อินทิเกรต

วันนี้ผมจะทำการเฉลยแบบฝึกหัดปริพันธ์ไม่จำกัดเขตหรือว่าอินทิเกรตไม่จำกัดเขตนั่นเองครับให้ผู้ที่สนใจได้ดู ได้ศึกษาอ่านเองเพื่อเป็นความรู้พื้นฐาน สำหรับคนที่ไม่มีเงินเรียนพิเศษ จะได้มีเฉลยไว้ดู  สามารถอ่านและศึกษา แบบฝึกหัดพวกนี้เพิ่มเติมได้จากหนังสือคณิตศาสตร์ของ สสวท. และหนังสืออื่นๆที่เกี่ยวกับข้อง จะได้มีความรู้ที่กว้างและทำข้อสอบได้ต่อไป มาดูแบบฝึกหัดเกี่ยวกับการหาปริพันธ์ไม่จำกัดเขตกันเลยครับ

1. จงหาปริพันธ์ไม่จำกัดเขตต่อไปนี้

1) \(\int (x^{4}+3x^{2}+5x)dx\)

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}\int (x^{4}+3x^{2}+5x)dx&=&\int x^{4}dx+\int 3x^{2}dx+\int 5xdx\\&=&\int x^{4}dx+3\int x^{2}dx+5\int xdx\\&=&\frac{x^{5}}{5}+x^{3}+\frac{5x^{2}}{2}+c\end{array}

2)\(\int (2x^{3}-3x^{2}+6-2x^{-2})dx\)

วิธีทำ 

\begin{array}{lcl}\int (2x^{3}-3x^{2}+6-2x^{-2})dx&=&\int 2x^{3}dx-\int3x^{2}dx+6\int dx-\int 2x^{-2}dx\\&=&2\int x^{3}dx-3\int x^{2}dx+6\int dx-2\int x^{-2}dx\\&=&\frac{x^{4}}{2}-x^{3}+6x+\frac{2}{x}+c\end{array}

3) \(\int (x^{10}-\frac{1}{x^{3}})dx\)

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}\int (x^{10}-\frac{1}{x^{3}})dx&=&\int x^{10}dx-\int x^{-3}dx\\&=&\frac{x^{11}}{11}+\frac{1}{2x^{2}}+c\end{array}

4)\(\int (\frac{1}{x^{2}}+\frac{2}{x^{4}})dx\)

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}\int (\frac{1}{x^{2}}+\frac{2}{x^{4}}&=&\int \frac{1}{x^{2}}dx+\int \frac{2}{x^{4}}dx\\&=&\int x^{-2}dx+2\int x^{-4}dx\\&=&-\frac{1}{x}-\frac{2}{3x^{3}}+c\end{array}

5) \(\int \sqrt{x}dx\)

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}\int \sqrt{x}dx&=&\int x^{\frac{1}{2}}dx\\&=&\frac{2x^{\frac{3}{2}}}{3}+c\\&=&\frac{2x\sqrt{x}}{3}+c\end{array}

6) \(\int (x^{\frac{3}{2}}-x^{\frac{2}{3}})dx\)

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}\int (x^{\frac{3}{2}}-x^{\frac{2}{3}})dx&=&\int x^{\frac{3}{2}}dx-\int x^{\frac{2}{3}}dx\\&=&\frac{2x^{\frac{5}{2}}}{5}-\frac{3x^{\frac{5}{3}}}{5}+c\end{array}

7. \(\int (\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{2\sqrt{x}})dx\)

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}\int (\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{2\sqrt{x}})dx&=&\int \frac{1}{x^{2}}dx-\int \frac{1}{2\sqrt{x}}dx\\&=&\int x^{-2}dx-\int\frac{1}{2}x^{\frac{-1}{2}}dx\\&=&-\frac{1}{x}-x^{\frac{1}{2}}+c\\&=&-\frac{1}{x}-\sqrt{x}+c\end{array}

8)\(\int x^{2}(x-3)dx\)

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}\int x^{2}(x-3)dx&=&\int x^{3}dx-\int 3x^{2}dx\\&=&\frac{x^{4}}{4}-x^{3}+c\end{array}

9) \( \int \sqrt{x}(x+1)dx\)

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}\int\sqrt{x}(x+1)dx&=&\int x^{\frac{1}{2}}(x+1)dx\\&=&\int x^{\frac{3}{2}}dx+\int x^{\frac{1}{2}}dx\\&=&\frac{2x^{\frac{5}{2}}}{5}+\frac{2x^{\frac{3}{2}}}{3}+c\end{array}

