โจทย์ปัญหาค่าสูงสุดหรือค่าต่ำสุด ในการแก้โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับค่าสูงสุดหรือค่าต่ำสุดจะต้องพิจารณาเงื่อนไขของฟังก์ชัน ที่กำหนดให้ว่ามีโดเมนเป็นอย่างไร และปัญหาต้องการให้หาค่าสูงสุดสัมพัทธ์ ค่ำต่ำสุดสัมพัทธ์ ค่าสูงสุดสัมบูรณ์ หรือค่าต่ำสุดสัมบูรณ์
หลักเกณฑ์ทั่วๆ ไปในการแก้โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับค่าสูงสุดหรือค่าต่ำสุด
1. ทำความเข้าใจกับปัญหาอย่างละเอียดให้ทราบแน่นอนว่าต้องการหาค่าสูงสุดหรือค่าต่ำสุดของอะไร ให้กำหดสิ่งนั้นด้วยตัวแปร \(y\) และกำหนดตัวแปร \(x\) แทนสิ่งที่กำหนดค่าของ \(y\)
2.เขียนสมการแสดงความสัมพันธ์ของ \(y\) และ \(x\) ให้อยู่ในรูปของ \(y=f(x)\) เมื่อ \(f\) เป็นฟังก์ชัน
3. หา \(\frac{dy}{dx}\) หรือ \(y^{\prime}\) ซึ่งเป็นอัตราการเปลี่ยนแปลงของค่า \(y\) ที่ต้องการหาค่าสูงสุดหรือค่าต่ำสุดเทียบกับตัวแปร \(x\)
4. ให้ \(\frac{dy}{dx}=0\) แล้วแก้สมการหาค่า \(x\) ซึ่งค่าวิกฤตของฟังก์ชันในข้อ 2
5. นำค่าวิกฤตในข้อ 4 ทำการตรวจสอบว่าทำให้ \(y\) มีค่าสูงสุดหรือต่ำสุดหรือไม่
ที่กล่าวมาข้างต้นเป็นขั้นตอนในการแก้โจทย์ปัญหาหาค่าต่ำสุดหรือค่าสูงสุด ต่อไปเรามาดูตัวอย่างในการทำแบบฝึกหัดการแก้โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับค่าสูงสุดหรือค่าต่ำสุด
1. มีรั้วยาว 200 เมตร ต้องการล้อมที่ดินรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า 3 แปลงที่มีขนาดเท่ากันดังรูป จงหาว่าจะล้อมพื้นี่ได้มากที่สุดเท่าใด
วิธีทำ เนื่องจากรั้วยาว 200 เมตร จะได้ว่า
\begin{array}{lcl}6x+4y&=&200\\y&=&50-\frac{3}{2}x\end{array}
ให้ \(A(x)\) เป็นพื้นที่ของที่ดินรูปสี่เหลี่ยมผื้นผ้า \(3\) แปลง เมื่อ \(x\) เป็นความยาวของด้านกว้างของที่ดินรูปสี่เหลี่ยมผื้นผ้าของแต่ละแปลง จะได้
\begin{array}{lcl} A(x)&=&3x(50-\frac{3}{2}x)\\&=&150x-\frac{9}{2}x^{2}\\A^{\prime}(x)&=&150-9x\\ถ้า \\A^{\prime}(x)&=&0\\จะได้\\150-9x&=&0\\ดังนั้น\\x&=&\frac{50}{3}\end{array}
ดังนั้น ค่าวิกฤตของฟังก์ชัน \(A\) คือ \(\frac{50}{3}\)
จาก \begin{array}{lcl}A^{\prime}(x)&=&150-9x\\จะได้\\A^{\prime\prime}(x)&=&-9\\A^{\prime\prime}(\frac{50}{3})&=&-9 \quad; -9<0\end{array}
