วันนี้เรามาเรียนเกี่ยวกับปริพันธ์ไม่จำกัดเขต สามารถอ่านหนังสือเกี่ยวกับปริพันธไม่จำกัดเขตเพิ่มเติมได้ที่ หนังสือเรียนคณิตศาสตร์ ของ สสวท. เพิ่มเติมได้ครับเขาเขียนไว้ดีมากหลาย และทำแบบฝึกหัดเพิ่มเติมเพื่อความเข้าใจมากยิ่งขึ้นครับ เริ่มอ่านกันเลย
ถ้าให้ \(f(x)=2x\) และ \(F(x)=x^{2}\) จะได้ \(F^{\prime}(x)=f(x)=2x\) หรือ \(F)\) เป็นปฏิยานุพันธ์หนึ่งของ \(f\)
นอกจากนี้ฟังก์ชัน
\(F_{1}(x)=x^{2}+3\)
\(F_{2}(x)=x^{2}-4\)
\(F_{3}(x)=x^{2}-12\)
\(\vdots\quad\quad\vdots\)
ต่างก็เป็นปฏิยานุพันธ์ของ \(f\)
จะเห็นว่า ปฏิยานุพันธ์ของฟังก์ชัน \(f\) ต่างกันที่ค่าคงตัวเท่านั้น และจะเขียนรูปทั่วไปของปฏิยานุพันธ์ของฟังก์ขัน \(f\) ด้วย \(F(x)+c\) เมื่อ \(c\) เป็นค่าคงตัว
จากกระบวนการหาปฏฺิยานุพันธ์ที่แสดงมาข้างต้น จะเห็นว่าเมื่อมีฟังก์ชัน \(f\) จะ พยายามหาฟังก์ชัน \(F\) ซึ่ง \(F^{\prime}(x)=f(x)\) แล้วสรุปว่ารูปทั่วไปของปฏิยานุพันธ์ของ \(f\) คือฟังก์ชัน \(y=F(x)+c\) เมื่อ \(c\) เป็นค่าคงตัว
ต่อไปเพื่อความสะดวกในการคำนวณ จะเขียนแทนรูปทัวไปของปฏิยานุพันธ์ของ ฟังก์ชัน \(f\) ด้วยสัญลักษณ์ \(\int f(x)dx\) อ่านว่า "ปริพันธ์ไม่จำกัดเขต(indefinite integral) ของฟังก์ชัน \(f\) เทียบกับตัวแปร x"
ดังนั้น ถ้า \(F^{\prime}(x)=f(x)\) แล้วจะได้ว่า
\(\int f(x)dx=F(x)+c\) เมื่อ \(c\) เป็นค่าคงตัว
กล่าวคือ ปริพันธ์ไม่จำกัดเขตของ \(f\) ก็คือ ปฏิยานุพันธ์ของ \(f\) นั่นเองครับ
จากบทนิยามเรียกกระบวนการหา \(\int f(x)dx\) ว่า "การหาปริพันธ์ (integration)" เครื่องหมาย "\(\int \)" เรียกว่าเครื่องหมาย "ปริพันธ์(integral)" เรียก \(f(x)\) ว่า "ปริพัทธ์(integrand)" และเรียก \(dx\) ว่าเป็น "ผลต่างเชิงอนุพันธ์(differential)" เป็นสัญลักษณ์ที่บอกว่าการหาปริพันธ์นี้เทียบกับตัวแปร \(x\)
ต่อไปนี้เป็นสูตรที่ใช้ในการหาปริพันธ์ไม่จำกัดเขตของฟังก์ชัน
สูตรที่ 1 \(\int kdx=kx+c\) เมื่อ \(k\) และ \(c\) เป็นค่าคงที่
ตัวอย่างการใช้สูตรเช่น
ตัวอย่าง จงหาค่าของ \(\int 5dx\)
วิธีทำ จากสูตรที่ 1 จะได้ว่า \(\int 5dx=5x+c\) เมื่อ \(c\) เป็นค่าคงตัว
สูตรที่ 2 ถ้า \(n\neq -1\) แล้ว \(\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+c\) เมื่อ \(c\) เป็นค่าคงตัว
ตัวอย่างการใช้สูตรเช่น
ตัวอย่าง จงหาค่าของ \(\int x^{5}dx\)
วิธีทำ จากสูตรที่ 2 จะได้
\begin{array}{lcl}\int x^{5}dx&=&\frac{x^{5+1}}{5+1}+c\\&=&\frac{x^{6}}{6}+c\end{array}
สูตรที่ 3 \(\int kf(x)dx=k\int f(x)dx\) เมื่อ \(k\) เป็นค่าคงตัว และ \(f(x)\) มีปริพันธ์
ตัวอย่างการใช้สูตรเช่น
ตัวอย่าง จงหา \(\int 3x^{2}dx\)
วิธีทำ
\begin{array}{lcl}\int 3x^{2}dx&=&3\int x^{2}dx\\&=&3\left(\frac{x^{3}}{3}+c_{1}\right)\\&=&x^{3}+3c_{1}\end{array}
สูตรที่ 4 \(\int[f(x)+g(x)]dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx\) เมื่อ \(f(x)\) และ \(g(x)\) มีปริพันธ์
ตัวอย่างการใช้สูตรเช่น
ตัวอย่าง จงหา \(\int (x^{2}+2x)dx\)
วิธีทำ
