ทฤษฎีบทเศษเหลือนี้พูดง่ายๆก็คือเป็นทฤษฎีที่ช่วยในการหาเศษจากการหารของพหุนาม เช่น ถ้าเรา
ต้องการหาเศษจากการหารพหุนาม \(2x^{2}-5x+6\) ด้วย \(x-3\) ถ้าเราตั้งหารยาวตรงๆ เพื่อที่จะหาเศษนั้นมันจะยุ่งยากและยาวมาก...เพื่อเลี่ยงความยุ่งยากนี้เราก็มีเครื่องมือๆหนึ่ง....ซึ่งก็คือ ทฤษฎีบทเศษเหลือ เพื่อช่วยในการหาเศษจากการหารพหุนามนั้นเองคับ....มาดูรายละเอียดของทฤษฎีนี้กันเลยคับ
ทฤษฏีบทเศษเหลือ(Remainder Theorem เศษจากการหารพหุนาม \(P(x)\) ด้วย \(x-a\) คือ \(P(a)\) |
อ่านทฤษฎีนี้แล้วอาจจะงงๆใช่ป่าวคับ...จริงๆแล้วไม่ยากเลย...เพื่อความไม่งงเราไปดูตัวอย่างการนำทฤษฎีนี้ไปใช้กันเลยคับ
1.จงใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือหาเศษเหลือที่ได้จากการหารพหุนามในแต่ละข้อต่อไปนี้
1.1\(x^{3}+4x^{2}-x-3\) หารด้วย \(x-4\)
วิธีทำ พยายามดูให้เข้าใจน่ะคับ...เป็นการนำทฤษฎีบทเศษเหลือมาใช้น่ะคับ ไม่ยากคับ
ให้ \(P(x)=x^{3}+4x^{2}-x-3\) พูดง่ายๆก็คือ P(x) คือตัวตั้ง x-a ก็คือตัวหาร ซึ่งในที่นี้ก็คือ x-4 แสดงว่า a คือ 4 เขาให้หาเศษเหลือ ซึ่งเศษเหลือก็คือ P(a) หรือว่า P(4) นั้นเองคับ ไปหากันเลย
จากที่เราให้
\(P(x)=x^{3}+4x^{2}-x-3\) จะได้
\(P(4)=4^{3}+4(4)^{2}-4-3\)
\(=64+4(16)-4-3\)
\(=64+64-7\)
\(=121\)
ดังนั้นถ้าเอาพหุนาม \(x^{3}+4x^{2}-x-3\) หารด้วย \(x-4\) จะเหลือเศษ \(121\)
1.2 \(5x^{3}-3x^{2}+7x+6\) หารด้วย \(x+2\)
วิธีทำ ให้ \(P(x)=5x^{3}-3x^{2}+7x+6\)
ต่อไปหา a คับว่า a คือตัวอะไร หลายคนเห็น x+2 คิดว่า a=2 แน่นอน...ผิดคับ a ไม่ใช่ 2 น่ะคับ แต่ว่า a=-2 คับ
วิธีการหา a ก็คือ จาก \(x+2=x-(-2) \) เมือเอา x-(-2) เป็นเทีบบกับ x-a จะเห็นว่า a คือ -2 นั่นเองคับ
\(P(-2)=5(-2)^{3}-3(-2)^{2}+7(-2)+6\)
\(=5(-8)-3(4)-14+6\)
\(=-40-12-14+6\)
\(=-60\)
ดังนั้น ถ้าเอาพหุนาม\(5x^{3}-3x^{2}+7x+6\) หารด้วย \(x+2\) จะเหลือเศษ \(-60\)
ทำให้ดูเป็นไกด์ไลน์แค่นี้น่ะ ไม่ยากเลยเรื่องนี้เป็นเรื่องง่ายๆคับ...พยายามทำแบบฝึกหัดเองเยอะๆ แล้วจะเก่งเองมาดูตัวอย่างกันต่อ กันเลยดีกว่า รู้สึกว่าเรื่องนี้เคยนำมาออกข้อสอบ o-net ด้วยน่ะคับ ลองดูกันเลยคับ
2. จงหาค่าของ \(k\)ที่เป็นไปตามเงื่อนไขในแต่ละข้อต่อไปนี้
2.1\(x-5\) หาร \( x^{3}-3x^{2}+kx-20 \) ลงตัว
โจทย์ข้อนี้น่ะคับ จะหาคำตอบได้ก็ต้องใช้ความรู้เรื่องทฤษฏบทเศษเหลือมาช่วยคับ...นำมาช่วยยังไงไปดูกันเลยคับ
วิธีทำ ให้ \(P(x)=x^{3}-3x^{2}+kx-20\)
จากโจทย์เขาบอกว่าหารลงตัว นั่นคือแสดงว่า
\(P(5)=5^{3}-3(5)^{2}+k(5)-20=0\)
จะได้ \(5^{3}-3(5)^{2}+k(5)-20=0\) แก้สมการนี้เพื่อหาค่าของ \(k\)
\(125-75+5k-20=0\)
\(5k+30=0\)
\(k=\frac{-30}{5}\)
\(k=-6\)
ดังนั้น \(k=-6\)
2.2 \(x-6\) หาร \(x^{3}-8x^{2}+19x+k \) แล้วได้เศษเหลือเป็น \(15\)
วิธีทำ ข้อนี้ต้องใช้ความรู้เรื่องทฤษฎีบทเศษเหลือมาช่วยน่ะ ถึงจะหาคำตอบได้ง่าย
ให้ \(P(x)=x^{3}-8x^{2}+19x+k\)
หารแล้วเหลือเศษเป็น \(15\) นั่นคือ
\(P(6)=6^{3}-8(6)^{2}+19(6)+k=15 \)
จะได้
\(6^{3}-8(6)^{2}+19(6)+k=15 \)
\(216-288+114+k=15\)
\(42+k=15\)
\(k=15-42\)
\(k=-27\)
ดั้งนั้น \(k=-27\)
จากตัวอย่างที่ยกให้ดูสองข้อเป็นการนำความรู้เรื่องทฤษฎีบทเศษเหลือไปประยุกต์ใช้น่ะคับ...นอกจากนั้นแล้วทฤษฎีบทเศษเหลือนี้ยังสามารถนำไปใช้ในการแยกตัวประกอบของพหุนามได้ด้วยน่ะ...
คลิปด้านล่างสำหรับคนที่ขี้เกียจอ่านคับ ผมเป็นคนหนึ่งที่ขี้เกียจอ่านแต่ชอบฟังมากกว่า ก็ลองฟังดูน่ะ คลิปข้างล่างนี้นอกจากจะหาเศษเหลือแล้วผมยังแสดงวิธีการแยกตัวประกอบพหุนามโดยใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือด้วย ยังไงก็ลองฟังดูแล้วกันคับ