ลิมิตของฟังก์ชัน ก่อนที่เราจะทำแบบฝึกหัดลิมิตของฟังก์ชัน ให้พวกเราศึกษา concept ของลิมิตฟังก์ชันจากตัวอย่างในคลิปด้านล่างก่อนให้เข้าใจ concept เบื้องต้นก่อนนะครับแล้วก็ลองทำแบบฝึกเพิ่มเติมครับ
ต่อไปเราลองมาทำแบบฝึกหัดกันครับ
แบบฝึกหัด
1. จงหาค่าของลิมิตต่อไปนี้ ถ้าลิมิตหาค่าได้
1) \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}(3x^{2}+7x-12)\)
วิธีทำ ใช้สมบัติของลิมิตหาค่าได้เลยครับ
\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}(3x^{2}+7x-12)&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}3x^{2}+\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}7x-\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}12\\&=&3\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}x^{2}+7\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}x-\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}12\\&=&3(0)^{2}+7(0)-12\\&=&-12\end{array}
ดังนั้น
\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}(3x^{2}+7x-12)=-12\)
2) \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow-1} (x+3)(x^{2}+2)\)
วิธีทำ
\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{x\rightarrow-1} (x+3)(x^{2}+2)&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty} (x+3)\cdot \displaystyle\lim_{x\rightarrow-1} (x^{2}+2)\\&=&(-1+3)((-1)^{2}+2)\\&=&(2)(3)\\&=&6\end{array}
ดังนั้น
\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow-1} (x+3)(x^{2}+2)=6\)
3) \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow-5}\frac{x^{2}-25}{x+5}\)
วิธีทำ ข้อนี้ระวังด้วยถ้า แทน -5 ไปเลยจะทำให้ส่วนติด 0 ดังนั้นต้องทำการแยกตัวประกอบก่อนคับ
\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{x\rightarrow-5}\frac{x^{2}-25}{x+5}&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow-5}\frac{(x+5)(x-5)}{(x+5)}\\&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow-5}(x-5)\\&=&-5-5\\&=&-10\end{array}
4) \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 9}\frac{3-\sqrt{x}}{9-x}\)
วิธีทำ ข้อนี้ก็เหมือนกันแทน x ด้วย 9 เลยไม่ได้เพราะจะทำให้ตัวส่วนเป็น 0 ต้องแยกตัวประกอบก่อนครับ
\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{x\rightarrow 9}\frac{3-\sqrt{x}}{9-x}&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 9}\frac{3-\sqrt{x}}{3^{2}-\sqrt{x}^{2}}\\&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 9}\frac{3-\sqrt{x}}{(3+\sqrt{x})(3-\sqrt{x})}\\&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 9}\frac{1}{3+\sqrt{x}}\\&=&\frac{1}{6}\end{array}
2. จงหาค่าของลิมิตต่อไปนี้ ถ้าลิมิตหาค่าได้
1) \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow -4^{-}}\frac{|x+4|}{x+4}\)
วิธีทำ จะเห็นว่าเป็นการหาลิมิตของฟังก์ชัน \(\frac{|x+4|}{x+4}\) เมื่อ \(x\) เข้าสู่ \(-4\) ทางลบหรือว่าทางซ้าย ซึ่งเราสังเกตดีๆ ทางซ้ายของ -4 ก็จะเป็นจำนวนจริงลบที่น้อยกว่า -4 ซึ่งถ้าเราลองเลือก x มาตัวหนึ่งเช่น ให้ x=-5 แทนลงไปใน \(|-5+5|\) จทำให้ให้ข้างในค่าสัมบูรณ์น้อยกว่า 0 หรือจะลองเลือกเป็นตัวอื่นก็ได้ เช่นเป็น -6 ก็จะทำให้ \(|-6+4|\) ข้างในค่าสัมบูรณ์น้อยกว่า 0 เช่นกัน ดังนั้นตรงนี้ทำให้เราได้ว่าเมื่อ \(x\) เข้าสู่ -4 ทางด้านลบจะทำให้ \(x+4<0\) จากความรู้เรื่องค่าสัมบูรณ์(Absolute)
จะได้ว่า \(|x+4|=-(x+4)\) ดังนั่นลิมิตข้อนี้คือ
\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{x\rightarrow -4^{-}}\frac{|x+4|}{x+4}&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow -4^{-}}\frac{-(x+4)}{x+4}\\&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow -4^{-}}-1\\&=&-1\end{array}