\begin{array}{lcl}\int (x^{2}+2x)dx&=&\int x^{2}dx +\int 2xdx\\&=&\int x^{2}dx+2\int xdx\\&=&\frac{x^{3}}{3}+c_{1}+2\left(\frac{x^{2}}{2}+c_{2}\right)\\&=&\frac{x^{3}}{3}+x^{2}+c\end{array} เมื่อ \(c=c_{1}+2c_{2}\)
สูตรที่ 5 \(\int [f(x)-g(x)]dx=\int f(x)dx-\int g(x)dx\) เมื่อ \(f(x)\) และ \(g(x)\) มีปริพันธ์
หมายเหตุ โดยทั่วๆไป ในการหาปริพันธ์ไม่จำกัดเขตของผลบวกหรือผลต่างของฟังก์ชันแทนที่จะบวกค่าคงตัวเมื่อหาปริพันธ์ไม่จำกัดเขตของแต่ละฟังก์ชัน เพื่อความสะดวกจะบวกค่าคงตัวเพียงตัวเดียวเท่านั้น ดังตัวอย่างต่อไปนี้
ตัวอย่างการใช้สูตรเช่น
ตัวอย่าง จงหา \(\int \left(2x-\frac{1}{x^{2}}\right)dx\)
วิธีทำ
\begin{array}{lcl}\int\left(2x-\frac{1}{x^{2}}\right)dx&=&\int 2xdx-\int \frac{1}{x^{2}}dx\\&=&2\int xdx-\int x^{-2}dx\\&=&2\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{-1}}{-1}+c\\&=&x^{2}+\frac{1}{x}+c\end{array}
เมื่อ \(c\) คือค่าคงตัวครับ
ตัวอย่าง จงหา \(\int (3x^{6}-2x^{2}+7x+1)dx\)
วิธีทำ
\begin{array}{lcl}\int (3x^{6}-2x^{2}+7x+1)dx&=&3\int x^{6}dx-2\int x^{2}dx+7\int xdx+\int 1dx\\&=&\frac{3x^{7}}{7}-\frac{2x^{3}}{3}+\frac{7x^{2}}{2}+x+c\end{array}
เมื่อ \(c\) เป็นค่าคงตัว
หมายเหตุ การหาปฏิยานุพันธ์ของฟังก์ชัน \(f\) เมื่อกำหนด \(\frac{dy}{dx}=f(x)\) มาให้สามารถทำได้ดังนี้
จาก \(\frac{dy}{dx}=f(x)\)
ดังนั้น \(\int\frac{dy}{dx}dx=\int f(x)dx\)
หรือ
\(y=\int f(x)dx\)
ตัวอย่างเช่น ถ้า \(\frac{dy}{dx}=5x^{4}+3x^{2}-2\) จงหา \(y\)
วิธีทำ
จาก \(\frac{dy}{dx}=5x^{4}+3x^{2}-2\)
จะได้
\begin{array}{lcl}y&=&\int (5x^{4}+3x^{2}-2)dx\\&=&\int 5x^{4}dx+\int 3x^{2}dx-\int 2dx\\&=&5\int x^{4}dx+3\int x^{2}dx-2\int dx\\&=&\frac{5x^{5}}{5}+\frac{3x^{3}}{3}-2x+c\\&=&x^{5}+x^{3}-2x+c\end{array}
เมื่อ \(c\) เป็นค่าคงตัว
ตัวอย่าง ในขณะเวลา \(t\) ใดๆ วัตถุชิ้นหนึ่งเคลื่อนที่ด้วยความเร่ง \(-3t\) \(เมตร/วินาที^{2}\) ขณะที่เริ่มต้นจับเวลาวัตถุชิ้นนี้เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว \(1\) เมตร/วินาที และได้ระยะทาง \(3\) เมตร จงหา
1) ความเร็วของวัตถุขณะเวลา\(t\) ใดๆ
2) สมการของการเคลื่อนที่ของวัตถุชิ้นนี้
วิธีทำ 1) เนื่องจาก \(\frac{dv}{dt}=-3t\)
จะได้ \(v=\int (-3t)dt=\frac{-3t^{2}}{2}+c_{1}\) เมื่อ \(c_{1}\) เป็นค่าคงตัว ขณะที่เริ่มต้นจับเวลาวัตถุเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว 1 เมตร/วินาที
นั่นคือ เมื่อ \(t=0,\quad v=1\)
จาก \(v=\frac{-3t^{2}}{2}+c_{1}\)
จะได้ \(1=0+c_{1}\) หรือ \(c_{1}=1\)
ดังนั้น ความเร็วของวัตถุชิ้นนี้ขณะเวลา \(t\) ใดๆ คือ \(v=-\frac{3}{2}t^{2}+1\)
2) เนื่องจาก \(v=\frac{ds}{dt}=-\frac{3}{2}t^{2}+1\)
จะได้ \(s=\int\left(-\frac{3}{2}t^{2}+1\right)dt=-\frac{t^{3}}{2}+t+c_{2}\)
เมื่อ \(c_{2}\) เป็นค่าคงตัว
ขณะที่เริ่มต้นจับเวลาวัตถุเคลื่อนที่ได้ระยะทาง 3 เมตร
นั่นคือ เมื่อ \(t=0,\quad s=3\)
จาก \(s=-\frac{t^{3}}{2}+t+c_{2}\)
จะได้ \(3=0+0+c_{2}\)
\(c_{2}=3\)
ดังนั้น สมการของการเคลื่อนที่ของวัตถุชิ้นนี้คือ \(s=-\frac{t^{3}}{2}+t+3\)