นั่นคือ ฟังก์ชัน \(A\) มีค่า่สูงสุดสัมพัทธ์ที่ \(x=\frac{50}{3}\) และมีค่าเท่ากับ \(A(\frac{50}{3})=1250\) ดังนั้น จะล้อมรั้วได้พื้นี่มากที่สุด 1250 ตารางเมตร
2. ถ้าใช้จำนวนจริงจำนวนหนึ่งเป็นตัวตั้ง แล้วลบด้วยกำลังสองของจำนวนจริงนั้น จำนวนจริงนั้นต้องเป็นจำนวนใด ผลลบจึงจะมากที่สุด
วิธีทำ ให้ \(x\) เป็นจำนวนจริงจำนวนหนึ่ง จะได้
\begin{array}{lcl}f(x)&=& x-x^{2}\\f^{\prime}(x)&=&1-2x\\ ถ้า \\f^{\prime}(x)&=&0\\จะได้\\1-2x&=&0\\ดังนั้น \\x&=&\frac{1}{2}\end{array}
ดังนั้น ค่าวิกฤตของฟังก์ชัน \(f\) คือ \(\frac{1}{2}\)
จาก \(f^{\prime}(x)=1-2x\)
จะได้ \(f^{\prime\prime}(x)=-2\) และ \(f^{\prime\prime}(\frac{1}{2})=-2\) ซึ่ง \(-2<0\)
นั่นคือ ฟังก์ชัน \(f\) มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์ที่ \(x=\frac{1}{2}\) และมีค่าเท่ากับ \(f(\frac{1}{2})=\frac{1}{4}\)
ดังนั้น ผลลบจะมากที่สุดด เมื่อจำนวนจริงจำนวนนั้นคือ \(\frac{1}{2}\)
3. จำนวนจริงสองจำนวนบวกกันได้ 10 ถ้าผลคูณของสองจำนวนนี้มีค่าสูงสุดแล้ว จำนวนทั้งสองคือจำนวนใด
วิธีทำ ให้ \(x\) เป็นจำนวนจริงจำนวนหนึ่ง และ \(y\) เป็นจำนวนจริงอีกจำนวนหนึ่ง เนื่องจาก จำนวนจริงสองจำนวนบวกกันได้ \(10\) จะได้
\(x+y=10\) หรือ \(y=10-x\)
ให้ \(f(x)\) เป็นค่าที่ได้จากผลคูณของจำนวนจริงทั้งสอง เมื่อ \(x\) เป็นจำนวนจริงจำนวนหนึ่ง จะได้
\begin{array}{lcl}f(x)&=&x(10-x)\\&=&10x-x^{2}\\f^{\prime}(x)&=&10-2x\end{array}
ถ้า
\begin{array}{lcl}f^{\prime}(x)=0\\จะได้\\10-2x&=&0\\ เพราะฉะนั้น \\x&=&5\end{array}
ดังนั้น ค่าวิกฤตของฟังก์ชัน \(f\) คือ 5
จาก
\begin{array}{lcl}f^{\prime}(x)&=&10-2x\\f^{\prime\prime}(x)&=&-2\\f^{\prime\prime}(5)&=&-2 \quad ซึ่ง -2<0\end{array}
นั่นคือ ฟังก์ชัน \(f\) มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์ที่ \(x=5\) และมีค่าเท่ากับ \(f(5)=25\)
จาก \(x=5\) จะได้ \(y=5\)
ดังนั้น ผลคูณของจำนวนจริงสองจำนวนมีค่าสูงสุด เมื่อจำนวนจริงจำนวนหนึ่งคือ \(5\) และอีกจำนวนหนี่งคือ \(5\)
4. ผลคูณของจำนวนจริงสองจำนวนเป็น \(-9\) จำนวนทั้งสองคือจำนวนใด จึงจะทำให้ผลบวกของกำลังสองของแต่ละจำนวนน้อยที่สุด
