การคูณพหุนาม

12. 12. 24
posted by: Administrator
Last Updated: 14 May 2016
Created: 24 December 2012
Hits: 81860

การคูณพหุนาม  ก็เหมือนกับการคูณจำนวนตัวเลขธรรมดาครับไม่มีอะไรยากครับ แค่จับ concept ได้ ก็ง่ายแล้วครับ ก่อนจะเข้าสู่เนื้อหาจริงๆ ผมจะขอทบทวน เพื่อเตรียมความพร้อมก่อนน่ะครับ

 

ทบทวนก่อนเรียน

\(xy\)  หมายถึง \(x\)  คูณกับ  \(y\)

\(10x\)  หมายถึง \(10\) คูณกับ \(x\)

\(25xy\)  หมายถึง \(25\)  คูณกับ \(x\)  คูณกับ \(y\)

\(55\cdot x\)  หมายถึง  \(55\)  คูณกับ  \(x\)

\(23 \times y \)  หมายถึง \(23\)  คูณกับ \(y\)

คือสัญลักษณ์ของการคูณนั้นมีหลากหลายมากครับ เขียนติดกันก็เป็นการคูณ เช่น xy  บางครั้งใช้สัญลักษณจุดเช่น \(x \cdot y  \) หรือบางครั้งใช้เครื่องหมายกากบาท เช่น \(m \times n \) ก็เป็นการคูณเหมือนกันครับ บางครั้งน้องๆม.1 อาจจะยังไม่คุ้นเคย เพราะเจอแต่สัญลักษณ์เดียวคือกากบาท ก็เลยเขียนอธิบายเพื่อให้เข้าใจตรงกันครับ

สิ่งที่ต้องรู้อีกอย่างหนึ่งคือ การคูณกันของเลขยกกำลังครับ

นิยาม ให้ \(x,y\) เป็นจำนวนจริงใดๆ  และ \(m,n \geqslant 0 \)  จะได้ว่า

1. \( x^{m}x^{n}=x^{m+n} \)  ( ฐานเหมือนกันคูณกัน ให้เอาเลขชี้้กำลังมาบวกกันครับ)

2. \( \left(x^{m}\right)^{n} =x^{mn}\)  ข้อ 2 แถมให้ครับระดับนี้ยังไม่ได้ใช้แต่รู้ไว้ครับ

ตัวอย่างเช่น

\( x^{6} x^{5} = x^{6+5}=x^{11} \)

\( 15x^{3}x^{7}=15x^{3+7}=15x^{10}\)

\(y^{3}y^{4}=y^{3+4}\)

\(x^{2}y^{9}x^{6}y^{5}=x^{2+6}y^{9+5}=x^{8}y^{14}\)

\({\color{blue}7x(x+4)=(7x)(x)+(7x)(4)=7x^{1+1}+28x=7x^{2}+28x}\)

มาฝึกทำโจทย์กันดีกว่าครับ

แบบฝึกหัด 2.5 เรื่องการคูณพหุนาม

จงหาผลคูณต่อไปนี้

1)  \((2x)(3x)\)

วิธีทำ \((2x)(3x)\)

\(=(2 \times 3)(x \times x) \)

\(=6x^{(1+1)}\)   (ฐานเหมือนกันคูณกันเอาเลขชี้กำลังบวกกัน)

\(=6x^2\)


 

2)  \((-x)(-y) \)

วิธีทำ \((-x)(-y) \)

\(=(-1)(-1)(xy)\)

\(=xy\)


 

3) \((9xy)(3)\)

วิธีทำ \((9xy)(3)\)

\(=(9)(3)(xy)\)

\(=27xy\)


 

4)  \(\left( \frac{1}{2} x \right) (8x^{2}) \)

วิธีทำ \(\left( \frac{1}{2} x \right) (8x^{2}) \)

\(=(\frac{1}{2})(8)(x\cdot x^{2}) \)

\(=\frac{8}{2}x^{(1+2)}\)

\(=4x^{3}\)


 

5) \((-2xy)(-y)\)

วิธีทำ \((-2xy)(-y)\)

\(=(-2)(-1)(xyy)\)

\(=2xy^{2}\)


 

6) \(0(12xz^{2})\)

วิธีทำ \(0(12xz^{2})\)

