วันนี้เราจะมาเรียนเรื่องของ ปฏิยานุพันธ์ ครับซึ่งเป็นเจ้า ปฎิยานุพันธ์นั้นจะเป็นญาติพี่น้องกับอนุพันธ์โดยมีความเกี่ยวดองกันทางสายเลือด เรามาดูกันว่าจะปฏิยานุพันธ์กับอนุพันธ์นั้นเกี่ยวดองกันอย่างไร
จากเรื่องการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ทราบแล้วว่า ถ้ามีสมการของการเคลื่อนที่ซึ่งแสดงความสัมพันธ์ระหว่างระยะทาง \((s)\) กับเวลา \((t)\) แล้วความเร็ว \((v)\) ของวัตถุคือ \(\frac{ds}{dt}\) หรือ \(v=\frac{ds}{dt}\)
ฉะนั้น ถ้าทราบว่า \(v=3t^{2}+6t\)
แสดงว่า
\[\frac{ds}{dt}=3t^{2}+6t\]
ลองนึกย้อนกลับว่าสมการของการเคลื่อนที่ซึ่งแสดงความสัมพันธ์ระหว่าง \(s\) กับ \(t\) ควรจะเป็นอย่างไร จึงจะได้ \(\frac{ds}{dt}=3t^{2}+6t\)
สมมติให้การคาดคะแนว่าสมการของการเคลื่อนที่คือ \(s_{1}=t^{3}+t^{2}\)
จะได้ \(v_{1}=\frac{ds_{1}}{dt}=3t^{2}+2t\)
พบว่า \(s_{1}=t^{3}+t^{2}\) ไม่ใช่สมการของการเคลื่อนที่ตามต้องการ
ลองสมมติใหม่ได้ \(s_{2}=t^{3}+3t^{2}\)
คราวนี้จะเห็นได้ว่า \(v_{2}=3t^{2}+6t\) ได้สมการของการเคลื่อนที่ซึ่งให้ความเร็วตรงตามที่กำหนด ปัญหาที่ตามมาคือยังมีสมการของการเคลื่อนที่อื่นอีกหรือไม่ที่ให้ความเร็วตามที่กำหนด ลองพิจารณาสมการของการเคลื่อนที่ต่อไปนี้
ถ้า \(s_{3}=t^{3}+3t^{2}+5\)
จะได้ \(v_{3}=3t^{2}+6t\)
ถ้า \(s_{4}=t^{3}+3t^{2}-8\)
จะได้ \(v_{4}=3t^{2}+6t\)
ถ้า \(s_{5}=t^{3}+3t^{2}+c\) เมื่อ \(c\) เป็นค่าคงตัว
จะได้ \(v_{5}=3t^{2}+6t\)
จากการหาสมการของการเคลื่อนที่ข้างต้นจะเห็นว่าวัตถุจะเคลื่อนที่ด้วยความเร็วที่เท่ากันคือ \(v=3t^{2}+6t\) เมื่อสมการของการเคลื่อนที่คือ \(s=t^{3}+3t^{2}+c\)
กระบวนการหาความเร็วของวัตถุขณะเวลา \(t\) ใดๆ เมื่อทราบสมการของการเคลื่อนที่โดยอาศัยความรู้เรื่องการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน แต่สำหรับการหาสมการของการเคลื่อนที่ของวัตถุเมื่อทราบสมการความเร็วของวัตถุนั้นเป็นกระบวนการตรงข้ามกับการหาอนุพันธ์ ซึ่งเรียกว่า การหาปฏิยานุพันธ์ และเรียกสมการของการเคลื่อนที่แต่ละสมการข้างต้นว่า ปฏิยานุพันธ์ของ \(v=3t^{2}+6t\)
ในกรณีทั่วไป จะนิยามปฏิยานุพันธ์ของฟังก์ชันใดๆ ดังนี้
บทนิยาม
ฟังก์ชัน \(F\) เป็นปฏิยานุพันธ์ (antiderivative) หนึ่งของ \(f\)
ถ้า \(F^{\prime}(x)=f(x)\) สำหรับทุกค่าของ \(x\) ที่อยู่ในโดเมนของ \(f\)
ต่อไปเรามาดูตัวอย่างของการทำแบบฝึกหัดของปฏิยานุพันธ์กันครับ