วิธีทำ ให้ \(x\) เป็นจำนวนจริงจำนวนหนึ่ง และ \(y\) เป็นจำนวนจริงจำนวนหนึ่งเนื่องจาก ผลคูณของจำนวนจริงสองจำนวนเป็น \(-9\)
จะได้ \(xy=-9\) หรือ \(y=-\frac{9}{x}\)
ให้ \(f(x)\) เป็นค่าที่ได้จากผลบวกของกำลังสองของแต่ละจำนวนเมื่อ \(x\) เป็นจำนวนจริงจำนวนหนึ่งจะได้
\begin{array}{lcl} f(x)&=&x^{2}+(-\frac{9}{x})^{2}\\&=&x^{2}+\frac{81}{x^{2}}\\f^{\prime}(x)&=&2x-\frac{162}{x^{3}}\end{array}
ถ้า \(f^{\prime}(x)=0\)
จะได้
\begin{array}{lcl} 2x-\frac{162}{x^{3}}&=&0\\2(x^{2}-9)(x^{2}+9)&=&0\\2(x-3)(x+3)(x^{2}+9)&=&0\end{array}
เนื่องจาก \(x^{2}+9\neq 0\) ดังนั้น \(x=-3\) หรือ \(x=3\)
ดังนั้นค่าวิกฤตของฟังก์ชัน \(f\) คือ \(-3\) และ \(3\)
จาก
\begin{array}{lcl}f^{\prime}(x)&=&2x-\frac{162}{x^{3}}\\f^{\prime\prime}(x)&=&2+\frac{486}{x^{4}}\\f^{\prime\prime}(3)&=&8\quad ; 8>0\\f^{\prime\prime}(-3)&=&8\quad ;8>0\end{array}
นั่นคือ ฟังก์ชัน \(f\) มีค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ที่ \(x=-3\) และ \(x=3\) มีค่าเท่ากับ \(f(-3)=f(3)=18\)
จาก \(y=-\frac{9}{x}\)
ถ้า \(x=-3\) จะได้ \(y=3\)
\(x=3\) จะได้ \(y=-3\)
ดังนั้น จำนวนจริงหนึ่งคือ \(-3\) และอีกจำนวนหนึ่งคือ \(3\)
5. ในการเกิดปฏิกิริยาทางเคมีครั้งหนึ่งหาอุณหภูมิได้จากสมการ \(C=10+4t-0.2t^{2}\) เมื่อ \(C\) เป็นอุณภูมิซึ่งมีหน่วยเป็นองศาเซลเซียส และ \(t\) เป็นเวลาหน่วยเป็นวินาที เมื่อใดอุณหภูมิจะขึ้นสูงสุดและอุณหภูมิสูงสุดเป็นเท่าใด
วิธีทำ ให้ \(C(t)\) เป็นอุณหภูมิมีหน่วยเป็นองศาเซลเซียส เมื่อ \(t\) เป็นเวลาหน่วยวินาที จะได้
\begin{array}{lcl}C(t)&=&10+4t-0.2t^{2}\\C^{\prime}(t)&=&4-0.4t\end{array}
ถ้า \(C^{\prime}(t)=0\) จะได้ \(4-0.4t=0\)
เพราะฉะนั้น \(t=10\)
ดังนั้น ค่าวิกฤตของฟังก์ชัน \(C\) คือ 10
จาก \(C^{\prime}(t)=4-0.4t\)
จะได้
\begin{array}{lcl}C^{\prime\prime}(t)&=&-0.4\\C^{\prime\prime}(10)&=&-0.4\quad ; -0.4<0\end{array}
นั่นคือ ฟังก์ชัน \(C\) มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์ที่ \(t=10\) และมีค่าเท่ากับ \(C(10)=30\) ดังนั้น ในการเกิดปฏฺิกิริยาทางเคมีนี้อุณหภูมิจะขึ้นสูงสุดเมื่อ \(t=10\) วินาทีและอุณหภูมิสูงสุดเป็น 30 องศาเซลเซียส