10) \(\int(\frac{x-2}{x^{3}})dx\)

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}\int(\frac{x-2}{x^{3}})dx&=&\int x^{-2}dx-\in 2x^{-3}dx\\&=&\int x^{-2}dx-2\int x^{-3}dx\\&=&-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}+c\end{array}

11) \(\int (x^{2}+5x+1)dx\)

วิธีทำ 

\begin{array}{lcl} \int (x^{2}+5x+1)dx&=&\int x^{2}dx+\int 5xdx+\int 1dx\\&=&\int x^{2}dx+5\int xdx+\int 1dx\\&=&\int \frac{x^{3}}{3}+\frac{5x^{2}}{2}+x+c\end{array}

12) \(\int (6\sqrt{x}+15)dx\)

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}\int (6\sqrt{x}+15)dx&=&\int 6x^{\frac{1}{2}}dx+\int 15dx\\&=&4x^{\frac{3}{2}}+15x+c\\&=&4x\sqrt{x}+15x+c\end{array}

13) \(\int (x^{3}+5x^{2}+6)dx\)

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}\int (x^{3}+5x^{2}+6)dx&=&\int x^{3}dx+\int 5x^{2}dx+\int 6dx\\&=&\int x^{3}dx+5\int x^{2}dx+\int 6dx\\&=&\frac{x^{4}}{4}+\frac{5x^{3}}{3}+6x+c\end{array}

14) \(\int (\frac{6}{\sqrt{x}}+8\sqrt{x})dx\)

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}\int (\frac{6}{\sqrt{x}}+8\sqrt{x})dx&=&\int 6x^{-\frac{1}{2}}dx+\int 8x^{\frac{1}{2}}dx\\&=&6\int x^{-\frac{1}{2}}dx+8\int x^{\frac{1}{2}}dx\\&=&12x^{\frac{1}{2}}+\frac{16x^{\frac{3}{2}}}{3}+c\\&=&12\sqrt{x}+\frac{16}{3}x\sqrt{x}+c\end{array}

2. ถ้า \(f^{\prime}(x)=x\) และ \(f(x)=2\) แล้ว จงหา \(f(x)\)

วิธีทำ  กำหนดให้ \(\frac{dy}{dx}=f^{\prime}(x)=x\)

จะได้

\begin{array}{lcl}\int\frac{dy}{dx}dx&=&\int xdx\\y&=&\int xdx\\y&=&\frac{x^{2}}{2}+c\end{array}

จะได้ \(f(x)=\frac{x^{2}}{2}+c\)

เนื่องจาก \(f(2)=2\)

จะได้ 

\begin{array}{lcl}2&=&\frac{2^{2}}{2}+c\\c&=&0\end{array}

ดังนั้น \(f(x)=\frac{x^{2}}{2}\)

3. จงหาสมการเส้นโค้ง \(y=f(x)\)  เมื่อกำหนดความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุด \((x,y)\) ใดๆและจุดที่เส้นโค้งผ่านดังนี้

1) \(\frac{dy}{dx}=x^{2}-3x+2\) จุด \((2,1)\)

วิธีทำ  เนื่องจากความชันของเส้นสัมผัสโค้งที่จุด \((x,y)\) คือ \(x^{2}-3x+2\)

นั่นคือ

\begin{array}{lcl}\frac{dy}{dx}&=&x^{2}-3x+2\end{array}

จะได้

\begin{array}{lcl}y&=&\int (x^{2}-3x+2)dx\\y&=&\frac{x^{3}}{3}-\frac{3x^{2}}{2}+2x+c\end{array}

ดังนั้น สมการเส้นโค้งคือ \(y=\frac{x^{3}}{3}-\frac{3x^{2}}{2}+2x+c\)

แต่เส้นโค้งนี้ผ่านจุด \((2,1)\) นั่นคือ เมื่อ \(x=2\) จะได้ \(y=1\)

แทนค่า \(x\) ด้วย \(2)\) และแทน \(y\) ด้วย \(1\) ในสมการ \(y=\frac{x^{3}}{3}-\frac{3x^{2}}{2}+2x+c\) จะได้

\begin{array}{lcl}1&=&\frac{2^{3}}{3}-\frac{3}{2}(2^{2})+2(2)+c\\c&=&\frac{1}{3}\end{array}

ดังนั้น สมการเส้นโค้งดังกล่าวคือ \(y=\frac{x^{3}}{3}-\frac{3x^{2}}{2}+2x+\frac{1}{3}\)

