ซิกม่าหรือซัมเมชั่น ก็คือแทนด้วยเครื่องหมาย \(\sum\) นี้ครับ เครื่องหมายนี้เอาไว้เขียนรวบของการบวก
สมบัติของ \(\displaystyle\sum\) ที่สำคัญและควรทราบมีดังนี้
ถ้า \(c\) เป็นค่าคงตัวใดๆ จะได้
\(1) \displaystyle\sum_{i=1}^{N}c=Nc\)
ยกตัวอย่างเช่น
\(\displaystyle\sum_{i=1}^{6}5=6\times 5=30\) ก็คือเอา 5 บวกกันทั้งหมด 6 ตัวนั่นเองครับ
\(2)\displaystyle\sum_{i=1}^{N}cx_{i}=c\displaystyle\sum_{i=1}^{N}x_{i}\)
\(3)\displaystyle\sum_{i=1}^{N}(x_{i}+y_{i})=\displaystyle\sum_{i=1}^{N}x_{i}+\displaystyle\sum_{i=1}^{N}y_{i}\)
\(4)\displaystyle\sum_{i=1}^{N}(x_{i}-y_{i})=\displaystyle\sum_{i=1}^{N}x_{i}-\displaystyle\sum_{i=1}^{N}y_{i}\)
และยังมีอีกสูตรหนึ่งอันนี้ต้องจำนะเอานะครับ หรือถ้าใครพิสูจน์ได้ก็จะดีมากครับ อันนี้ใช้มากเหมือนกันนะครับโดยเฉพาะพวกข้อสอบแข่งขันเนียะชอบออกเหลือเกิน ออกเกินหลักสูตรนีแหละครับ
\(1)\displaystyle\sum_{i=1}^{n}i=\frac{n(n+1)}{2}\)
\(2)\displaystyle\sum_{i=1}^{n}i^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)
\(3)\displaystyle\sum_{i=1}^{n}i^{3}=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^{2}\)
เรื่องนี้ผมได้เขียนเฉลยแบบฝึกหัดไว้อีกลิงค์หนึ่งสามารถเข้าไปอ่านเพิ่มเติมได้ครับผมที่นี่เลย สัญลักษณ์แสดงการบวก
ต่อไปเรามาลองทำแบบฝึกหัดกันครับ
1. ถ้า \(x_{1}=1,x_{2}=3,x_{3}=4,x_{4}=7,x_{5}=0,f_{1}=10,f_{2}=15,f_{3}=5,f_{4}=8,f_{5}=6\) และ \(c=2\)
จงหาค่าของ
\(1) \displaystyle\sum_{i=1}^{10}c=\displaystyle\sum_{i=1}^{10}2=2\times 10=20\)
\(2)\displaystyle\sum_{i=1}^{5}(x_{i}-2)^{3}\)
\begin{array}{lcl}\displaystyle\sum_{i=1}^{5}(x_{i}-2)^{3}&=&(x_{1}-2)^{3}+(x_{2}-2)^{3}+(x_{3}-2)^{3}+(x_{4}-2)^{3}+(x_{5}-2)^{3}\\&=&(1-2)^{3}+(3-2)^{3}+(4-2)^{3}+(7-2)^{3}+(0-2)^{3}\\&=&-1+1+8+125+(-8)\\&=&125\end{array}
\(3)\displaystyle\sum_{i=1}^{3}(f_{i}x_{i}+c)\)
\begin{array}{lcl}\displaystyle\sum_{i=1}^{3}(f_{i}x_{i}+c)&=&\displaystyle\sum_{i=1}^{3}f_{i}x_{i}+\displaystyle\sum_{i=1}^{3}c\end{array}
แบ่งการหาออกเป็นสองส่วน แล้วเอาทั้งสองส่วนมาบวกกันครับจะได้
\begin{array}{lcl}\displaystyle\sum_{i=1}^{3}f_{i}x_{i}&=&f_{1}x_{1}+f_{2}x_{2}+f_{3}x_{3}\\&=&(10)(1)+(15)(3)+(5)(4)\\&=&10+45+20\\&=&75\end{array}
