ลิมิตของลำดับ เรามาดูความหมายของลิมิตของลำดับกันครับสำหรับในหัวข้อนี้ ซึ่งลิมิตของลำดับนั้นเป็นสมบัติบางประการที่สำคัญที่ซ่อนอยู่ในลำดับครับ ซึ่งในการพิจารณาหาค่าลิมิตของลำดับจะพิจารณาพจน์ที่ \(n\) ของลำดับเมื่อ \(n\) มีค่ามากขึ้นโดยไม่มีที่สิ้นสุด
พิจารณาลำดับนี้ดูครับ กำหนดลำดับ \(a_{n}=\frac{1}{2^{n}}\)
| \(n\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | ... |
| \(a_{n}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{1}{4}\) | \(\frac{1}{8}\) | \(\frac{1}{16}\) | \(\frac{1}{32}\) | \(\frac{1}{64}\) | \(\frac{1}{128}\) | \(\frac{1}{256}\) | ... |
ปล. เส้นประไม่เกี่ยวกับกราฟนะครับเพียงแต่วาดไว้เพื่อชี้ให้เห็นว่ากราฟหรือว่าจุดสีน้ำเงินมันจะเข้าใกล้ \(0\) เมื่อ \(n\) เพิ่มขึ้นเรื่อยๆ
ซึ่งจากตารางและรูปกราฟข้างบนเราจะเห็นว่า เมื่อ \(n\) เพิ่มขึ้นเรื่อยๆ จะทำให้ \(a_{n}\) ลดลง เช่น
\(n=1\rightarrow a_{n}=\frac{1}{2}=0.5\)
\(n=2\rightarrow a_{n}=\frac{1}{4}=0.25\)
\(n=3\rightarrow a_{n}=\frac{1}{8}=0.125\)
\(\vdots\)
\(n=8\rightarrow a_{n}=\frac{1}{256}=0.00390625\)
ซึ่งที่เราจะเห็นว่า เมื่อ \(n\) เพื่อขึ้นเรื่อยๆ อย่างไม่มีสิ้นสุด ค่าของ \(a_{n}\) จะลดลงและมีค่าเข้าใกล้ \(0\)
เราจะกล่าวว่าลำดับ \(a_{n}=\frac{1}{2^{n}}\) มีลิมิตเท่ากับ \(0\) ซึ่งเขียนแทนด้วย
\[\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{2^{n}}=0\]
เราเรียกลำดับอนันต์ที่มีลิมิตว่าลำดับลู่เข้า(convergent sequence)
พิจารณาลำดับนี้ \(a_{n}=2n-1\)
| n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | ... |
| \(a_{n}\) | 1 | 3 | 5 | 7 | 9 | 11 | 13 | 15 | ... |
จากตารางข้างบนจะเห็นว่า เมื่อ \(n\) เพิ่มขึ้นเรื่อยๆ ค่าของ \(a_{n}\) ก็เพิ่มขึ้นเรื่อยๆ เหมือนกันโดยเป็นเพิ่มแบบไม่เข้าใกล้ค่าใดค่าหนึ่งเลย เราเรียกลำดับอนั้นต์แบบนี้ว่า ลำดับลู่ออก(divergent sequence)
พิจารณาลำดับนี้ \(a_{n}=(-1)^{n+1}\)
| \(n\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | ... |
| \(a_{n}\) | 1 | -1 | 1 | -1 | 1 | -1 | 1 | -1 | ... |
จากตารางจะเห็น เมื่อ \(n\) เพิ่มขึ้นเรื่อยๆ ค่าของ \(a_{n}\) มีได้แค่สองค่าเท่านั้นคือ \(1\) กับ \(-1\) ก็คือแกว่งไปแกว่งมาระหว่างสองค่านี้เท่านั้นลำดับแบบนี้เราถือว่าไม่มีลิมิตเป็นลำดับลู่ออก และจะเรียกลำดับลู่ออกประเภทนี้ที่ค่าของ \(a_{n}\) สลับไปสลับมาว่า ลำดับแกว่งกวัด (oscillating sequence)
ต่อไปมาดูทฤษฏีบทที่สำคัญสำหรับการหาลิมิตครับ
ทบ. 1 ให้ \(r\) เป็นจำนวนจริงบวกใดๆ จะได้ว่า
\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n^{r}}=0\) และ \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}n^{r}\) หาค่าไม่ได้
ทบ.2 ให้ \(r\) เป็นจำนวนจริง
ถ้า \(|r|<1\) แล้ว \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}r^{n}=0\)
ถ้า \(|r|>1\) แล้ว \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}r^{n}\) หาค่าไม่ได้
ทบ.3 ให้ \(a_{n}\) เป็นลำดับของจำนวนจริงที่มากกว่าหรือเท่ากับ \(0\) และให้ \(m\) เป็นจำนวนเต็มที่มากกว่าหรือเท่ากับ \(2\)
ถ้า \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=L\) แล้ว \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[m]{a_{n}}=\sqrt[m]{\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}}=\sqrt[m]{L}\)
ผมว่าเรามาเริ่มทำแบบฝึกหัดเกี่ยวกับลิมิตกันเลยดีกว่าครับ อ่านมากงง ลองทำแบบฝึกหัดเลยดีกว่า
1. จงเขียนกราฟเพื่อตรวจสอบดูว่าลำดับต่อไปนี้เป็นลำดับลู่เข้าหรือลำดับลู่ออก
1.\(a_{n}=sin\frac{n\pi}{2}\)
วิธีทำ มาดูกราฟกันเลยครับ แบบฝึกหัดนี้สามารถใช้โปรแกรม geogebra ทำได้นะครับ แต่อยากให้พยายามทำมือให้ชำนาญก่อนแล้วค่อยใช้โปรแกรมช่วยครับ
ดูจากกราฟ จะเห็นว่าลำดับ \(a_{n}=sin\frac{2\pi}{2}\) ลู่ออกครับ
2) \(a_{n}=\frac{5}{n+1}\)
วิธีทำ ดูจากกราฟจะเห็นว่า เมื่อ \(n\) เพิ่มขึ้นค่าของ \(a_{n}\) จะลดลงเรื่อยๆเข้าสู่ \(0\) ดังนั้นลำดับนี้ลู่ออกครับ
3) \(a_{n}=\left(\frac{2}{3}\right)^{\frac{1}{n}}\)
วิธีทำ จะรูปกราฟด้านล่างนะครับจะเห็นว่า เมื่อ \(n\) เพิ่มขึ้น \(a_{n}\) มันจะพุ่งเข้าใกล้ \(1\) ดังนั้นลำดับนี้เป็นลำดับลู่เข้าครับ ถ้าเป็นการหาค่าลิมิต ลิมิตของลำดับนี้จะมีค่าเป็น \(1\)
สามารถอ่านเพิ่มเติมตามลิงค์ด้านล่างได้อีกครับ เยอะแยะมากมายเลยความรู้