2) \(\frac{dy}{dx}=2x^{3}+4x\)  จุด \((0,5)\)

วิธีทำ เนื่องจากความชันของเส้นสัมผัสโค้งที่จุด \((x,y)\) ใดๆ คือ \(2x^{3}+4x\)

นั้นคือ \(\frac{dy}{dx}=2x^{3}+4x\)

จะได้

\begin{array}{lcl}y&=&\int (2x^{3}+4x)dx\\y&=&\frac{x^{4}}{2}+2x^{2}+c\end{array}

ดังนั้นสมการเส้นโค้งคือ \(y=\frac{x^{4}}{2}+2x^{2}+c\)

แต่เส้นโค้งนี้ผ่านจุด \((0,5)\) นั่นคือ เมื่อ \(x=0\) จะได้ \(y=5\)

แทน \(x\) ด้วย \(0\) และแทน \(y\) ด้วย \(5\) ในสมการ \(y=\frac{x^{4}}{2}+2x^{2}+c\)  จะได้ \(c=5\)

ดังนั้น สมการเส้นโค้งดังกล่าวคือ \(y=\frac{x^{4}}{2}+2x^{2}+5\)6

4. จงหาความเร็ว \(v(t)\) และตำแหน่งของวัตถุ \(s(t)\) ขณะเวลา \(t\) ใดๆ เมื่อกำหนดความเร่ง \(a(t)\) และตำแหน่งของวัตถุเมื่อ \(t=0\) ดังนี้

1) \(a(t)=6-2t,\quad 0\leq t\leq 3,\quad v(0)=5,k\quad s(0)=0\)

วิธีทำ จาก \(\frac{dv}{dt}=a(t)=6-2t\) เมื่อ \(0\leq t\leq 3\)

จะได้

\begin{array}{lcl}\int\frac{dv}{dt}dt&=&\int(6-2t)dt\\v&=&6t-t^{2}+c_{1}\end{array}

จาก\(v(0)=5\) จะได้ \(c_{1}=5\)

ดังนั้น ความเร็วขณะเวลา \(t\) ใดๆ คือ \(v(t)=-t^{2}+6t+5\) เมื่อ \(0\leq t\leq 3\)

จาก \(\frac{ds}{dt}=v(t)=-t^{2}+6t+5\)

จะได้ \begin{array}{lcl}\int\frac{ds}{dt}dt&=&\int (-t^{2}+6t+5)dt\\s&=&-\frac{t^{3}}{3}+3t^{2}+5t+c_{2}\end{array}

จาก \(s(0)=0\) จะได้ \(c_{2}=0\)

ดังนั้น ตำแหน่งของวัตถุขณะเวลา \(t\) ใดๆ คือ \(s(t)=-\frac{t^{3}}{3}+3t^{2}+5t\) เมื่อ \(0\leq t\leq 3\)

5.โยนวัตถุชิ้นหนึ่งขึ้นไปบนอากาศในแนวดิ่งด้วยความเร็ว 98 เมตร/วินาที

กำหนดให้ \(g=9.8  เมตร/วินาที^{2}\) จงหา

1) สมการของการเคลื่อนที่ของวัตถุชิ้นนี้

วิธีทำ โยนวัตถุขึ้นไปบนอากาศในแนวดิ่ง \(a=-g=-9.8 เมตร/วินาที^{2}\)

หรือ \(a=\frac{dv}{dt}=-9.8\)

จะได้ \(\int\frac{dv}{dt}dt=\int -9.8dt\)

ดังนั้น \(v=-9.8t+c_{1}\)

โยนวัตถูขึ้นไปบนอากาศในแนวดิ่งด้วยความเร็ว 98 เมตร/วินาที

นั่นคือ ขณะ \(t=0\) และ \(v=98\)

จาก \(v=-9.8t+c_{1}\)

จะได้ \(c_{1}=98\)

ดังนั้น \(v=-9.8t+98\)

จาก \(\frac{ds}{dt}=\int (-9.8t+98)dt\)

ดังนั้น \(s=-4.9t^{2}+98t+c_{2}\)

เมื่อ \(t=0\) จะได้ \(s=0\) และ \(c_{2}=0\)

ดังนั้น สมการการเคลื่อนที่ของวัตถุ คือ \(s=-4.9t^{2}+98t\)

2) วัตถุขึ้นไปสูงสุดเมื่อเวลาผ่านไปนานเท่าใด

วิธีทำ วัตถุขึ้นสูงสุด เมื่อ \(v=0\)