2) \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1.5}\frac{2x^{2}-3x}{|2x-3|}\)
วิธีทำ ข้อนี้เราต้องพิจารณาทั้งลิมิตทางซ้ายและลิมิตทางขวานะครับเพราะตัวฟังก์ชันมันติดเครื่องหมายค่าสัมบูรณ์และลิมิตมันเข้าหา 1.5 ดังนั้นจะเข้าทางด้านซ้ายก็ได้ ทางด้านขวาก็ได้ แต่ไม่เหมือนข้อข้างบนนะครับ ข้างบนเข้าหาทางด้านซ้ายด้านเดียว ซึ่งเราจะเห็นว่า
ถ้า x เข้าหา 1.5 ทางด้านขวาจะทำให้ \(2x-3>0\) ดังนั้นทำให้ \(|2x-3|=2x-2\)
ถ้า x เข้าหา 1.5 ท้างด้านซ้ายจะทำให้ \(2x-3<0\) ดังนั้นทำให้ \(|2x-3|=-(2x-3)\)
ดังนั้นเราจะหาลิมิตของฟังก์ชันนี้โดยหาทั้งสองฝั่งครับแล้วดูว่าเท่ากันไหม ถ้าลิมิตทางฝั่งซ้ายและฝั่งขวาเท่ากันก็แสดงว่าลิมิตหาค่าได้ครับ ไปดูกันเลยครับ
ดูลิมิตทางฝั่งขวาก่อน
\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1.5^{+}}\frac{2x^{2}-3x}{|2x-3|}&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1.5^{+}}\frac{2x^{2}-3x}{2x-3}\\&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1.5^{+}}\frac{x(2x-3)}{2x-3}\\&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1.5^{+}}x\\&=&1.5\end{array}
ดูลิมิตทางฝั่งซ้าย
\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1.5^{-}}\frac{2x^{2}-3x}{|2x-3|}&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1.5^{-}}\frac{2x^{2}-3x}{-(2x-3)}\\&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1.5^{-}}\frac{x(2x-3)}{-(2x-3)}\\&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1.5^{-}}-x\\&=&-1.5\end{array}
จะเห็นว่าลิมิตทางซ้ายและมิมิตทางขวาของฟังก์ชันนี้ไม่เท่ากันดังนั้น
\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1.5}\frac{2x^{2}-3x}{|2x-3|}\) หาค่าไม่ได้
3)\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{|x|}\right)\)
วิธีทำ ข้อนี้ให้หาลิมิตของก้อนนี้ \(\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{|x|}\right)\) เมื่อ \(x\) เข้าสู่ \(0\) ทางด้านขวาหรือทางด้านบวกนั่นเอง ซึ่งจะเห็นว่า เมื่อ \(x\) เข้าสูู่ \(0\) ทางด้านบวกจะทำให้ \(x\) จะมีค่ามากกว่า \(0\) ดังนั้น \(|x|=x\) นั่นคือทำให้ได้ว่า
\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{|x|}\right)&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x}\right)\\&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^{+}}0\\&=&0\end{array}
4)\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow -4}|x+4|\)
วิธีทำ จะเห็นว่าข้อนี้เขาให้หาลิมิตของฟังก์ชันเมื่อ x เข้าสู่ -4 เมื่อเราพิจารณาจะเห็นว่า
เมื่อ \(x\) เข้าสู่ -4 ทางขวาจะทำให้ \(x+4>0\) นั่นก็คือ
ถ้า \(x\) เข้าสู่ -4 ทางขวา \(|x+4|\)=x+4\)
และเมื่อ \(x\) เข้าสู๋ -4 ทางซ้ายจะทำให้ \(x+4\)<0\) นั่นก็คือ
ถ้า \(x\) เข้าสู่ -4 ทางซ้ายจะทำให้ \(|x+4|=-(x+4)\)
ต่อไปเราก็ไปหาว่าลิมิตทางซ้ายและลิมิตทางขวาเท่ากันไหม เริ่มเลย
ลิมิตทางซ้ายก่อน
\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{x\rightarrow -4^{-}}|x+4|&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow -4^{-}}-(x+4)\\&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow -4^{-}}-(-4+4)\\&=&0\end{array}
ลิมิตทางขวา
\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{x\rightarrow -4^{+}}|x+4|&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow -4^{-}}(x+4)\\&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow -4^{-}}(-4+4)\\&=&0\end{array}
จะเห็นว่าลิมิตทางซ้ายและลิมิตทางขวาเท่ากัน ดังนั้น
\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow -4}|x+4|=0\)
