การคูณเวกเตอร์ด้วยสเกลาร์ พูดให้เข้าใจง่ายเป็นภาษาชาวบ้านก็คือการเอาตัวเลขไปคูณกับเวกเตอร์ สมมติมีเวกเตอร์เวกเตอร์หนึ่งให้ชื่อว่าเวกเตอร์ \(\vec{u}\) ถ้าเราเอาตัวเลขไปคูณยู ผมเอาเลข 4 แล้วกัน ก็จะได้เวกเตอร์ใหม่ขึ้นมาคือเวกเตอร์ \(4\vec{u}\) เวกเตอร์ที่เกิดขึ้นมาใหม่นี้เป็นเวกเตอร์ที่มีทิศทางเดียวกันเวกเตอร์ยูและมีขนาดเป็น4เท่าของเวกเตอร์ยู
แต่ผมเอาเลข -4 ไปคูณกับเวกเตอร์ยู ก็จะได้เวกเตอร์ใหม่ขึ้นมาคือ \(-4\vec{u}\) เวกเตอร์ที่เกิดขึ้นมาใหม่นี้เป็นเวกเตอร์ที่มีทิศทางตรงกันข้ามกับเวกเตอร์ยูและมีขนาดเป็น4เท่าของเวกเตอร์ยู
จากภาพด้านล่างนะครับ จะเห็นเวกเตอร์สีเขียวคือเวกเตอร์\(\vec{u}\) และสีดำคือเวกเตอร์ \(\vec{2u}\) ซึ่งเวกเตอร์สองยูเป็นเวกเตอร์ที่มีขนาดเป็นสองเท่าของเวกเตอร์ยูและมีทิศทางเดียวกันกับยูด้วย
ต่อไปมาดูนิยามที่สำคัญสำหรับการคูณเวกเตอร์ด้วยสเกลาร์
นิยาม
กำหนดให้ \(a\) เป็นจำนวนจริง และ \(\vec{u}\) เป็นเวกเตอร์ ผลคูณระหว่าง \(a\) และ \(\vec{u}\) จะเป็นเวกเตอร์ เขียนแทนด้วย \(a\vec{u}\) พูดเป็นภาษาชาวบ้านก็คือ ผลคูณระหว่างตัวเลขกับเวกเตอร์จะออกมาเป็นเวกเตอร์ครับ
1. ถ้า \(a=0\) แล้ว \(a\vec{u}=\vec{0}\) ความหมายก็คือเอาเลขศูนย์ไปคูณกับเวกเตอร์อะไรก็ได้ผลลัพธ์ออกมาจะเป็นเวกเตอร์ศูนย์
2. ถ้า \(a>0\) แล้ว \(a\vec{u}\) จะมีขนาดเท่ากับ \(|a||\vec{u}|\) และมีทิศทางเดียวกันกับ \(\vec{u}\)
3. ถ้า \(a<0\) แล้ว \(a\vec{u}\) จะมีขนาดเท่ากับ \(|a||\vec{u}|\) และมีทิศทางตรงกันกันข้ามกับ \(\vec{u}\) คือถ้าเอาเลขลบคูณเข้าจะมีทิศทางตรงกันข้ามครับ
ต่อไปเรามาดูแบบฝึกหัดกันดีกว่า ไอ้พวกบทนิยามอย่าอ่านมาก อ่านพอเข้าใจอย่าไปจำมันเยอะครับ ต้องหัดทำแบบฝึกหัดเยอะๆแล้วนิยามจะได้โดยอัตโนมัติ
แบบฝึกหัด
1. จากรูป ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานมี O เป็นจุดกึ่งกลางของเส้นทแยงมุม BD ถ้า \(\vec{AB}=\vec{u},\vec{AD}=\vec{v}\) จงเขียนเวกเตอร์ \(\vec{AO}\) และ \(\vec{BO}\) ในรูปของ \(\vec{u}\) และ \(\vec{v}\)
วิธีทำ การที่เราจะทำแบบฝึกหัดข้อนี้ได้เราต้องเข้าใจเกี่ยวกับการบวก การลบเวกเตอร์คือต้องรู้ว่าเวกเตอร์เส้นนี้เกิดจากเส้นไหนบ้างบวกกัน อันนี้ให้ไปทบทวนเองครับ เรามาทำโจทย์ข้อนี้กันเลยดีกว่า จากรูปจะเห็นว่า
\(\vec{AO}=\vec{AB}+\vec{BO}\) เนื่องจากโจทย์กำหนดให้ว่า \(\vec{AB}=\vec{u}\) แทนค่าลงไปเราจะได้
\(\vec{AO}=\vec{u}+\vec{BO}\) ผมให้สมการนี้ชื่อว่าสมการที่ 1 เก็บสมการนี้เอาไว้ก่อน ต่อไปเราก็หาว่าเวกเตอร์บีโอมันคืออะไรบวกกันบ้าง ซึ่งจากรูปจะเห็นว่าบีโอเป็นครึ่งหนึ่งของ บีดี ดังนั้นถ้าเขียนเป็นสมการจะได้
\(\vec{BO}=\frac{1}{2}\vec{BD}\) สมการนี้ให้ชื่อว่าสมการที่ 2 ซึ่งจากรูปเวกเตอร์บีดี เท่ากับ เวกเตอร์บีเอ บวกกับ เวกเตอร์เอดี ก็คือถ้าเขียนเป็นสมการคือ