6. พ่อค้าคนหนึ่งทราบว่าถ้าเขาตั้งราคาสินค้าอย่างหนี่งชี้นละ 20 บาทในหนึ่งสัปดาห์ เขาจะขายสินค้าได้ 1000 ชิ้น ถ้าเขาลดราคาลงชี้นละ 1 บาท เขาจะขายสิ้นค้าได้เพิ่มอีก 100 ชิ้น เป็น 1100 ชิ้นต่อสัปดาห์ ถ้าเขาลดราคาลงชิ้นละ 2 บาท เขาจะขายสิ้นค้าได้เพิ่มอีก 200 ชิ้น เป็น 1200 ชิ้นต่อสัปดาห์ ถ้าเป็นเช่นนี้เรื่อยๆ ไป เขาควรจะตั้งราคาสิ้นค้าเท่าใด จึงจะได้เงินจากการขายมากที่สุด
วิธีทำ
ถ้าพ่อค้าตั้งราคาขายสินค้าอย่างหนึ่งชิ้นละ 20 บาท
ในหนึ่งสัปดาห์เขาจะขายสิ้นค้าได้ 1000 ชิ้น
ถ้าเขาลดราคาลงชิ้นละ 1 บาท เขาจะขายได้ 1000+100 ชิ้น
ถ้าเขาลดราคาลงชิ้นละ 2 บาท เขาจะขายได้ 1000+200 ชิ้น
\(\vdots\quad\quad\vdots\)
ถ้าเขาลดราคาชิ้นละ x บาท เข้าจะขายได้ 1000+100x ชิ้น
เขาขายสิ้นค้าราคาชิ้นละ 20-x บาท
ให้ \(f(x)\) เป็นเงินที่ได้จากการขายสิ้นค้า เมื่อ \(x\) เป็นเงินที่ลดราคาสิ้นค้า 1 ชิ้น
จะได้
\begin{array}{lcl} f(x)&=&(1000+100x)(20-x)\\&=&20000+1000x-100x^{2}\\f^{\prime}(x)&=&1000-200x\end{array}
ถ้า \(f^{\prime}(x)=0\)
จะได้ \(1000-200x=0\)
เพราะฉะนั้น \(x=5\)
ดั้งนั้นค่าวิกฤตของฟังก์ชัน \(f\) คือ 5
จาก \(f^{\prime}(x)=1000-200x\)
จะได้
\begin{array}{lcl}f^{\prime\prime}(x)&=&-200\\f^{\prime\prime}(5)&=&-200\quad ;\quad -200<0\end{array}
นั่นคือ ฟังก์ชัน \(f\) มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์ที่ \(x=5\) และมีค่าเท่ากับ \(f(5)=22500\) แสดงว่าเขาควรลดราคาสิ้นค้าชิ้นละ 5 บาท จึงจะได้เงินจากการขายมากที่สุด ดังนั้นเขาควรจะตั้งราคาสิ้นค้าชิ้นละ 20-5=15 บาท จึงจะได้เงินจากการขายมากที่สุด
7.ต้องการสร้างรั้วล้อมรอบพื้นที่เพื่อทำการเกษตรเป็นรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากให้มีพื้นที่ 384 ตารางเมตร โดยมีด้านหนึ่งอยู่ติดริมแม่น้ำจึงไม่จำเป็นต้องสร้างรั้ว ด้านตรงข้ามกับแม่น้ำต้องสร้างรั้วและประตูทางเข้ามีค่าใช้จ่ายในการสร้าง 3000 บามต่อเมตร ส่วนอีกสองด้านที่เหลือมีค่าใช้จ่ายในการสร้างรั้ว 1000 บาทต่อเมตร จงหาว่าจะต้องสร้างรั้วให้มีความกว้างและความยาวเท่าใด จึงจะทำให้ค่าใช้จ่ายในการสร้างรั้วต่ำที่สุด และค่ามช้จ่ายต่ำสุดเป็นเท่าใด
วิธีทำ ข้อนี้ให้ลองวาดภาพประกอบนะคับเพื่อให้เห็นภาพชัดเจน