5) \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^{-}}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{|x|}\right)\)
วิธีทำ เนื่องจาก \(x\) เข้าสู่ 0 ทางขวาทำให้ได้ว่า \(|x|=-x\) จะได้ว่า
\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^{-}}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{|x|}\right)&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^{-}}\left(\frac{1}{x}-(-\frac{1}{x})\right)\\&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^{-}}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x}\right)\\&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^{-}}\frac{2}{x}\\&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^{-}}\frac{2}{0}\end{array}
นั่นคือ \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^{-}}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{|x|}\right)\) หาค่าไม่ได้นั้นเองครับ
3. กำหนดให้
\(f(x)=\left\{\begin{matrix}
& x-1\quad เมื่อ\quad x<2 & \\
& x^{2}-4x+6 \quad เมื่อ \quad x\geq 2 &
\end{matrix}\right.\)
จงหา
1) \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2^{-}} f(x)\)
วิธีทำ ข้อนี้ให้หาลิมิตของฟังก์ชันเมื่อ x เข้าสู่ฟังก์ชันนี้ทางซ้าย แสดงว่า \(x<2\) ตามเงื่อนไขในโจทย์จึงได้ว่า \(f(x)=x-1\) เริ่มหาลิมิตกันเลย
\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2^{-}} f(x)&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2^{-}} x-1\\&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2^{-}} (2-1)\\&=&1\end{array}
2)\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2^{+}}f(x)\)
วิธีทำ ข้อนี้ให้หาลิมิตของฟังก์ชัน เมื่อ x เข้าสู่ 2 ทางด้านซ้าย แสดงว่า x > 2 ดังนั้นตามเงื่อนไขในโจทย์จึงได้ว่า \(f(x)=x^{2}-4x+6\) เริ่มหาลิมิตกันเลยครับ
\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2^{+}}f(x)&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2^{+}}x^{2}-4x+6\\&=&2^{2}-4(2)+6\\&=&2\end{array}
3)\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2}f(x)\)
วิธีทำ ข้อนี้ให้หาลิมิตของฟังก์ชันเมื่อ x เข้าสู่ 2 เราต้องไปหาลิมิตของฟังก์ชันเมื่อ x เข้าสู่ 2 ทางขวา และหาลิมิตของฟังก์ชันเมื่อ x เข้าสู่ 2 ทางซ้ายครับ แล้วก็นำลิมิตที่หาทั้งสองฝั่งมาเปรียบเทียบกันดูครับ
ซึ่งเราหาไว้แล้วในข้อ 1) และ 2) ซึ่งจะเห็นว่า \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2^{-}}f(x)\neq \displaystyle\lim_{x\rightarrow 2^{+}}f(x)\)
ดังนั้น \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2} f(x)\) หาลิมิตไม่ได้ครับ
4. กำหนดให้
\(f(x)=\left\{\begin{matrix}&x \quad เมื่อ \quad x<0\\&x^{2}\quad เมื่อ\quad 0<x\leq 2\\&8-x\quad เมื่อ \quad x>2\end{matrix}\right.\)
1) \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^{+}}f(x)\)
\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^{+}}f(x)&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^{+}}x^{2}\\0\end{array}
2) \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^{-}}f(x)\)
\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^{-}}f(x)&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^{-}}x\\&=&0\end{array}
3)\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}f(x)\)
เนื่องจาก \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^{-}}f(x)=\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^{+}}f(x)\)
ดังนั้น \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}f(x)=0\)
4)\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2^{-}}f(x)\)