\(\vec{BD}=\vec{BA}+\vec{AD}\) ใช้ไหมครับ ซึ่งโจทย์กำหนดให้ \(\vec{AD}=\vec{v}\) และ \(\vec{AB}=\vec{u}\) จะได้ \(\vec{BA}=-\vec{u}\) ฉะนั้นจะได้ \(\vec{BD}=-\vec{u}+\vec{v}\) เอาค่าเวกเตอร์บีดีที่เราได้นี้ไปแทนใน สมการที่ 2 จะได้
\(\vec{BO}=\frac{1}{2}\vec{BD}\)
\(\vec{BO}=\frac{1}{2}(-\vec{u}+\vec{v})\) แล้วเอาค่าเวกเตอร์บีโอนี้ไปแทนในสมการที่ 1 เพื่อหาคำตอบจะได้
\(\vec{AO}=\vec{u}+\vec{BO}\)
\(\vec{AO}=\vec{u}+\frac{1}{2}(-\vec{u}+\vec{v})\)
\(\vec{AO}=\vec{u}+\frac{1}{2}\vec{v}-\frac{1}{2}\vec{u}\)
\(\vec{AO}=\frac{1}{2}\vec{u}+\frac{1}{2}\vec{v}\) Ans ตอบแล้วนะครับไม่รู้เข้าใจกันบ้างไหม ไม่ยากนะค่อยๆทำ
ต่อไปเราไปหาค่าของ \(\vec{BO}\) ดีกว่าครับ ดูรูปเอาเองนะค่อยๆคิดจากรูปจะได้
\(\vec{BO}=\vec{BA}+\vec{AO}\) เอาที่ทำข้างบนมาใช้ด้วยนะ
\(\vec{BO}=-\vec{u}+\frac{1}{2}\vec{u}+\frac{1}{2}\vec{v}\)
\(\vec{BO}=\frac{1}{2}\vec{v}-\frac{1}{2}\vec{u}\) Ans ตอบแล้วนะครับ
2. จากรูป กำหนดให้ ABC เป็นสามเหลี่ยมใดๆ \(\vec{AD}=\vec{a},AD=\frac{1}{4},\vec{BE}=\vec{EC}=\vec{b}\) และ F เป็นจุดกึ่งกลางของ DC จงเขียนเวกเตอร์ต่อไปนี้ในรูป \(\vec{a}\) และ \(\vec{b}\)
2.1) \(\vec{DF}\)
วิธีทำ ดูจากรูปเอานะ พยายามศึกษาเกี่ยวกับการบวกเวกเตอร์ที่เป็นแบบลูกศรว่า ลูกศรหรือว่าเวกเตอร์นี้เกิดเส้นไหนบ้างบวกกันหรือลบกัน ข้อนี้ค่อนข้างยุ่งยากนิดหนึ่งเพราะมีหลายเส้น จากรูป
\begin{array}{}\vec{DF}=\vec{DB}+\vec{BE}+\vec{EC}+\vec{CF}\\ \vec{DF}=4\vec{a}+\vec{b}+\vec{b}+\frac{1}{2}\vec{CD}\end{array} ให้สมการนี้เป็นสมการที่ 1
จากรูปจะเห็นว่าซีเอฟ เป็นครึ่งหนึ่งของซีดีนะ ดูรูปดีครับ
มาดูเวกเตอร์ซีดีบ้าง จากรูปจะเห็นว่า
\(\vec{CD}=\vec{CE}+\vec{EB}+\vec{BD}\)
โจทย์กำหนดให้ว่า \(\vec{BE}=\vec{EC}=\vec{b}\) ดังนั้น \(\vec{EB}=\vec{CE}=-\vec{b}\) และ \(\vec{BD}=-3\vec{a}\) แทนค่าลงไปในสมการที่ 1 เลย จะได้
\begin{array}{}\vec{DF}=\vec{DB}+\vec{BE}+\vec{EC}+\vec{CF}\\ \vec{DF}=3\vec{a}+\vec{b}+\vec{b}+\frac{1}{2}\vec{CD}\\ \vec{DF}=3\vec{a}+\vec{b}+\vec{b}+\frac{1}{2}\left(\vec{CE}+\vec{EB}+\vec{BD}\right)\\ \vec{DF}=3\vec{a}+2\vec{b}+\frac{1}{2}\left(-\vec{b}-\vec{b}-3\vec{a}\right) \\ \vec{DF}=3\vec{a}+2\vec{b}+\left(-\vec{b}-\vec{b}-\frac{3}{2}\vec{a}\right) \\ \vec{DF}=\frac{3}{2}\vec{a}+\vec{b}\end{array}
2.2) \(\vec{AC}\)
วิธีทำ ข้อนี้ง่ายครับพยายามดูรูปดีๆจากรูปจะเห็นว่า
\begin{array}{}\vec{AC}=\vec{AB}+\vec{BC}\\ \vec{AC}=4\vec{a}+2\vec{b}\end{array}
2.3) \(\vec{AF}\)
วิธีทำ ดูรูปประกอบนะ ในรูปไม่มีเวกเตอร์เอเอฟต้องวาดขึ้นมาเองเลยครับ ข้างบนข้อที่ผ่านมาเอามาช่วยด้วยทำข้อนี้ได้นะครับ จะได้ว่า
\begin{array}{}\vec{AF}=\vec{AB}+\vec{BC}+\vec{CF}\\ \vec{AF}=4\vec{a}+2\vec{b}+-\vec{b}-\frac{3}{2}\vec{a}\\ \vec{AF}= \frac{5}{2}\vec{a}+\vec{b}\end{array}