\(=0(12xz^{2})=0\)    (ข้อนี้ตอบ ศูนย์ครับ เพราะว่าศูนย์คูณอะไรก็ได้ศูนย์)

 


 

7) \((-4x)(-13xy)\)

วิธีทำ \((-4x)(-13xy)\)

\(=(-4)(-13)(xxy)\)

\(=52x^{2}y\)

 


 

8)  \((-9xy^{2})(11xy)\)

วิธีทำ \((-9xy^{2})(11xy)\)

\(=(-9)(11)(xxy^{2}{y}\)

\(=-99x^{2}y^{3}\)

 


 

9)  \((-3xy)(4x^{3})\)

วิธีทำ \((-3xy)(4x^{3})\)

\(=(-3)(4)(xx^{3}y)\)

\(=-12x^{4}y\)


 

10)  \( (10x^{2}y)(-6xy^{2}\)

วิธีทำ \( (10x^{2}y)(-6xy^{2}\)

\(=(10)(-6)(x^{2}xyy^{2}\)

\(=-60x^{3}y^{3}\)


 

11)  \( (-14y^{2})(2yz^{2})\)

วิธีทำ \( (-14y^{2})(2yz^{2})\)

\(=(-14)(2)(y^{2}yz^{2}\)

\(=-28y^{3}z^{2}\)


 

2. จงหาผลคูณต่อไปนี้

1)  \(6(5x+2)\)

วิธีทำ \(6(5x+2)\)

\(=(6)(5x)+(6)(2)\)

\(=30x+12\)


 

2) \(\frac{1}{2}(4x+6)\)

วิธีทำ \(\frac{1}{2}(4x+6)\)

\(=(\frac{1}{2})(4x)+(\frac{1}{2}(6)\)

\(=\frac{4x}{2}+\frac{6}{2}\)

\(=2x+3\)


 

3) \(x(x-1)\)

วิธีทำ \(x(x-1)\)

\(=x\left[x+(-1)\right] \)

\(=(x)(x)+(x)(-1)\)

\(=x^{2}+(-x)\)

\(=x^{2}-x\)

 


 

4) \( (-7x)(-8x+9)\)

วิธีทำ \( (-7x)(-8x+9)\)

\(=(-7x)(8x)+(-7x)(9)\)

\(=(-7)(8)(xx)+(-7)(9)(x)\)

\(=-56x^{2}+(-63)x\)

\(=-56x^{2}-63x\)

หลังจากที่เขียนบทความนี้ไว้นานแล้วรู้สึกว่ายังเขียนไม่ครอบคลุมเกี่ยวกับการคูณพหุนามทั้งหมดวันนี้(6พ.ย.56)ก็ได้ฤกษ์เขียนบทความเพิ่มเติม ซึ่งสิ่งที่จะเขียนต่อไปนี้ก็ไม่ยากคับ พยายามอ่านทำความเข้าใจน่ะคับ

ก่อนที่จะเริ่มต้นคูณพหุนาม ผมขอทบทวนเกี่ยวกับหลักการคูณสักนิดก่อนน่ะคับ

จำนวนบวก คูณกับ จำนวนบวก ผลลัพธ์จะได้เป็นจำนวนบวกเสมอ ยกตัวอย่างเช่น

\( 5 \times 2=10\)  สองกับห้า ต่างก็เป็นจำนวนบวกทั้งคู่ผลลัพธ์ที่ได้คือสิบ ซึ่งเป็นจำนวนบวกด้วย

\(5x \times2x=10x^{2}\) ห้าเอ็กซ์ กับ สองเอ็กซ์ ต่างก็เป็นจำนวนบวกทั้งคู่ผลลัพธ์ที่ได้คือสิบเอ็กซ์กำลังสองซึ่งเป็นจำนวนบวกด้วย

จำนวนลบ คูณกับ จำนวนลบ ผลลัพธ์ที่ได้เป็นจำนวนบวกเสมอ ยกตัวอย่างเช่น

\(-5\times  -2 =10 \) ลบห้า กับ ลบสองต่างก็เป็นจำนวนลบทั้งคู่ ผลลัพธ์ที่ได้คือ สิบ ซึ่งเป็นจำนวนบวก

\(-5x \times -2x=10x^{2}\) ลบห้าเอ็กซ์ กับ ลบสองเอ็กซ์ ต่างก็เป็นจำนวนลบทั้งคู่ ผลลัพธ์ที่ได้คือ สิบเอ็กซ์ยกกำลังสองซึ่งเป็นจำนวนบวก