\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2^{-}}f(x)&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2^{-}}x^{2}\\&=&4\end{array}
5)\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2^{+}}f(x)\)
\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2^{+}}f(x)&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2^{+}}(8-x)\\&=&6\end{array}
ต่อไปเดี่ยวจะทำแบบฝึกหัดจากหนังสือ สสทว. ให้ดูสักข้อสองข้อเพื่อเป็นแนวทาง แบบฝึกหัด 2.1ก
1. จงเติมค่าของฟังก์ชันต่อไปนี้ในตารางให้สมบูรณ์ พร้อมทั้งพิจารณาว่าลิมิตของฟังก์ชันที่กำหนดให้ในแต่ละข้อมีค่าหรือไม่ ถ้ามี จงหาลิมิต
1) \(f(x)=\frac{\sqrt{x}-2}{x-4},\quad \displaystyle\lim_{x\rightarrow 4} f(x)\)
| \(x\) | \(3.9\) | \(3.99\) | \(3.999\) |
| \(f(x)\) | 0.251582 | 0.250156 | 0.250016 |
| \(x\) | \(4.1\) | \(4.01\) | \(4.001\) |
| \(f(x)\) | 0.248457 | 0.249844 | 0.249984 |
จากตารางทั้่งสองจะสังเกตเห็นว่า \(f(x)\) เข้าใกล้ \(0.25\) เมื่อ \(x\) เข้าใกล้ \(4\) ทั้งทางด้านซ้ายและขวาของ \(4\) ดังนั้น \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 4}\frac{\sqrt{x}-2}{x-4}=0.25\)
2. \(f(x)=\frac{x-2}{x^{2}+x-6}\quad ,\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2} f(x)\)
| \(x\) | 1.9 | 1.99 | 1.999 |
| \(f(x)\) | 0.204082 | 0.200401 | 0.200401 |
| \(x\) | 2.1 | 2.01 | 2.001 |
| \(f(x)\) | 0.196078 | 0.199601 | 0.199601 |
จะเห็นว่าจากตาราง \(f(x)\) เข้าใกล้ \(0.2\) เมื่อ \(x\) เข้าใกล้ \(2\) ทั้งทางด้านซ้ายและขวาของ \(2\) ดังนั้น
\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x-2}{x^{2}+x-6}=0.2\)
3. \(f(x)=\frac{3x-3}{x^{3}-1} \quad , \displaystyle\lim_{x\rightarrow 1}f(x)\)
| \(x\) | 0.9 | 0.99 | 0.999 |
| \(f(x)\) | 1.107011 | 1.010067 | 1.001001 |
| \(x\) | 1.1 | 1.01 | 1.001 |
| \(f(x)\) | 0.906344 | 0.990066 | 0.999001 |
จากตารางจะเห็นว่า \(f(x)\) เข้าใกล้ \(1\) เมื่อ \(x\) เข้าใกล้ \(1\) ทั้งทางด้านซ้ายและขวาของ \(1\) ดังนั้น \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1}\frac{3x-3}{x^{3}-1}\)
4. \(f(x)=\frac{e^{x}-1}{x}\quad ,\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}f(x)\)
| \(x\) | -0.1 | -0.01 | -0.001 |
| \(f(x)\) | 0.951626 | 0.995017 | 0.999500 |
| \(x\) | 0.1 | 0.01 | 0.001 |
| \(f(x)\) | 1.051709 | 1.005017 | 1.000500 |
จากตารางจะเห็นว่า \(f(x)\) เข้าใกล้ \(1\) เมื่อ \(x\) เข้าใกล้ \(0\) ทั้งทางด้านซ้ายและขวาของ \(0\) ดังนั้น \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{x}-1}{x}=1\)
2. กำหนดกราฟของฟังก์ชัน \(f\) ดังรูป จงหา
1. \(f(1)=2\)
2.\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1^{-}}f(x)=2\)
3. \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1^{+}}f(x)=3\)
4. \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1}f(x) \text{ไม่มีค่าเนื่องจากลิมิตซ้ายและขวาไม่เท่ากัน}\)
5. \(f(5) \text{ไม่มีค่า}\) เนื่องจากกราฟที่จุดนี้มันขาดก็คือไม่นิยามนั่นเอง
6.\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 5^{+}}f(x)=4\)
7.\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 5^{-}}f(x)=4\)
8. \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 5}f(x)=4\)
3. กำหนดกราฟของฟังก์ชัน \(f\) ดังรูป จงหา
1) \(f(0)=3\)
2)\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}f(x)=3\)
3) \(f(3)=3\)
4) \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 3^{-}}f(x)=4\)
5) \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 3^{+}}f(x)=2\)
4. กำหนดกราฟของฟังก์ชัน \(g\) ดังรูป จงหา