ตัวอย่างที่ 1 จงแสดงว่า \(F(x)=\sqrt{x^{2}-1}\) เป็นปฏิยานุพันธ์ของฟังก์ชัน \(f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}}\)
วิธีทำ จาก \(F(x)=\sqrt{x^{2}-1}\)
จะได้
\begin{array}{lcl}F^{\prime}(x)&=&\frac{1}{2}(x^{2}-1)^{-\frac{1}{2}}(2x)\\&=&\frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}}\end{array}
นั่นคือ \(F^{\prime}(x)=f(x)\)
ดังนั้น \(F(x)=\sqrt{x^{2}-1}\)เป็นปฎิยานุพันธ์หนึ่งของฟังก์ชัน \(f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}}\)
ตัวอย่างที่ 2 ให้ \(f(x)=2x\) จงหาปฎิยานุพันธ์ของฟังก์ชัน \(f\)
วิธีทำ
ให้ \(F_{1}(x)=x^{3}\) จะได้ \(F_{1}^{\prime}(x)=3x^{2}\)
\(F_{2}(x)=x^{2}\) จะได้ \(F_{2}^{\prime}(x)=2x\)
\(F_{3}(x)=x^{2}+3\) จะได้ \(F_{3}^{\prime}(x)=2x\)
\(F_{4}(x)=x^{2}+4\) จะได้ \(F_{4}^{\prime}(x)=2x\)
นั่นคือ \(F_{2},F_{3},F_{4}\) ต่างเป็นปฏิยานุพันธ์ของ \(f(x)=2x\)
จะเห็นว่า ถ้าให้ \(F(x)=x^{2}+c\) เมื่อ \(c\) เป็นค่าคงตัว
จะได้ \(F^{\prime}(x)=2x\)
ดังนั้น \(F(x)=x^{2}+c\) เมื่อ \(c\) เป็นค่าคงตัว เป็นรูปทั่วไปของปฏิยานุพันธ์ของ \(f(x)=2x\)
หมายเหตุ 1. ถ้า \(F\) เป็นปฏิยานุพันธ์หนึ่งของ \(f\) แล้วฟังก์ชัน \(G\) ที่นิยามโดย \(G(x)=F(x)+c\) เมื่อ \(c\) เป็นค่าคงตัว จะเป็นปฏิยานุพันธ์ของ \(f\) ด้วย
2. ในคณิตศาสตร์ระดับที่สูงขึ้นไปมีการพิสูจน์โดยชัดแจ้งว่าปฏิยานุพันธ์ของฟังก์ชันเดียวกันจะต่างกันเพียงค่าคงตัวเท่านั้น
ตัวอย่างที่ 3 จงหาฟังก์ชัน \(F\) เมื่อกำหนด \(F^{\prime}(x)=3x^{2}\)
วิธีทำ ลองให้ \(F(x)=x^{3}\)
จะได้ \(F^{\prime}(x)=3x^{2}\) ซึ่งตรงกับสิ่งที่กำหนดให้
ดังนั้น เมื่อ \(F^{\prime}(x)=3x^{2}\) จะได้ \(F(x)=x^{3}+c\) เมื่อ \(c\) เป็นค่าคงตัว
ตัวอย่างที่ 4 จงหาปฎิยานุพันธ์ของ \(f\) เมื่อ \(f(x)=x\)
วิธีทำ
กำหนดให้ \(f(x)=x\) จะหา \(F\) ที่ \(F^{\prime}(x)=x\)
ลองให้ \(F(x)=x^{2}\) จะได้ \(F^{\prime}(x)=x\)
แสดงว่า \(F(x)=x^{2}\) ไม่ใช่ฟังก์ชันที่ต้องการ
ลองให้ \(F(x)=\frac{1}{2}x^{2}\)
จะได้ \(F^{\prime}(x)=\frac{1}{2}(2x)=x\)
ดังนั้น ปฏิยานุพันธ์ของ \(f(x)=x\) คือ \(F(x)=\frac{1}{2}x^{2}+c\) เมื่อ \(c\) เป็นค่าคงตัว
ตัวอย่างที่ 5 จงหาปฎิยานุพันธ์ของ \(f\) เมื่อ \(f(x)=3x^{2}+x\)
วิธีทำ กำหนดให้ \(f(x)=3x^{2}+x\)
จะหา \(F(x)\) ที่ \(F^{\prime}(x)=3x^{2}+x\)