แต่ถ้า

จำนวนลบ คูณกับ จำนวนบวก หรือ จำนวนบวก คูณกับ จำนวนลบ พูดง่ายๆคือจำนวนสองจำนวนนั้นมีเครื่องหมายต่างกันผลลัพธ์ที่ได้จากการคูณจะเป็นลบเสมอ  ยกตัวอย่างเช่น

\(-5 \times 2=-10\) ตัวหนึ่งเป็นจำนวนลบอีกตัวเป็นจำนวนบวกผลลัพธ์ที่ได้เป็นลบเสมอซึ่งก็คือลบสิบคับ

\(5x\times(-2x)=-10x^{2}\)เครื่องหมายต่างกันผลลัพธ์ออกมาเป็นลบคือลบสิบเอ็กยกกำลังสอง

นี่คือหลักการเกี่ยวกับเครื่องหมาย จำให้ดีน่ะครับว่าหลังจากที่เราคูณแล้วผลลัพธ์ที่ได้นั้นจะออกมาเป็นบวกหรือเป็นลบ

ต่อเลยน่ะครับ

ถ้าไปเจอการคูณพหุนามที่อยู่ในลักษณะนี้

\((x+2)(x+3)\)
\((2x-1)(5x+2)\)

\((x^{2}-1)(x+2)\) เป็นต้น

เราจะมีหลักการในคูณอย่างไร  วิธีการก็ง่ายๆคับ  ดูจากรูปข้างล้างน่ะ

มาดูตัวอย่างการทำดึกว่า

จงหาผลคูณต่อไปนี้

1.\((x+1)(x+2)\)

วิธีทำ ดูจากรูปข้างบนประกอบน่ะคับ

เอาหน้า คูณ หน้า ,ใกล้ คูณ ใกล้ , ไกล คูณ ไกล ,หลัง คูณ หลัง ตามรูปส่วนเครื่องหมายดูดีน่ะว่าเป็นบวกหรือเป็นลบผมได้เขียนอธิบายไว้หมดแล้ว อ่านให้เข้าใจก็ทำได้ ไม่ยากน่ะ

\((x+1)(x+2)=x(x)+1(x)+2(x)+1(2)\)

\(=x^{2}+3x+2\) เห็นไหม ไม่ยากเลยคับ ง่ายๆ จับหลักการให้ได้ ก็ไม่ยากแล้ว


 

2.\((x-1)(x-2)\)

วิธีทำ ข้อนี้หลักการเดียวกันเหมือนข้อข้างบน แต่ควรระวังเครื่องหมาย

\((x-1)(x-2)\)

เอาหน้าคูณ หน้า คือ \(x(x)=x^{2}\)

ใกล้ คูณ ใกล้ คือ \((-1)x=-x\)

ไกล คูณ ไกล คือ \((-2)x=-2x\)

หลัง คูณ หลัง คือ \((-1)(-2)=2\)

ดังนั้นจะได้

\((x-1)(x-2)=x^{2}-x-2x+2\)

\(=x^{2}-3x+2\) ระวังเครื่องหมายบวก ลบ น่ะคับ

ดูต่อพยายามทำความเข้าใจเองน่ะคับ


 

3.\((x+1)(x-4)\)

วิธีทำ

\((x+1)(x-4)=x(x)+1(x)+(-4x)+1(-4)\)  ระหว่างพจน์ให้ของคู่ที่เรานำมาจับคู่คูณกันให้ใส่เครื่องหมายบวกไว้  ต่อไปก็จะได้

\(=x^{2}+x-4x-4\)  เครื่องหมายต่างกันชนกันได้ลบน่ะคับ เช่นในตัวอย่าง +(-4x)=-4x และ +1(-4)=-4

\(=x^{2}-3x-4\)  พจน์ไหนที่ลบกันได้ก็จับลบกันคับ  x-4x=-3x

วันนี้พอแค่นี้ก่อนคับ รู้สึกว่าเบลอๆแล้ว ขอให้ทุกคนโชคดีสำหรับวันนี้เดี๋ยววันหลังจะยกตัวอย่างเพิ่มอีกคับ สวัสดี

 

 

เลื่อนไปด้านบน