1) \(g(0)=-1\)
2) \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^{-}}g(x)=-1\)
3) \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^{+}}g(x)=-2\)
4) \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}g(x)\) หาค่าไม่ได้
5)\(g(2)=1\)
6) \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2^{-}}g(x)=2\)
7) \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2^{}+}g(x)=0\)
5. กำหนดกราฟของฟังก์ชัน \(f\) ดังรูป จงหา
1) \(f(1)=0\)
2) \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1^{-}}f(x)=-1\)
3) \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1^{+}}f(x)=0\)
6. กำหนดกราฟของฟังก์ชัน \(f\) ดังรูป จงหา
1)\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2^{-}}f(x)=2\)
2) \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2^{+}}f(x)=-2\)
3) \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2}f(x)\) ไม่มีค่า
4)\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow -2^{-}}f(x)=0\)
5)\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow -2^{+}}f(x)=0\)
6)\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow -2}f(x)=0\)
5. กำหนดให้
\(f(x)=\left\{\begin{matrix}&\frac{|x|}{x} \quad เมื่อ \quad x\neq 0\\&1\quad เมื่อ\quad x=0\end{matrix}\right.\)
และ \(g(x)=x\) จงหาลิมิตต่อไปนี้ ถ้าลิมิตมีค่า
1)\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}f(x)\)
วิธีทำ ข้อนี้ให้พวกเราไปหาลิมิตซ้าย และลิมิตขวา เพื่อเปรียบเทียบว่าลิมิตทั้งสองข้างมันเท่ากันไหม
หาลิมิตซ้ายก่อนแล้วกัน
จะเห็นว่าเมื่อ \(x\) เข้าใกล้ \(0\) จากทางด้านซ้าย ก็คือ \(x<0\) จะได้ว่า \(|x|=-x\) นั่นคือ
\(f(x)=\frac{|x|}{x}=\frac{-x}{x}=-1\) ดังนั้น
\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^{-}}=-1\)
หาลิมิตขวา
จะเห็นว่าเมื่อ \(x\) เข้าใกล้ \(0\) จากทางด้านขวา ก็คือ \(x>0\) จะได้ว่า \(|x|=x\) นั่นคือ
\(f(x)=\frac{|x|}{x}=\frac{x}{x}=1\) ดังนั้น
\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^{+}}=1\)
จะเห็นได้ว่าลิมิตซ้ายและลิมิตขวาไม่เท่ากัน ดังนั้น
\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}f(x)\) หาค่าไม่ได้
2) \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}g(x)\)
วิธีทำ เนื่องจาก \(g(x)=x\) ดังนั้น
\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}g(x)&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}x\\&=&0\end{array}
3)\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}f(x)\cdot g(x)\)
วิธีทำ ข้อนี้หาลิมิตซ้ายและลิมิตขวาเหมือนเดิมคับ ดูข้อที่ 1) ประกอบด้วยนะ
ลิมิตซ้ายก่อน
\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^{-}}f(x)\cdot g(x)&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^{-}}\frac{|x|}{x}\cdot x\\&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^{-}}\frac{-x}{x}\cdot x\\&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^{-}}-1\cdot x\\&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^{-}}-x\\&=&0\end{array}
ลิมิตขวา
\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^{+}}f(x)\cdot g(x)&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{|x|}{x}\cdot x\\&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{x}{x}\cdot x\\&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^{+}}1\cdot x\\&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^{+}}x\\&=&0\end{array}
จะเห็นว่าลิมิตซ้ายเท่ากับลิมิตขวา ดังนั้น
\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}f(x)\cdot g(x)=0\quad \underline{Ans}\)