac{1}{sin\theta}\)
\(sec\theta=\frac{1}{cos\theta}\)
\(sinAcosB-cosAsinB=sin(A-B)\)
อะไรพวกนี้แหล่ะครับมาดูการทำเลยดีกว่า
\(cosec10^{\circ}-\sqrt{3}sec10^{\circ}\)
\(=\frac{1}{sin10^{\circ}}-\sqrt{3}\frac{1}{cos10^{\circ}}\) ทำการคูณไขว้
\(=\frac{cos10^{\circ}-\sqrt{3}sin10^{\circ}}{sin10^{\circ}cos10^{\circ}}\)
ต่อไปเอา \(\frac{2}{2}\) คูณเข้าไปครับ
\(=\frac{2(cos10^{\circ}-\sqrt{3}sin10^{\circ})}{2sin10^{\circ}cos10^{\circ}}\)
\(=\frac{2(cos10^{\circ}-\sqrt{3}sin10^{\circ})}{sin20^{\circ}}\) ต่อไปเอา \(\frac{2}{2}\) คูณเข้าเฉพาะตัวเศษ ดูดีๆนะขั้นตอนนี้
\(=\frac{2\times \frac{2}{2}(cos10^{\circ}-\sqrt{3}sin10^{\circ})}{sin20^{\circ}}\)
\(=\frac{2\times 2(\frac{1}{2}cos10^{\circ}-\frac{\sqrt{3}}{2}sin10^{\circ})}{sin20^{\circ}}\)
อย่าลืมนะ \(sin30^{\circ}=\frac{1}{2}\) และ \(cos30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(=4\frac{(sin30^{\circ}cos10^{\circ}-cos30^{\circ}sin10^{\circ})}{sin20^{\circ}}\)
\(=4\frac{sin(30^{\circ}-10^{\circ})}{sin20^{\circ}}\)
\(=4\frac{sin20^{\circ}}{sin20^{\circ}}\)
\(=4\)
ตัวอย่างที่ 3 กำหนดให้ \(sin\theta cos\theta=\frac{1}{8}\) จงหาค่าของ \(cos^{2}2\theta\)
วิธีทำ ข้อนี้ใช้ความรู้ของมุมสองเท่าเช่นกันครับ โจทย์ให้หาตัวนี้ \(cos^{2}2\theta\) ลองกระจายมันออกมาก่อนครับ มันยกกำลังสองอยู่แสดงว่ามันคูณกันอยู่สองตัวครับ จะได้
\(cos^{2}2\theta=cos2\theta cos2\theta\) ต่อไปลองใช้สูตรมุมสองเท่าของคอสครับ
จะเห็นว่าสูตรมุมสองเท่าของคอสที่เรามีจะมีอยู่เยอะ ก็คือ
\(cos2A=2cos^{2}A-1\) อีกอัน
\(cos2A=1-2sin^{2}A\) ผมจะใช้สองอันนี้เลยนะครับแทนค่าลงไปใน \(cos2\theta\) ข้างบนไม่ต้องงงนะครับ \(\theta\) ในที่นี้ก็คือมุม A ในเองจะได้
\(cos^{2}2\theta=cos2\theta cos2\theta\)
\(cos^{2}2\theta=(2cos^{2}\theta-1)(1-2sin^{2}\theta)\) จับคูณกันเหมือนคูณพหุนามธรรมดา คือ หน้าคูณหน้า หลังคูณหลัง ใกล้คูณใกล้ ไกลคูณไกลครับ
\(cos^{2}2\theta=2cos^{2}\theta+2sin^{2}\theta-1-4sin^{2}\theta cos^{2}\theta\)
\(cos^{2}2\theta=2(cos^{2}\theta+sin^{2}\theta)-1-4sin^{2}\theta cos^{2}\theta\) อย่าลืมเอกลักษณ์ตรีโกณมิติต้องใช้งานเสมอนะก็คือ \(cos^{2}\theta+sin^{2}\theta=1\)
\(cos^{2}2\theta=2(1)-1-4sin^{2}\theta cos^{2}\theta\)
อีกอันที่โจทย์ให้มาก็คือ
\(sin\theta cos\theta=\frac{1}{8}\) ลองยกกำลังสองทั้งสองข้างดูจะได้
\(sin^{2}\theta cos^{2}\theta=(\frac{1}{8})^{2}\)
\(sin^{2}\theta cos^{2}\theta=(\frac{1}{64})\) เห็นข้างบนที่เราค้างไว้ไหมที่คิดค้างไว้คือค่านี้นะ \(sin^{2}\theta cos^{2}\theta\) ซึ่งมีค่าเป็นหนึ่งส่วนหกสิบสี่ ทำต่อเลยนะ
\(cos^{2}2\theta=2(1)-1-4sin^{2}\theta cos^{2}\theta\)
\(cos^{2}2\theta=2(1)-1-4(\frac{1}{64})\)
\(cos^{2}2\theta=2-1-4(\frac{1}{64})\) 4 ตัดกับ 64 ได้นะ
\(cos^{2}2\theta=1-(\frac{1}{16})\)
\(cos^{2}2\theta=\frac{16-1}{16}\)
\(cos^{2}2\theta=\frac{15}{16}\) Ans. ไม่ยากนะค่อยๆอ่านกันครับ
ตัวอย่างที่ 4 ค่าของ \(\left(\frac{sin30^{\circ}}{sin10^{\circ}}-\frac{cos30^{\circ}}{cos10^{\circ}}\right)\) เท่ากับเท่าใด [Pat1(ก.ค.52)]
วิธีทำ ข้อนี้เป็นข้อสอบเข้ามหาลัยครับไม่ยากครับอย่างน้อยถ้าเราเจอข้อนี้ก็ควรลองคูณไขว้ดูก่อนครับ
\(\left(\frac{sin30^{\circ}}{sin10^{\circ}}-\frac{cos30^{\circ}}{cos10^{\circ}}\right)\)
\(=\frac{(sin30cos10-cos30sin10)}{sin10cos10}\)
\(=\frac{sin(30-10)}{sin10cos10}\)
\(=\frac{sin20}{sin10cos10}\)
\(=\frac{2sin20}{2sin10cos10}\)
\(=\frac{2sin20}{sin20}\)
\(=2\)
สนับสนุนเว็บไซต์