การแปลงทศนิยมซ้ำเป็นเศษส่วน

12. 12. 22
posted by: Administrator
Last Updated: 14 May 2016
Created: 22 December 2012
Hits: 115893

ทศนิยมที่ไม่ใช่ทศนิยมซ้ำเราสามารถแปลงเป็นเศษส่วนได้ ตัวอย่าง เช่น

\(0.5=\frac{5}{10} \)

\(0.38=\frac{38}{100} \)

\(1.4=\frac{14}{10} \)

ในทำนองเดียวกันถ้าเรามีทศนิยมซ้ำเราก็สามารถที่จะแปลงเป็นเศษส่วนได้เช่นเดียวกัน ซึ่งมีวิธีการแปลงดังต่อไปนี้

 

ตัวอย่างที่ 1 จงแปลง \(0.\dot{4}\dot{7} \) ให้อยู่ในรูปเศษส่วน

วิธีทำ ให้ \(N=0.\dot{4}\dot{7} \)

ดังนั้น \(N=0.474747...\)   \(..........(1)\)

นำ \(100\) คูณทั้งสองข้างของสมการ \((1)\) จะได้

\(100N=47.474747\)   \(..........(2)\)

นำสมการ \( (2) \) ลบด้วยสมการ \((1)\) จะได้

\(100N - N   =  (47.474747...) - (0.474747...)\)

\( 99N = 47 \)

\(  N= \frac{47}{99}\)

นั่นคือ    \(0.\dot{4}\dot{7} \) สามารถเขียนเป็นเศษส่วนได้คือ  \(\frac{47}{99}\)

ตัวอย่างที่ 2 จงแปลง \(0.5\dot{6} \) ให้อยู่ในรูปเศษส่วน

วิธีทำ ให้ \(N=0.5\dot{6} \)

ดังนั้น  \(N=0.56666...\)  \(....(1)\)

นำ \(10\) คูณเข้าทั้งสองข้างของสมการ \((1)\)  จะได้

\(10N=5.6666...\)   \(.....(2)\)

นำ  \(100\)คูณทั้งสองข้างของสมการ \((1)\)  จะได้

\(100N=56.6666...\)  \(...(3)\)

นำสมการ  \((3)\)  ลบด้วยสมการ \((2)\)  จะได้

\(100N-10N=(56.6666)-(5.6666)\)

\(90N=51\)

\(N=\frac{51}{90}\)

\(=\frac{17}{30}\)

นั่นคือ \(0.5\dot{6}=\frac{17}{30} \)

ตัวอย่างที่ 3 จงแปลง \(0.4\dot{5}\dot{7}\)  ให้อยู่ในรูปเศษส่วน

วิธีทำให้  \(N=0.4\dot{5}\dot{7}\)

ดังนั้น \(N=0.4575757...\)  \(....(1)\)

นำ \(10\)  คูณเข้าทั้งสองข้างของสมการ  \((1)\) จะได้

\(10N=45.575757...\)   \(...(2)\)

นำ  \(1,000\) คูณเข้าทั้งสองข้างของสมการ  \((1)\) จะได้

\(1,000N=457.575757...\)  \((3)\)

นำสมการ \((3)\)  ลบด้วยสมการ \((2)\) จะได้

\(1,000N-10N=(457.575757...)-(4.575757)\)

\(990N=453\)

\(N=\frac{453}{990}\)

\(=\frac{151}{330}\)

นั่นคือ \(0.4\dot{5}\dot{7}=\frac{151}{330}\)

จากตัวอย่างที่กล่าวมาข้างต้นน่ะครับ สามารถสรุปเป็นหลักการง่ายๆในการแปลงทศนิยมซ้ำเป็นเศษส่วนได้ด้งนี้ครับ

กรณีที่ 1.ถ้าเป็นทศนิยมที่ซ้ำทั้งหมด อาจจะซ้ำตัวเดียวหรือหลายตัว (พูดง่ายๆก็คือไม่มีตัวที่ไม่ซ้ำเลย) ยกตัวอย่างเช่น

\(0.\dot{7}\)  ซ้ำตัวเดียว

\(0.\dot{5}\dot{4}\)  ซ้ำสองตัว

\(0.\dot{2}8\dot{9}\)  ซ้ำสามตัว

ถ้าทศนิยมซ้ำอยู่ในรูปแบบนี้ สามารถแปลงเป็นเศษส่วนได้ดังนี้ คือ ให้นำตัวเลขในตำแหน่งทศนิยมซ้ำหารด้วย  \(9\)  โดยจำนวนของเลข  \(9\)  เท่ากับตำแหน่งของการซ้ำของทศนิยม ตัวอย่างเช่น

\(0.\dot{4}5\dot{3}=\frac{453}{999}\)   ต้องมีเลข \(9\) สามตัวเพราะซ้ำสามตำแหน่ง


\(0.\dot{7}=\frac{7}{9}\)  มีเลข \(9\) ตัวเดียวเพราะซ้ำหนึ่งตำแหน่ง


\(0.\dot{5}\dot{4}=\frac{54}{99}\)   มีเลข \(9\)  สองตัวเพราะซ้ำสองตำแหน่ง


\(0.\dot{2}8\dot{9}=\frac{289}{999}\)  มีเลข \(9\)  สามตัวเพราะซ้ำสามตำแหน่ง

กรณีที่ 2ถ้าเป็นทศนิยมซ้ำไม่ทุกตำแหน่ง ให้นำตัวเลขในตำแหน่งทศนิยมทั้งที่ซ้ำและไม่ซ้ำลบด้วยตัวเลขทศนิยมในตำแหน่งที่ไม่ซ้ำ  หารด้วย \(9\)  โดยจำนวนของเลข \(9\) เท่ากับตำแหน่งของทศนิยมซ้ำและเติม  \(0\) เป็นจำนวนเท่ากับตำแหน่งของทศนิยมที่ไม่ซ้ำ เช่น

\(0.45\dot{5}\dot{6}=\frac{4556-45}{9900}\)

\(0.5\dot{6}=\frac{56-5}{90}\)

\(0.444\dot{5}=\frac{4445-444}{9000}\)

\(0.4\dot{5}\dot{7}=\frac{457-4}{990}\)

 
เลื่อนไปด้านบน