ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากรที่แจกแจงความถี่ การหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากรที่แจกแจงความถี่แล้วเป็นการหาค่าโดยประมาณ เพราะต้องใช้จุดกึ่งกลางของแต่ละอันตรภาคชั้นเป็นตัวแทนข้อมูลซึ่งจะใช้วิธีเดียวกันกับการหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลที่ไม่แจกแจงความถี่ ดังนี้
\begin{array}{lcl}\sigma &=&\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{k}f_{i}(x_{i}-\mu)^{2}}{N}}\end{array}
หรือ
\begin{array}{lcl}\sigma &=&\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=i}^{k}f_{i}x_{i}^{2}}{N}-\mu^{2}}\end{array}
เมื่อ
\(x_{i}\) แทนจุดกึ่งกลางของอันตรภาคชั้นที่ \(i\)
\(f_{i}\) แทนความถี่ของอันตรภาคชั้นที่ \(i\)
\(k\) แทนจำนวนอันตรภาคชั้น
\(N\) แทนจำนวนข้อมูลทั้งหมดในประชากรหรือผลรวมของความถี่ของทุกๆอัตรภาคชั้น
\(\mu\) แทนค่าเฉลี่ยเลขคณิตของประชากร
มาดูตัวอย่างการทำแบบฝึกหัดข้อนี้กันครับ
ตัวอย่าง 1 นักเรียนห้องหนึ่งมีจำนวน 50 คน ซึ่งจำนวนวันหยุดของนักเรียน 50 คนแสดงดังตารางต่อไปนี้
| จำนวนวันที่หยุดเรียน(วัน) | จำนวนนักเรียน (คน) |
| 0-2 | 15 |
| 3-5 | 20 |
| 6-8 | 12 |
| 9-11 | 2 |
| 12-14 | 1 |
จงหาความแปรปรวนและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของจำนวนวันหยุดของนักเรียนห้องนี้
วิธีทำ วันที่การทำจะเห็นว่าข้อมูลที่โจทย์ให้มานั้นเป็นข้อมูลที่แจกแจงความถี่มาให้ ดังนั้นในการหาตัวแทนข้อมูลในแต่ละอันตรภาคชั้น จำเป็นต้องหาจุดกึ่งกลางของอันตรภาคชั้น ซึ่งการหาจุดกึ่งกลางของอันตรภาคชั้นก็คือ เอาค่าต่ำสุด + ค่าสูงสุด เสร็จแล้วหารด้วย 2 ครับ เริ่มทำกันเลย
ก่อนทำ เนื่องจาก สูตรในการหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานมี 2 สูตรให้เลือกใช้ ผมเลือกใช้สูตรนี้นะ
\[\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}f_{i}x_{i}^{2}}{N}-\mu^{2}}\]
ข้อนี้เป็นข้อมูลที่เป็นประชากรนะครับ เพราะเอานักเรียนทั้งหมด 50 คนมาวิเคราะห์เลย
| จำนวนวันที่หยุดเรียน(วัน) | จำนวนนักเรียน (\(f_{i}\)) | จุดกึ่งกลางชั้น\((x_{i})\) | \(x_{i}^{2}\) | \(f_{i}x_{i}^{2}\) |
| 0-2 | 15 | \(\frac{0+2}{2}=1\) | 1 | \((1)(15)=15\) |
| 3-5 | 20 | \(\frac{3+5}{2}=4\) | 16 | \(20)(16)=320\) |
| 6-8 | 12 | 7 | 49 | 588 |
| 9-11 | 2 | 10 | 100 | 200 |
| 12-14 | 1 | 13 | 169 | 169 |
จากตารางจะได้ว่า \(\displaystyle\sum_{i=1}^{N}f_{i}x_{i}^{2}=15+320+588+200+169=1292\)
ค่าเฉลี่ยเลขคณิต \(\mu=\frac{(15\times 1)+(20\times 4)+(12\times 7)+(2\times 10)+(1\times 13)}{50}=4.24\)
เอาไปแทนค่าในสูตร จะได้
\begin{array}{lcl}\sigma&=&\sqrt{\frac{1292}{50}-(4.24)^{2}}\\&=&\sqrt{25.84-17.98}\\&=&\sqrt{7.86}\end{array}
นั่นคือความแปรปรวนมีค่าเท่ากับ
\[\sigma^{2}=7.86\]