ลองให้ \(F(x)=x^{3}+\frac{1}{2}x^{2}\)
จะได้
\begin{array}{lcl}F^{\prime}(x)&=&3x^{2}+\frac{1}{2}(2x)\\&=&3x^{2}+x\end{array}
ดังนั้น ปฎิยานุพันธ์ของ \(f(x)=3x^{2}+x\) คือ \(F(x)=x^{3}+\frac{1}{2}x^{2}+c\) เมื่อ \(c\) เป็นค่าคงที่
ต่อไปเรามาดูตัวอย่างการทำแบบฝึกหัด สักข้อสองข้อซึ่งเป็นแบบฝึกหัดเกี่ยวกับปฎิยานุพันธ์ของฟังก์ชัน ซึ่งผมจะทำให้ดูเพื่อเป็นตัวอย่างในการทำแบบฝึกหัดสำหรับข้ออื่นๆที่ยากขึนนะครับ พยายามอ่านทำความเข้าใจแล้วประยุกต์ในการทำโจทย์ปฏิยานุพันธ์ของฟังก์ชันข้ออื่นๆอีกต่อไปครับ มาเริ่มกันเลยครับ
1. จงหาปฎิยานุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนดให้ต่อไปนี้
1. \(f(x)=5x\)
วิธีทำ
จาก \(f(x)=5x\)
จะได้ \(F(x)=\frac{5}{2}x^{2}+c\)
2. \(f(x)=x^{3}\)
วิธีทำ
จาก \(f(x)=x^{3}\)
จะได้ \(F(x)=\frac{1}{4}x^{4}+c\)
3. \(f(x)=x\sqrt{x}\)
วิธีทำ
จาก \(F(x)=x\sqrt{x}=x(x^{\frac{1}{2}})=x^{\frac{3}{2}}\)
จะได้ \(F(x)=\frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}}+c\)
4. \(f(x)=\frac{1}{x^{5}}\)
วิธีทำ
จาก \(f(x)=\frac{1}{x^{5}}=x^{-5}\)
จะได้
\begin{array}{lcl}F(x)&=&-\frac{1}{4}x^{-4}+c\\&=&-\frac{1}{4x^{4}}+c\end{array}
5. \(f(x)=2x+1\)
วิธีทำ
จาก \(f(x)=2x+1\)
จะได้ \(F(x)=x^{2}+x+c\)
6. \(f(x)=4x^{4}+3x^{3}+2x^{2}+x+1\)
วิธีทำ
จาก \(f(x)=4x^{4}+3x^{3}+2x^{2}+x+1\)
จะได \(F(x)=\frac{4}{5}x^{5}+\frac{3}{4}x^{4}+\frac{2}{3}x^{3}+\frac{1}{2}x^{2}+x+c\)
7. \(f(x)=\frac{2}{x^{2}}+\frac{3}{x^{3}}\)
วิธีทำ
จาก
\begin{array}{lcl}f(x)&=&\frac{2}{x^{2}}+\frac{3}{x^{3}}\\&=&2x^{-2}+3x^{-3}\end{array}
จะได้
\begin{array}{lcl}F(x)&=&-2x^{-1}-\frac{3}{2}x^{-2}+c\\&=&-\frac{2}{x}-\frac{3}{2x^{2}}+c\end{array}
8.\(f(x)=(x^{2}-1)(4-x^{2}\)
วิธีทำ
จาก
\begin{array}{lcl}f(x)&=&(x^{2}-1)(4-x^{2})\\&=&-x^{4}+5x^{2}-4\end{array}
จะได้ \(F(x)=-\frac{1}{5}x^{5}+\frac{5}{3}x^{3}-4x+c\)
9.\(f(x)=\frac{1+\sqrt{x}}{x^{2}}\)
วิธีทำ
จาก
\begin{array}{lcl}f(x)&=&\frac{1+\sqrt{x}}{x^{2}}\\&=&\frac{1}{x^{2}}+\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{2}}\\&=&x^{-2}+x^{\frac{-3}{2}}\end{array}
จะได้
\begin{array}{lcl}F(x)&=&-x^{-1}-2x^{-\frac{1}{2}}+c\\&=&-\frac{2}{\sqrt{x}}-\frac{1}{x}+c\end{array}