จาก \(v=-9.8t+98\)

จะได้

\begin{array}{lcl}0&=&-9.8t+98\\t&=&10\end{array}

ดังนั้น วัตถุขึ้นไปสูงสุดเมื่อเวลาผ่านไป 10 วินาที

6.จากการทดลองเพาะเชื้อปรสิตในจานเพาะเชื้อ พบว่าอัตราการเปลี่ยนแปลงของจำนวนปรสิต (มีหน่วยเป็นตัวต่อสัปดาห์)  ณ เวลา \(t\) สัปดาห์ คือ \(\frac{d N(t)}{dt}=1200t^{2}-15t\)  จงหาจำนวนปรสิต ณ เวลา \(t\) ใดๆ เมื่อกำหนดให้จำนวนปรสิตเริ่มต้นคือ 600 ตัว

วิธีทำ  จากโจทย์จะเห็นว่า เขากำหนดอัตราการเปลี่ยนแปลงของจำนวนแบคทีเรีย ณ เวลา \(t\) ใดๆ มาให้ ก็คือกำหนด \(\frac{d N(t)}{dt}\) มาให้  แต่โจทย์ให้เราหาจำนวนแบคที่เรียน ณ เวลา \(t\) ใดๆ นั่นคือเขาให้เราหา \(N(t)\) ในเวลา \(t\) ใดๆ นั่นเอง จึงได้ว่า

\begin{array}{lcl}N(t)&=&\int\frac{d N(t)}{dt}dt\\&=&\int (1200t^{2}-15t^{4})dt\\&=&\frac{1200t^{3}}{3}-\frac{15t^{5}}{5}+c\\&=&400t^{3}-3t^{5}+c\end{array}

โจทย์บอกมาอีกว่า จำนวนปรสิต เริ่มต้นคือ 600 ตัว จากตรงนี้เราได้ว่า \(N(0)=600\) เรานำตรงนี้ไปหาค่า \(c\) จะได้

\begin{array}{lcl}N(t)&=&400t^{3}-3t^{5}+c\\N(0)&=&400(0)^{3}-3(0)^{5}+c\\600&=&c\\c&=&600\end{array}

ตอนนี้เราได้ค่าของ \(c\) แล้ว นั่นคือจำนวนปรสิต ณ เวลา \(t\) ใดๆคือ

\(N(t)=400t^{3}-3t^{5}+600\) นั่นเองครับ

7. อัตราการเปลี่ยนแปลงของการใช้พลังงานในบ้านอยู่อาศัย (มีหน่วยเป็นล้านล้านบีทียูต่อปี) ในปีที่ \(x\) นับจาก ค.ศ. 2000 สามารถประมาณได้ด้วยฟังก์ชัน \(f(x)=2.17x^{2}-9.74x+19.956\)  โดยที่ \(15\leq x\leq 40\) จงหาการใช้พลังงานในบ้านอยู่อาศัยทั้งหมดตั้งแต่ ค.ศ. 2015 ถึง 2040

วิธีทำ  โจทย์กำหนดอัตราเปลี่ยนแปลงการใช้พลังงานมาให้ ดังนั้นถ้าเราอยากรู้ ฟงก์ชันการใช้พลังงานในบ้าน เราต้องเอาอัตราการเปลี่ยนแปลงการใช้พลังงานภายในบ้านมาอินทิเกรต

กำหนดให้ \(F(x)\) คือ การใช้พลังงานภายในบ้าน ดังนั้น

\begin{array}{lcl}F(x)&=&\int f(x) dx\\&=& \int(2.17x^{2}-9.74x+19.956)dx\\&=&\frac{2.17}{3}x^{3}-4.87x^{2}+19.956x+c\end{array}

โจทย์ให้หาการใช้พลังงานในบ้านอยู่อาศัยทั้งหมดตั้งแต่ ค.ศ.2015 ถึง  2040 นั่นก็คือให้เราหา \(F(40)-F(15)\) นั่นเองคับ  ได้ว่า

\(F(40)=\frac{2.17}{3}(40)^{3}-4.87(40)^{2}+19.956(40)+c=39,299.57+c\)

\(F(15)=\frac{2.17}{3}(15)^{3}-4.87(15)^{2}+19.956(15)+c=1,644.84+c\)

นั่นคือ พลังงานรวมที่บ้านอยู่อาศํยใช้ตั้งแต่ ค.ศ.2015-2040 คือ

\(F(40)-F(15)=37,654.73\) ล้านล้านบีทียู