วันนี้เรามาดูความหมายของการของคำว่า ค่าสูงสุดสัมบูรณ์ และ ค่าต่ำสุดสัมบูรณ์ หลังจากที่เราได้ศึกษาเกี่ยวกับ ค่าต่ำสุดและค่าสูงสุดสัมพัทธ์ของฟังก์ชันไปแล้ว ครับ ไปดูนิยามกันเลย
นิยาม
ฟังก์ชัน \(f\) มีค่าสูงสุดสัมบูรณ์ที่ \(x=c\) เมื่อ \(f(c)\geq f(x)\) สำหรับทุก \(x\) ในโดเมนของ \(f\)
ฟังก์ชัน \(f\) มีค่าต่ำสุดสัมบูรณ์ที่ \(x=c\) เมื่อ \(f(c)\leq f(x)\) สำหรับทุก \(x\) ในโดเมนของ \(f\)
ซึ่งนิยามทั้งหมดสามารถอธิบายได้จากรูปด้านล่างนี้ครับ
เมื่อ ฟังก์ชันใดๆ มีจุดสูงสุดสัมบูรณ์และมีค่าต่ำสุดสัมบูรณ์ ดังนั้นเราสามารถหาค่าสูงสุดสัมบูรณ์และค่าต่ำสุดสัมบูรณ์ได้ ซึ่งมีขั้นตอนในการหาค่าสูงสุดสัมบูรณ์และค่าต่ำสุดสัมบูรณ์ ดังต่อไปนี้
ถ้าฟังก์ชัน \(f\) เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วงปิด \([a,b]\) แล้ว สามารถหาค่าสูงสุดสัมบูรณ์และค่าต่ำสัมบูรณ์ของฟังก์ชัน \(f\) ตามขั้นตอนดังนี้
1. หาค่าวิกฤตทั้งหมดในช่วงปิด \([a,b]\)
2. หาค่าของฟังก์ชัน ณ ค่าวิกฤตที่ได้จากข้อ 1
3. หาค่า \(f(a)\) และ \(f(b)\)
4. เปรียบเทียบค่าที่ได้จากข้อ 2 และข้อ 3 ซึ่งจะทำให้ได้ข้อสรุปว่า
ค่ามากที่สุดจากข้อ 2 และ ข้อ 3 เป็นค่าสูงสุดสัมบูรณ์ของฟังก์ชัน \(f\)
ค่าน้อยที่สุดจากข้อ 2 และ ข้อ 3 เป็นค่าต่ำสุดสัมบูรณ์ของฟังก์ชัน \(f\)
ต่อไปเราไปทำแบบฝึกหัดเกี่ยวกับ ค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดสัมบูรณ์กันเลยครับ
1. จงหาค่าสูงสุดสัมบูรณ์และค่าต่ำสุดสัมบูรณ์ของฟังก์ชันต่อไปนี้
1.\(f(x)=x^{2}-4x+3\) บนช่วง \([0,5]\)
วิธีทำ จาก
\(f(x)=x^{2}-4x+3\)
\(f^{\prime}(x)=2x-4\)
ถ้า \(f^{\prime}(x)=0\) จะได้
\begin{array}{lcl}2x-4&=&0\\x&=&2\end{array}
ดังนั้น ค่าวิกฤตบนช่วงปิด \([0,5]\) คือ \(2\)
คำนวณหาค่าของฟังก์ชัน \(f\) ที่ \(x=2\) และจุดปลายของช่วง \([0,5]\) คือ \(x=0\) และ\(x=5\)
\begin{array}{lcl}f(2)&=&-1\\f(0)&=&3\\f(5)&=&8\end{array}
ดังนั้นค่าสูงสุดสัมบูรณ์ของ \(f\) เท่ากับ \(8\) ที่ \(x=5\)
และค่าต่ำสุดสัมบูรณ์ของ \(f\) เท่ากับ \(-1\) ที่ \(x=2\) ดังรูป