จากรูป
ด้านตรงข้ามแม่น้ำให้รั้วมียาวเท่ากับ \(x\) เมตร ดั้งนั้นค่าใช้จ่ายในการสร้างรั้วเท่ากับ \(3000x\) บาท
ด้านข้างทั้งสองรั้วจะมีความยาวเท่ากับ \(2y\) เมตร ดังนั้นค่าใช้จ่ายในการสร้างรั้วด้านข้างเท่ากับ \(2y\times 1000=2000y\) บาท
ดังนั้นค่าใช้จ่ายในการสร้างรั้วทั้งหมดคือ \(3000x+2000y\)
จากโจทย์ พื้นที่ทำการเกษตรเป็นรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก ดังนั้น พื้นที่ทำการเกษตรคือ \(xy=384\) ตารางเมตร
นั่นก็คือ \(y=\frac{384}{x}\) เมื่อ \(x\in (0,\infty)\)
กำหนดให้ \(f(x)\) เป็นค่าใช้จ่ายในการสร้างรั้ว จะได้ว่า
\(f(x)=3000x+2000y\)
\(f(x)=3000x+2000\frac{384}{x}\)
ต่อไปเราก็หาค่าของ \(x\) ที่ทำให้ \(f(x)\) หรือว่าทำให้ค่าใช้จ่ายในการสร้างรั้วน้อยที่สุด ก็คือหาจุดวิกฤตของเจ้า \(f(x)\) นั่นเอง
\(f^{\prime}(x)=3000-2000\cdot 384\cdot x^{-2}\)
\(f^{\prime}(x)=3000-\frac{2000\cdot 384}{x^{2}}\)
จะได้
\begin{array}{lcl}3000-\frac{2000\cdot 384}{x^{2}}&=&0\\x^{2}&=&256\\x&=&16,-16\end{array}
เนื่องจาก \(x\) คือความยาวของรั้วดังนั้น \(x=16\)
ต่อไปเราก็นำจุดวิกฤตนี้ไปตรวจสอบดูว่า จุดวิกฤตนี้เป็นจุดวิกฤตที่ให้ค่าต่ำสุดหรือสูงสุดของฟังก์ชัน จริงๆไม่ต้องตรวจสอบหรอก555 ตอบเลยก็ได้ แต่เพื่อความถูกต้อง
เราจะเห็นว่าอนุพันธ์อันดับสองของ \(f(x)\) คือ
\begin{array}{lcl}f^{\prime\prime}(x)&=&\frac{2\cdot 2000\cdot 384}{x^{3}}\\f^{\prime\prime}(16)&=&\frac{2\cdot 2000\cdot 384}{16^{3}}\end{array}
จะเห็นได้ชัดเจนว่า \(f^{\prime\prime}(16)>0\) ดังนั้น จุดวิกฤต \(x=16\) เป็นจุดวิกฤตที่ทำให้ \(f(x)\) มีค่าต่ำสุด นั่นก็คือ ด้านตรงข้ามของแม่น้ำรั้วต้องยาว 16 เมตร ค่าใช้จ่ายในการสร้างรั้วถึงจะต่ำที่สุด และอีกสองด้านที่เหลือจะต้องยาว
\begin{array}{lcl}y&=&\frac{384}{x}\\y&=&\frac{384}{16}\\y&=&24\end{array}
สรุปก็คือ จะต้องสร้างรั้วด้านที่อยู่ตรงข้ามแม่น้ำให้มีความยาวเท่ากับ 16 เมตร และอีกสองด้านที่เหลือให้ยาว 24 เมตร จึงจะทำให้ค่าใช้จ่ายในการสร้างรั้วต่ำที่สุด และค่าใช้จ่ายต่ำสุดคือ
\(f(x)=3000x+2000y=3000(16)+2000(24)=96000\) บาท นั่นเองครับ
ดูวิดีโอประกอบการอ่านครับ