อีกอันหนึ่งคือ
\begin{array}{lcl}\displaystyle\sum_{i=1}^{3}c&=&\displaystyle\sum_{i=1}^{3}2\\&=&2(3)\\&=&6\end{array}
ดังนั้น
\(\displaystyle\sum_{i=1}^{3}(f_{i}x_{i}+c)=75+6=81\)
\(4)\displaystyle\sum_{i=1}^{4}(x_{i}-3)(x_{i}+3)\)
\begin{array}{lcl}\displaystyle\sum_{i=1}^{4}(x_{i}-3)(x_{i}+3)&=&\displaystyle\sum_{i=1}^{4}x_{i}^{2}-9\\&=&\displaystyle\sum_{i=1}^{4}x_{i}^{2}-\displaystyle\sum_{i=1}^{4}9\end{array}
แยกการหาออกเป็น 2 ส่วนเพื่อความสะดวกครับ
\begin{array}{lcl}\displaystyle\sum_{i=1}^{4}x_{i}^{2}&=&x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}\\&=&1^{2}+3^{2}+4^{2}+7^{2}\\&=&1+9+16+49\\&=&75\end{array}
อีกส่วนคือ
\begin{array}{lcl}\displaystyle\sum_{i=1}^{4}9&=&9(4)\\&=&36\end{array}
ดังนั้น
\(\displaystyle\sum_{i=1}^{4}(x_{i}-3)(x_{i}+3)=75+36=111\)
2. ถ้า \(\displaystyle\sum_{i=1}^{5}y_{i}=10\) และ \(\displaystyle\sum_{i=1}^{5}y_{i}^{2}=30\) จงหาค่าของ \(\displaystyle\sum_{i=1}^{5}(5y_{i}-50)\) และ \(\displaystyle\sum_{i=1}^{5}(y_{i}-3)^{2}\)
วิธีทำ
\begin{array}{lcl}\displaystyle\sum_{i=1}^{5}(5y_{i}-50)&=&5\displaystyle\sum_{i=1}^{5}y_{i}-\displaystyle\sum_{i=1}^{5}50\\&=&5(10)-(50)(5)\\&=&50-250\\&=&-200\end{array}
ต่อไปทำต่อครับ
\begin{array}{lcl}\displaystyle\sum_{i=1}^{5}(y_{i}-3)^{2}&=&\displaystyle\sum_{i=1}^{5}(y_{i}^{2}-6y_{i}+9)\\&=&\displaystyle\sum_{i=1}^{5}y_{i}^{2}-6\displaystyle\sum_{i=1}^{5}y_{i}+\displaystyle\sum_{i=1}^{5}9\\&=&30-6(10)+(9)(5)\\&=&30-60+45\\&=&15\end{array}
3. จงเขียนผลบวกของพจน์ต่อไปนี้โดยใช้เครื่องหมาย \(\displaystyle\sum\)
\(1) 2x_{1}^{2}+2x_{2}^{2}+2x_{3}^{2}+\cdots +2x_{10}^{2}\)
วิธีทำ ข้อนี้ไม่มีไรมากเลยครับ
\begin{array}{lcl} 2x_{1}^{2}+2x_{2}^{2}+2x_{3}^{2}+\cdots +2x_{10}^{2}&=&2\displaystyle\sum_{i=1}^{10}x_{i}^{2}\end{array}
\(2) (x_{1}-\bar{X})f_{1}+(x_{2}-\bar{X})f_{2}+(x_{3}-\bar{X})f_{3}+\cdots +(x_{k}-\bar{X})f_{k}\)
วิธีทำ
\begin{array}{lcl} (x_{1}-\bar{X})f_{1}+(x_{2}-\bar{X})f_{2}+(x_{3}-\bar{X})f_{3}+\cdots +(x_{k}-\bar{X})f_{k}&=&\displaystyle\sum_{i=1}^{k}(x_{i}-\bar{X})f_{i}\end{array}
ดูตัวอย่างเพิ่มเติมครับผม
